高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第02講 古典概型 （解析版）

第02講10.1.3古典概型課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解古典概型的兩個(gè)特征，掌握古典概型的計(jì)算公式。②能判斷一個(gè)實(shí)驗(yàn)是否為古典概型，分清古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。①通過古典概型的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系、事件和樣本空間的關(guān)系、概率的意義，掌握研究概率模型的一般性思路。②通過實(shí)例體會(huì)古典概型的抽象過程，理解古典概型的兩個(gè)特征，掌握古典概型的計(jì)算公式。③掌握通過放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣模型兩種古典概型問題。知識(shí)點(diǎn)1：古典概型1.1古典概型的定義試驗(yàn)具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．1.2古典概型的判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性．并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型．下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：①樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，但等可能．③樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，也不等可能．【即學(xué)即練1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下試驗(yàn)不是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性大小B．同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率【答案】C【詳解】A選項(xiàng)，從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性相等，滿足有限性和等可能性，是古典概型；B選項(xiàng)中，同時(shí)同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；C選項(xiàng)中，不滿足等可能性，不是古典概型；D選項(xiàng)中，3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率，滿足有限性和等可能性，是古典概型．故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：古典概型的概率計(jì)算公式2.1古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．【即學(xué)即練2】（2024上·江西九江·高一九江一中?？计谀┠尘W(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的博主從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行拍攝，則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為，兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間，共25個(gè)樣本點(diǎn)，兩位參賽博主抽到不同主題的事件，共20個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為.故選：D2.2古典概型的解題步驟求古典概型概率的步驟：（1）判斷試驗(yàn)的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）（2）確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)（3）確定所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)（4）用公式求出事件發(fā)生的概率.題型01古典概型的判斷【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）（1）從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；（2）從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；（3）在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；（4）向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性”．第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；第3個(gè)概率模型不是古典概型，在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，不滿足“有限性”；第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等．故選：A.【典例2】（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝袑?shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議D．從區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率【答案】C【詳解】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；B：基本事件坐標(biāo)系中整數(shù)點(diǎn)是無限的，不滿足；C：基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足；D：基本事件是區(qū)間上所有實(shí)數(shù)是無限的，不滿足；故選：C【典例3】（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小B．同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【詳解】古典概型的特點(diǎn):①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.顯然A?B?D符合古典概型的特征，所以A?B?D是古典概型；C選項(xiàng)，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.故選：ABD.【變式1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列概率模型中不是古典概型的為（

）A．從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小B．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率【答案】C【詳解】解：古典概型的特點(diǎn):①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.顯然A?B?D符合古典概型的特征，所以A?B?D是古典概型；C選項(xiàng)，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.故選：C.【變式2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）①從區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】古典概型的特征是樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是有限的，故不是古典概型；④由于硬幣質(zhì)地不均勻，因此樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性不相等，故④不是古典概型.故選：A.【變式3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列試驗(yàn)是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽【答案】C【詳解】對(duì)于A，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無限多個(gè)，不滿足有限樣本空間特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)…，10環(huán)的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，人數(shù)有限，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于D，“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.題型02用列舉法確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)【典例1】（2023上·湖北荊州·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有2個(gè)信封，第一個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個(gè)游戲，規(guī)則是：從這兩個(gè)信封中各隨機(jī)抽取一張卡片，得到兩個(gè)數(shù).為了使大量次游戲后對(duì)雙方都公平，獲勝規(guī)則不正確的是（

）A．第一個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標(biāo)，所確定的點(diǎn)在直線上甲獲勝，所確定的點(diǎn)在直線上乙獲勝B．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不小于20時(shí)甲得5分，否則乙得3分，游戲結(jié)束后，累計(jì)得分高的人獲勝D．取出的兩個(gè)數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【詳解】畫樹狀圖如下：對(duì)于A：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中所確定的點(diǎn)在直線上的點(diǎn)有共個(gè)，所確定的點(diǎn)在直線上的點(diǎn)有共個(gè)，故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)不一樣，即兩種情況下概率不一樣，選項(xiàng)A符合題意；對(duì)于B：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)乘積大于15的有共8種，則兩個(gè)數(shù)乘積不大于15的也有8種，故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于C：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)數(shù)乘積不小于20的有共6種，則取出的兩個(gè)數(shù)乘積小于20的有10種，，選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于D：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)數(shù)相加和為奇數(shù)的有共8種，則取出的兩個(gè)數(shù)相加和為偶數(shù)的有8種，故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項(xiàng)D不符合題意；故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；(2)從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色．【答案】(1)；(2)黑桃，紅心，方塊，梅花【詳解】（1）連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)為0，1，2，3，4，5，樣本空間是；（2）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色只能是黑桃、紅心、方塊、梅花中的一個(gè)，樣本空間是黑桃，紅心，方塊，梅花．【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在試驗(yàn)“連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，試用樣本點(diǎn)表示事件A和事件B．【答案】見解析【詳解】解：，，，，，；，，，，．【變式1】（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）A,B兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件“元件正?！保癇元件正?！?，用分別表示A,B兩個(gè)元件的狀態(tài)，用表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①樣本空間；

②事件；③事件“電路是斷路”可以用（或）表示；④事件“電路是通路”可以用（或）表示，共包含3樣本點(diǎn).A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)榉謩e取值0和1，因此的取值為，①正確；事件中，而任取，因此②正確；事件“電路是斷路”中，至少有一個(gè)取0，因此事件“電路是斷路”，，，，從而“電路是斷路”可表示為，③錯(cuò)；事件“電路是通路”中，兩個(gè)都取1，因此事件“電路是通路”，，從而“電路是通路”可表示為，其中只有一個(gè)樣本點(diǎn)，④錯(cuò)．正確的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在試驗(yàn)“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為1，2，3）、黑球2個(gè)（編號(hào)為1，2），這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“第一次摸出的是黑球”，事件B表示隨機(jī)事件“至少有一次摸出的是黑球”，試用樣本點(diǎn)表示事件A和事件B．【答案】答案見解析【詳解】.【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）拋擲一枚骰子，用1，2，3，4，5，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間．【答案】答案見解析【詳解】解：試驗(yàn)一共有6個(gè)樣本點(diǎn)，它們是1，2，3，4，5，6．所以該試驗(yàn)的樣本空間．題型03用列舉法求古典概型的概率【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的博主從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行拍攝，則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為，兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間，共25個(gè)樣本點(diǎn)，兩位參賽博主抽到不同主題的事件，共20個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為.故選：D【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.【答案】【詳解】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個(gè)，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個(gè)，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.【典例3】（2024上·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功舉辦，中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對(duì)亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績(jī)都在40～100分之間，將他們的成績(jī)分成，，，，，六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值以及這1000人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從，中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘母怕?【答案】(1)，平均數(shù)為分(2)【詳解】（1）依題意，，解得，平均數(shù)為.（2）的頻率為，的頻率為，所以從中抽取人，記為，在中抽取人，記為，從中任選人，基本事件有：，，共種，其中接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘挠?，共種，所以接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘母怕蕿?【典例4】（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二校考期末）某高校承辦了杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī),并分成五組：第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a,b的值；(2)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）；(3)在第四,第五兩組志愿者中,采用分層抽樣的方法從中抽取5人,然后再從這5人中選出2人,求選出的兩人來自同一組的概率.【答案】(1)，(2)69.4(3)【詳解】（1）因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為1-0.7=0.3，即，所以（2）前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)在65和75之間,即為，所以中位數(shù)為69.4；（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人、5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為a,b,c,d,第五組志愿者人數(shù)為1,設(shè)為e，這5人中選出2人，所有情況有，,,,,,,,,共有10種情況,記事件A：選出的兩人來自同一組,則A中有,,,,,.共6種情況,故.【變式1】（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月28日，滬寧沿江高速鐵路開通運(yùn)營(yíng)，形成上海至南京間的第二條城際高速鐵路，滬寧沿江高速鐵路共設(shè)8座車站（如圖）.為體驗(yàn)高鐵速度，游覽各地風(fēng)光，甲乙兩人準(zhǔn)備同時(shí)從南京南站出發(fā)，甲隨機(jī)選擇金壇?武進(jìn)?江陰?張家港中的一站下車，乙隨機(jī)選擇金壇?武進(jìn)?江陰?張家港?常熟中的一站下車.已知兩人不在同一站下車，則甲比乙晚下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)金壇站?武進(jìn)站?江陰站?張家港占、常熟站用，甲、乙兩人用字符對(duì)表示下車的站，于是有以下情形：共有16種情形，其中甲比乙晚下車的情況是，共有6種情形，所以甲比乙晚下車的概率為，故選：D【變式2】（2024上·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）從2至6的5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.【答案】/0.6【詳解】從2至6的5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間為：（交換數(shù)字位置算一種情況），共10個(gè)樣本點(diǎn)，所取2個(gè)數(shù)互質(zhì)的事件，共6個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.故答案為：【變式3】（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）為促進(jìn)更多人養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，某小區(qū)開展了“我讀書，我快樂”的活動(dòng).為了解小區(qū)居民最近一個(gè)月的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取個(gè)居民作為樣本，得到這個(gè)居民的閱讀時(shí)間，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)、頻率分布表和頻率分布直方圖：分組區(qū)間頻數(shù)頻率合計(jì)(1)求出表中，及圖中的值；(2)若本小區(qū)有人，試估計(jì)該小區(qū)閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；(3)在所取樣本中，從閱讀時(shí)間不少于小時(shí)的居民中，按分層抽樣的方法選取人，并從這人中選人去參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，求至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意，，所以，.（2）閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.（3）抽取人，記為，抽取人，記為.從這人中選人去參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，基本事件有：，共個(gè)，至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)包含的基本事件有：，共個(gè)，所以至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的概率為.【變式4】（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）2023年11月，首屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)在廣西舉行.10月31日，學(xué)青會(huì)火炬?zhèn)鬟f在桂林舉行，廣西師范大學(xué)有5名教師參與了此次傳遞，其中男教師2名，女教師3名.現(xiàn)需要從這5名教師中任選2名教師去參加活動(dòng).(1)寫出試驗(yàn)“從這5名教師中任選2名教師”的樣本空間；(2)求選出的2名教師中至多有1名男教師的概率.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）將2位男教師記為，3位女教師記為，則樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn).（2）設(shè)事件表示“選出的2名教師中至多有1名男教師”,則，中包含9個(gè)樣本點(diǎn),所以.題型04有放回與無放回的概率【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】記“抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)”為事件A，則事件A共包含以下10種情況：，而有放回的連續(xù)抽取2張卡片共有（種）不同情況，則故選：D【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校聯(lián)考期中）從分別寫有的張卡片中隨機(jī)抽取張，放回后再隨機(jī)抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】從分別寫有的張卡片中隨機(jī)抽取張，放回后再隨機(jī)抽取張，基本事件總數(shù)種情況，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：共6種情況，故所求概率為：，故選：B.【典例3】（2024上·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）從分別寫有1，2，3，4，5，6，7的7張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)字大于第二卡片上的數(shù)字的概率為．【答案】【詳解】記“抽得的第一張卡片上的數(shù)字大于第二張卡片上的數(shù)字”為事件，事件包括以下種情況：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，而有放回地連續(xù)抽取2張卡片共有（種）不同情況，則．故答案為：.【典例4】（2023上·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）從三名男生（記為，，）、兩名女生（記為，）中任意選取兩人.(1)在有放回的選取中，寫出樣本空間，并計(jì)算選到兩人都是男生的概率；(2)在不放回的選取中，寫出樣本空間，并計(jì)算選到至少有一名女生的概率.【答案】(1)樣本空間見解析，(2)樣本空間見解析，.【詳解】（1）樣本空間，記抽到兩人都是男生的事件為A，事件A包含的基本事件有:共9個(gè)，則.（2）樣本空間，記抽到至少有一名女生的事件為B，事件B包含的基本事件有：，共7個(gè)，則.【變式1】（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期中）袋中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標(biāo)號(hào)的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，甲摸一個(gè)后不放回，乙再摸一個(gè)，試驗(yàn)所有可能的結(jié)果數(shù)為（

）A．8 B．9 C．12 D．16【答案】C【詳解】設(shè)4個(gè)小球分別為，，，，則試驗(yàn)結(jié)果為．故選：C【變式2】（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）甲、乙二人用7張不同的撲克牌（其中紅桃4張，方片3張）玩游戲．他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．則甲、乙二人抽到花色相同的概率為．【答案】【詳解】因?yàn)橐还灿?張不同的撲克牌（其中紅桃4張，方片3張），甲先抽，乙后抽，所以甲、乙二人抽到花色相同的情況有：①甲先抽到紅桃，乙后抽到紅桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，所以甲、乙二人抽到花色相同的概率為.故答案為：.【變式3】（2024上·山東濰坊·高三山東省昌樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從分別標(biāo)有數(shù)字的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取次，每次抽取張，則抽到的兩張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是.【答案】.【詳解】若第一張卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，第二張卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，則，若第一張卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，第二張卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，則，故抽到的兩張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是.故答案為：.【變式4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為，和）、兩個(gè)紅球（記為和），從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩球．(1)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．【答案】(1)答案見詳解(2)【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間；（2）設(shè)事件“抽到兩個(gè)黑球”，則對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，．因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型．因此．所以抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率為題型05根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)【典例1】（2023上·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎(jiǎng)”卡，其它的是“未中獎(jiǎng)”卡，現(xiàn)從這5張卡片隨機(jī)抽取2張.你有資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結(jié)果為“中獎(jiǎng)”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結(jié)果是“未中獎(jiǎng)”，則輸?shù)粝伦⒌馁Y金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】由于總資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前下注已有資金的一半.刮第1張卡前，下注50元：若未中獎(jiǎng)，還剩50元；刮第2張卡前，下注25元，不管是否中獎(jiǎng)，資金必減少；若中獎(jiǎng)，還剩150元，刮第2張卡前，下注75元，未中獎(jiǎng)資金減少；中獎(jiǎng)資金增加；所以，要使資金增加，則必須2次刮出中獎(jiǎng)，否則資金減少；所以，5張卡片中取到2張“中獎(jiǎng)”卡的概率大于即可，由5張卡片中任取2張的方法數(shù)有10種，n張“中獎(jiǎng)”卡中取到2張的方法數(shù)有種，所以且，故或5，即n至少為4.故選：C【典例2】（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的6個(gè)紅球，個(gè)綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球.若取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則的值為（

）A．4 B．5 C．12 D．15【答案】A【詳解】一個(gè)袋子中有若干個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)紅球，個(gè)綠球，從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，取出的2個(gè)球都是紅球的概率是，則，解得（負(fù)值舍去）.故選：A．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)工廠共生產(chǎn)一精密儀器件，其中甲工廠生產(chǎn)了件，乙工廠生產(chǎn)了件，為了解這兩個(gè)工廠各自的生產(chǎn)水平，質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件樣品，已知該精密儀器按照質(zhì)量可分為四個(gè)等級(jí)．若從所抽取的樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，恰好抽到甲工廠生產(chǎn)的等級(jí)產(chǎn)品的概率為，則抽取的三個(gè)等級(jí)中甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件．【答案】【詳解】由分層抽樣原則知：從甲工廠抽取了件樣品，設(shè)抽取甲工廠生產(chǎn)的等級(jí)產(chǎn)品有件，則，解得：，抽取的三個(gè)等級(jí)中，甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件.故答案為：.【典例4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)袋子中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球．(1)求兩次取到的球顏色相同的概率．(2)如果是3個(gè)紅球，n個(gè)白球，已知第二次取到紅球的概率為，求n的值．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）若取出的兩個(gè)球均為紅球，則概率為：，若取出的兩個(gè)球均為白球，則概率為：，所以兩次取到的球顏色相同的概率為：．（2）第二次取出紅球的概率為：，即，解得：或（舍去），故n的值為5．【變式1】（2023下·重慶·高一統(tǒng)考期末）在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題可得取出的球中沒有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則.故選：B【變式2】（2023上·浙江·高一階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的袋中裝有一些除顏色外完全相同的紅和黑兩種顏色的小球，己知袋中有紅球5個(gè)，黑球個(gè)，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是，則的值為．【答案】10【詳解】根據(jù)題意，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是，所以.故答案為：10【變式3】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和n個(gè)綠球，采用有放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，則n的所有可能取值為．【答案】2或8【詳解】由題意知，取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，化簡(jiǎn)得，解得或8.故答案為：2或8.【變式4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中紅色小球1個(gè)，黃色小球1個(gè)，藍(lán)色小球個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，設(shè)取到藍(lán)色小球?yàn)槭录?，且事件發(fā)生的概率是.(1)求的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，若每次取到紅色小球得0分，取到黃色小球得1分，取到藍(lán)色小球得2分，設(shè)第一次取出小球后得分為，第二次取出小球后得分為，記事件為“”，求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有個(gè)結(jié)果，每個(gè)結(jié)果可能性相同，其中事件發(fā)生有種結(jié)果，所以，解得.（2）把紅色小球記為；黃色的小球記為；藍(lán)色小球記為，；則兩次不放回地取出小球的組合情況可用表格表示為××××共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件包含的樣本點(diǎn)有，，，，共4個(gè)，所以.題型06古典概型與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用【典例1】（2024上·云南昆明·高二?？计谀肚嗄甏髮W(xué)習(xí)》是共青團(tuán)中央組織的以“學(xué)習(xí)新思想，爭(zhēng)做新青年”為主題的黨史團(tuán)課學(xué)習(xí)行動(dòng)，年已開展到第期．團(tuán)縣委為了解全縣青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全縣隨機(jī)抽取名青年進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)的第百分位數(shù)；(2)縣宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會(huì)．辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年中共抽取人，且從參會(huì)的人中又隨機(jī)抽取人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有人被抽中發(fā)言的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由頻率之和為，即，解得，頻率直方分布圖中從左到右的個(gè)小矩形面積面積依次記為、、、，因?yàn)?，，所以設(shè)第百分位數(shù)為，則，則，解得，即樣本第百分位數(shù)為．（2）解：學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年人數(shù)之比為．從中抽人，則學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取人，記為、，學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取人，記為、、，從人中隨機(jī)再抽人的方法為：、、、、、、、、、，共種，其中學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有人被抽中的方法有：、、、、、、，共種，故學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有人被抽中發(fā)言的概率為．【典例2】（2024上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）國(guó)務(wù)院于2023年開展第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查，為更好地推動(dòng)第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查工作，某地充分利用信息網(wǎng)絡(luò)開展普查宜傳，向基層普查人員、廣大普查對(duì)象及社會(huì)公眾宣傳經(jīng)濟(jì)普查知識(shí).為了解宣傳進(jìn)展情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)（精確到0.1）：(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人.①再從第二組和第五組中抽取的人中任選3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求從中至少抽到2人進(jìn)行問卷調(diào)查的概率；②若第2組中參與調(diào)查的人的年齡的平均數(shù)和方差分別為30和6，第3組中參與調(diào)查的人的年齡的平均數(shù)和方差分別為40和6，據(jù)此估計(jì)這次參與調(diào)查的人中第2組和第3組所有人的年齡的方差.【答案】(1)(2)①；②27【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，解得，設(shè)第30百分位數(shù)為，，，位于第三組：內(nèi)，；（2）①由題意得，第2組和第5組的頻率分別為，故第2組和第5組所抽取的人數(shù)之和為，且第2組和第5組抽取人數(shù)之比為，即第2組3人，記為，，，第5組2人，記為甲，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，甲乙，甲乙，共10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件為“至2人被選上”，則有，甲，乙，甲，乙，甲，乙，共有7個(gè)樣本點(diǎn)，；②設(shè)第2組的宣傳使者的年齡平均數(shù)分為，方差為，設(shè)第3組的宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，即第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為37，．即第2組和第3組所有宣傳使者的年齡方差為27．【典例3】（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）為促進(jìn)更多人養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，某小區(qū)開展了“我讀書，我快樂”的活動(dòng).為了解小區(qū)居民最近一個(gè)月的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取個(gè)居民作為樣本，得到這個(gè)居民的閱讀時(shí)間，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)、頻率分布表和頻率分布直方圖：分組區(qū)間頻數(shù)頻率合計(jì)(1)求出表中，及圖中的值；(2)若本小區(qū)有人，試估計(jì)該小區(qū)閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；(3)在所取樣本中，從閱讀時(shí)間不少于小時(shí)的居民中，按分層抽樣的方法選取人，并從這人中選人去參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，求至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意，，所以，.（2）閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.（3）抽取人，記為，抽取人，記為.從這人中選人去參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，基本事件有：，共個(gè)，至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)包含的基本事件有：，共個(gè)，所以至多有人閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的概率為.【變式1】（2024上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中校考階段練習(xí)）某校為調(diào)查學(xué)生對(duì)食堂的滿意度（滿分100），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的評(píng)分，以此為樣本，分成五組，得到如下圖所示頻率分布直方圖.(1)求圖中的值并估計(jì)該校學(xué)生對(duì)食堂滿意度的平均數(shù)；(2)為進(jìn)一步了解實(shí)際情況，從評(píng)分不超過70分的學(xué)生中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中任取2名，求此2名學(xué)生的評(píng)分分?jǐn)?shù)都在的概率.【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）由，解得；該校學(xué)生對(duì)食堂滿意度的平均數(shù)為.（2）分層抽樣抽取的人中，的有人，記為，的有人，記為，從6人中任取2人，基本事件有，共種，其中2人分?jǐn)?shù)都在的有，共種，所以從6人中任取2人，分?jǐn)?shù)都在的概率為.【變式2】（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）某大型連鎖超市為了解客戶去年在該超市的消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100位客戶進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬元）均在區(qū)間內(nèi)，按，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求該頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作為代表）(2)為了解顧客需求，該超市從消費(fèi)金額在區(qū)間和內(nèi)的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，再從訪談的5人中隨機(jī)抽取2人作為“幸運(yùn)客戶”，求“幸運(yùn)客戶”中恰有1人來自區(qū)間的概率.【答案】(1)，萬元(2)【詳解】（1）由題可知，即，所以.由頻率分布直方圖可得，因此，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)為萬元.（2）記“幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間”為事件.因?yàn)閰^(qū)間與頻率之比為，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，故從分組區(qū)間中抽取2人，分別記為，從分組區(qū)間中抽取3人，分別記為，從這5個(gè)人中隨機(jī)選擇2人作為“幸運(yùn)客戶”，樣本點(diǎn)表示“選出”（余類推），則樣本空間為.所以.答：幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間的概率為.【變式3】（2024上·北京西城·高一期末）某企業(yè)從領(lǐng)導(dǎo)干部、員工中按比例隨機(jī)抽取50人組成一個(gè)評(píng)審團(tuán)，對(duì)、兩個(gè)員工作為后備干部的競(jìng)聘演講及個(gè)人技術(shù)能力展示進(jìn)行評(píng)分，滿分均為100分，整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分為5組：，，，，，得到員工的頻率分布直方圖和員工的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)23121815(1)在評(píng)審團(tuán)的50人中，求對(duì)員工的評(píng)分不低于80分的人數(shù)；(2)從對(duì)員工的評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率；(3)該企業(yè)決定：若評(píng)審團(tuán)給員工評(píng)分的中位數(shù)大于82分，則推薦這名員工作為后備干部人選，請(qǐng)問評(píng)審團(tuán)將推薦哪一位員工作為后備干部人選？【答案】(1)27人；(2)；(3)員工．【詳解】（1）由員工評(píng)分的頻率分布直方圖得：，所以對(duì)員工的評(píng)分不低于80分的人數(shù)為：（人）．（2）對(duì)員工的評(píng)分在內(nèi)有5人，將評(píng)分在內(nèi)的2人記為，，評(píng)分在內(nèi)的3人記為，，，從5人中任選2人的情況有：，，，，，，，，，，共10種，它們等可能，2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的有：，，，共3種，所以2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率．（3）由員工評(píng)分的頻率分布直方圖得：，，則員工評(píng)分的中位數(shù)，有，解得，由員工的頻數(shù)分布表得：，，則員工評(píng)分的中位數(shù)，有，解得，所以評(píng)審團(tuán)將推薦員工作為后備干部人選．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的六種取值情況分別得出中位數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，故由古典概型概率公式可得：.故選：A.2．（2024上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出不大于10的所有素?cái)?shù)，再利用列舉法求出古典概率即得.【詳解】不大于10的素?cái)?shù)有2，3，5，7，從中任取兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，其中和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有，其3個(gè)，所以和為偶數(shù)的概率為.故選：D3．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，一只轉(zhuǎn)盤，均勻標(biāo)有8個(gè)數(shù)，現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用概率公式計(jì)算即可得.【詳解】共有8個(gè)數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故.故選：A.4．（2024上·江西九江·高一九江一中?？计谀┠尘W(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的博主從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行拍攝，則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法結(jié)合古典概率公式求解即得.【詳解】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為，兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間，共25個(gè)樣本點(diǎn)，兩位參賽博主抽到不同主題的事件，共20個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為.故選：D5．（2024上·北京房山·高一統(tǒng)考期末）在信息論中，設(shè)某隨機(jī)事件發(fā)生的概率為，稱為該隨機(jī)事件的自信息.若按先后順序拋擲兩枚均勻的硬幣，則事件“恰好出現(xiàn)一次正面”的自信息為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】依題意計(jì)算出事件“恰好出現(xiàn)一次正面”的概率為，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，按先后順序拋擲兩枚均勻的硬幣共有“正正、反反、正反、反正”四種情況，則事件“恰好出現(xiàn)一次正面”的概率為，所以“恰好出現(xiàn)一次正面”的自信息為.故選：B6．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）拋擲一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)記為，則，4，5能夠構(gòu)成三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出基本事件總數(shù)，然后根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系求出，4，5能夠構(gòu)成三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】由題意可知，拋擲一個(gè)骰子，得到的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6，基本事件的總數(shù)為6，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可知，故，4，5能夠構(gòu)成三角形的取值可以為2，3，4，5，6共5種可能，根據(jù)古典概型概率公式，所以，4，5能夠構(gòu)成三角形的概率是為.故選：A7．（2023上·北京·高二?？计谀┠潮荣悶榧住⒁覂擅\(yùn)動(dòng)員制定下列發(fā)球規(guī)則，規(guī)則一：投擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則二：從裝有質(zhì)地均勻的2個(gè)紅球與2個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則三：從裝有質(zhì)地均勻的3個(gè)紅球與1個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球．則對(duì)甲、乙公平的發(fā)球規(guī)則是（

）A．規(guī)則一和規(guī)則二 B．規(guī)則二和規(guī)則三C．規(guī)則一和規(guī)則三 D．只有規(guī)則一【答案】C【分析】分別計(jì)算每種規(guī)則下甲乙發(fā)球的概率，找到概率均為的規(guī)則即可得.【詳解】對(duì)于規(guī)則一，每人發(fā)球的概率都是，是公平的，對(duì)于規(guī)則二，記2個(gè)紅球分別為紅1，紅2，2個(gè)黑球分別為黑1，黑2，則隨機(jī)取出2個(gè)球的所有可能的情況有：（紅1，紅2），（紅1，黑1），（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（黑1，黑2），共6種，其中同色的情況有2種，∴甲發(fā)球的可能性為，不公平；對(duì)于規(guī)則三，記3個(gè)紅球分別為紅1，紅2，紅3，則隨機(jī)取出2個(gè)球所有可能情況有：（紅1，紅2），（紅1，紅3），（紅1，黑），（紅2，紅3），（紅2，黑），（紅3，黑），共6種，其中同色的情況有3種，∴兩人發(fā)球的可能性均為，是公平的，∴對(duì)甲、乙公平的有規(guī)則一和規(guī)則三．故選：C．8．（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為），先后拋擲兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為m，n，記向量，的夾角為，則為鈍角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知求出滿足條件的滿足的關(guān)系式，然后分別令，求得滿足條件的.然后即可根據(jù)古典概型概率公式，得出答案.【詳解】由可得，，所以.因?yàn)闉殁g角，所以，且不共線，所以，即，且.當(dāng)時(shí)，有且，所以可取1，3，4，5，6；當(dāng)時(shí)，有，可取3，4，5，6；當(dāng)時(shí)，有，可取5，6；當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)無解.綜上所述，滿足條件的有11種可能.又先后拋擲兩次，得到的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，所以為鈍角的概率故選：D.二、多選題9．（2023上·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎坠拗杏兴膫€(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A=“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件B=“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（

）A．事件A與事件B的樣本點(diǎn)數(shù)分別為12，8 B．事件A，B間的關(guān)系為C．事件發(fā)生的概率為 D．事件發(fā)生的概率為【答案】CD【分析】計(jì)算出所有結(jié)果數(shù)，分別列舉出事件A、B的結(jié)果情況，即可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】解：由題用表示甲罐、乙罐中取小球標(biāo)號(hào)的情況，則所有的情況有：，，，，共20種，其中滿足事件A的結(jié)果有：，，，，共11種，其中滿足事件B的結(jié)果有：，，，共8種，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录﨎的結(jié)果均在事件A中包含，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的結(jié)果數(shù)有11種，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以的結(jié)果數(shù)有8種，故，故選項(xiàng)D正確.故選：CD10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人決定就近打車前往目的地前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”他決定按如下兩種方案打車．方案一：不乘第一輛車，若第二輛車好于第一輛車就乘此車，否則直接乘坐第三輛車：方案二：直接乘坐第一輛車．若三輛車開過來的先后次序等可能記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為，，則下列判斷不正確的是（

）A． B． C．， D．，【答案】ABD【分析】用列表法列舉基本事件，分別求概率，即可判斷.【詳解】記“車況好、中、差”分別為，，，方案一包含的基本事件數(shù)為，方案二包含的基本事件數(shù)為，列表如下由表中所列事件數(shù)可知，，，所以選項(xiàng)C正確．123ABC√ACB√BAC√BCA√CAB√CBA故選：ABD.三、填空題11．（2023上·浙江·高一階段練習(xí)）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為，計(jì)算，則其結(jié)果恰為2的概率是．【答案】【分析】根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算求解.【詳解】由題意得，任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為，共有6種可能結(jié)果，若，則或，共有2種可能結(jié)果，所以所求概率為.故答案為：12．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期中）某幼兒園一名小朋友過生日，幼兒園老師為該小朋友準(zhǔn)備了5個(gè)一樣的盒子，其中4個(gè)盒中各裝有一個(gè)變形金剛玩具，另外1個(gè)盒中裝有一套積木玩具.這名小朋友要從這5個(gè)盒中選出2個(gè)盒子作為生日禮物，則恰好取到1個(gè)變形金剛玩具和1套積木玩具的概率為.【答案】/【分析】先羅列出所有情況，再羅列出符合要求的情況，最后算概率即可.【詳解】設(shè)裝變形金剛玩具的盒子分別為，裝積木玩具的盒子為.則從這5個(gè)盒子中選出2個(gè)盒子的不同選法有，共10種不同方法；恰好選到1個(gè)變形金剛玩具和1套積木玩具的不同選法有，共4種不同方法，故所求概率，故答案為：四、解答題13．（2023上·甘肅慶陽·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校大一新生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查.已知在被調(diào)查的新生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品.現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中至多有1人喜歡甜品的概率．【答案】0.7【分析】根據(jù)古典概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】記2名喜歡甜品的學(xué)生分別為，3名不喜歡甜品的學(xué)生分別為，從這5名學(xué)生中任取3人的樣本點(diǎn)共有10個(gè)，分別為，，，，，，，，，.記事件A表示“至多有1人喜歡甜品”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有7個(gè)，分別為，，，，，，，根據(jù)古典概型公式，得至多有1人喜歡甜品的概率為.14．（2023上·湖南·高二校聯(lián)考期中）長(zhǎng)沙市某中學(xué)近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，2023年5月該中學(xué)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖中信息，回答下列問題：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試成績(jī)的平均數(shù)和第71百分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從成績(jī)?cè)诘?組和第6組的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率.【答案】(1)平均分約為66.8；第71百分位數(shù)為75；(2).【分析】（1）利用平均數(shù)定義計(jì)算出平均數(shù)，再判斷出第71百分位數(shù)位于，設(shè)出未知數(shù)，得到方程，求出百分位數(shù)；（2）求出第5組和第6組的人數(shù)，利用列舉法求解概率.【詳解】（1），所以本次考試成績(jī)的平均分約為66.8；因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，所以第71百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得，所以第