4.1任意角弧度制及任意角的三角函數(shù)

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.了解任意角和弧度制的概念,體會弧度制引入的必要性2.能熟練進行弧度制與角度制的互化3.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義象限角及終邊相同的角通過了解任意角和弧度制的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)弧度制及其應(yīng)用通過弧度制和角度制的互化,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)任意角的三角函數(shù)——由定義求參數(shù)、由三角函數(shù)值符號判斷角所在的象限通過任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)1.(概念辨析)給出下列四個命題:①3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③A.1 B.2 C.3 D.42.(對接教材)(多選)下列表示正確的是().A.終邊在x軸上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.終邊在第二象限的角的集合為απ2+2kπ<α<π+2kπ,k∈ZC.終邊在坐標軸上的角的集合是αα=kπ2,k∈ZD.終邊在直線y=x上的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z3.(對接教材)已知角α的終邊經(jīng)過點P(x,6)且cosα=513A.52 B.52 C.±524.(易錯自糾)(多選)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是().A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.(真題演練)(模擬預(yù)測改編)已知扇形的圓心角為30°,其弧長為2π,則此扇形的面積為.

象限角及終邊相同的角典例1(1)已知下列四組角的表達式(各式中k∈Z):①2kπ±π3與kπ±π3;②kπ±π2與2kπ+π2;③kπ其中表示具有相同終邊的角的組數(shù)是().A.0 B.1 C.2D.3(2)若α是第二象限角,則().A.α是第一象限角 B.α2C.3π2+α是第二象限角 1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.確定nα,αn(n∈N*)的終邊位置的方法:先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出nα或αn的范圍,然后根據(jù)n的可能取值討論確定nα或訓(xùn)練1已知角α的終邊與5π3的終邊重合,則α第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限弧度制及其應(yīng)用典例2(1)下列結(jié)論錯誤的是().A.150°化成弧度是7π6rad B.10π3C.67°30'化成弧度是3π8rad D.π(2)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著,成于公元一世紀左右,系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田(弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)驗公式:弧田面積=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2π3,弦長為403m的弧田.其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為().(其中π≈3,A.15m2 B.16m2 C.17m2 D.18m2扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式:弧度制下扇形的面積公式是S=12lR=12αR(2)找關(guān)鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.訓(xùn)練2(1)(多選)下列角度與弧度進行互化正確的是().A.37°30'=5π24 B.216°=6π5C.7π12=115° D.(2)(多選)中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊,一般情況下,折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成的,如圖,設(shè)扇形的面積為S1,其圓心角為θ,圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為5-12時,扇面為“美觀扇面”,下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù):A.S1SB.若S1S2=1C.若扇面為“美觀扇面”,則θ≈138°D.若扇面為“美觀扇面”,扇形的半徑R=20,則此時的扇形面積為200(35)任意角的三角函數(shù)典例3(1)(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過點(2,3),且角θ與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,則下列選項正確的是().A.sinθ=217B.α為鈍角C.cosα=27(2)下列判斷正確的是().A.tan120°sin269°<0 B.cos4tan-23πC.sin3·cos5·tan4<0 D.sin2·tan53π121.在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時,應(yīng)注意到角的終邊為射線,所以應(yīng)分兩種情況處理,取射線上異于原點的任意一點的坐標(a,b),則對應(yīng)角α的三角函數(shù)值分別為sinα=ba2+b22.三角函數(shù)值符號的判斷問題(1)由三角函數(shù)的定義可知sinα=yr,cosα=xr,tanα=(2)由三角函數(shù)值的符號確定角α的終邊所在象限問題,應(yīng)首先依據(jù)題目中所有三角函數(shù)值的符號來確定角α的終邊所在的象限,則它們的公共象限即為所求.訓(xùn)練3(1)(多選)下列選項中,符號為負的是().A.sin(100°) B.cos(220°) C.tan10 D.cosπ(2)如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標為23,則tanα=比較大小典例下面四個選項中,大小關(guān)系正確的是().A.sinπ5<sin4π5 B.sinπ5>cos4π5C.cosπ5<cos4π(1)三角函數(shù)線的意義是可以表示三角函數(shù)的值,其長度等于三角函數(shù)值的絕對值,方向表示三函數(shù)值的正負.(2)因為三角函數(shù)線是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作角的三角函數(shù)線時,一定要先作單位圓.(3)有向線段的書寫:有向線段的起點字母寫在前面,終點字母寫在后面.訓(xùn)練依據(jù)三角函數(shù)線,作出如下四個判斷:①sinπ6=sin7π6;②cos-π4=cosπ4;③tanπ8>tanA.1個 B.2個C.3個 D.4個一、單選題1.角25π12A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.若一個扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍,而弧長也變?yōu)樵瓉淼?倍,則().A.扇形的面積不變B.扇形的圓心角不變C.扇形的面積增大到原來的2倍D.扇形的圓心角增大到原來的2倍3.(2023·湖南質(zhì)檢)若角α是第三象限角,則點P(2,sinα)所在的象限為().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.(2023·河北月考)擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖,這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵餅的瞬間,張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”.經(jīng)測量,此時兩手掌心之間的弧長是7π10,“弓”所在圓的半徑為1.05米,則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3A.1.819米 B.1.485米C.1.649米 D.1.945米二、多選題5.(2023·廣東中山月考)已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是().A.tanA與cosB B.cosB與sinCC.tanB2與cosC2 D.tan6.下列三角函數(shù)值的符號判斷正確的是().A.cos(280°)<0 B.sin500°>0C.tan-7π8>0 D.tan三、填空題7.(2023·福建廈門調(diào)研)在面積為4的扇形中,其周長最小時半徑的值為.

8.已知α,β都是銳角,且α+β的終邊與280°角的終邊相同,αβ的終邊與670°角的終邊相同,則α=,β=.

四、解答題9.如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B,始邊不動,終邊在運動.(1)若點B的橫坐標為45(2)若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合.已知θ是第二象限角.(1)試判斷sin(cosθ)(2)若角θ的終邊上一點P(x,3)(x≠0),且cosθ=101011.(多選)某教師從“丟手絹”游戲中抽象出以下數(shù)學(xué)問題,質(zhì)點P和Q在以坐標原點O為圓心,半徑為1的圓O上逆時針做勻速圓周運動,同時出發(fā),P的角速度大小為2rad/s,起點為圓O與x軸正半軸的交點;Q的角速度大小為5rad/s,起點為射線y=3x(x≥0)與圓O的交點.則當(dāng)Q與P重合時,Q的坐標可以為().A.cos2π9,sin2π9 B.-cos5π12.(2023·江蘇徐州調(diào)研)劉徽是我國古代著名數(shù)學(xué)家,他對《九章算術(shù)》中的各個圖形面積計算公式的正確性進行了驗證,樹立了中國數(shù)學(xué)史上