高一數(shù)學必修第二冊同步學與練（人教版）第04講 總體百分位數(shù)的估計（原卷版）

第04講9.2.2總體百分位數(shù)的估計課程標準學習目標①結合實例，能用樣本估計百分位數(shù)。②理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義。前面我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)，通過對圖表的觀察與分析，得出了一些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布規(guī)律，并由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷．接下來的問題是，如何利用這些信息，為政府決策服務呢？知識點01：第百分位數(shù)（1）第百分位數(shù)的概念一般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.【即學即練1】（2024上·廣東珠?！じ叨y(tǒng)考期末）數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（

）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7【答案】B【詳解】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位數(shù)為.故選：B（2）計算第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算.第3步，若不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為,則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù).（3）四分位數(shù)在實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計中也經(jīng)常被使用.【即學即練2】（2024·全國·模擬預測）若一組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是6，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】這組數(shù)據(jù)為：，但大小不定，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大的順序的第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，經(jīng)檢驗，只有符合．故選：C．題型01百分位數(shù)的計算【典例1】（2024·浙江溫州·溫州中學?？家荒＃┠承８咭荒昙?8個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【典例2】（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）據(jù)統(tǒng)計，2023年12月成都市某區(qū)域一周指數(shù)按從小到大的順序排列為：45，50，51，53，53，57，60，則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是（

）A．45 B．50 C．51 D．53【典例3】（2024上·河南·高一南陽中學校聯(lián)考期末）①某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學進行體質健康測試，則應抽取男生6人；②某人將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面朝上的概率為0.6；③一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位數(shù)為4，上述結論正確的是.【變式1】（2024上·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）抽樣統(tǒng)計某位學生8次的數(shù)學成績分別為81，84，82，86，87，92，90，85，則該學生這8次成績的40%分位數(shù)為（

）A．85 B．85.5 C．86 D．86.5【變式2】（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）棉花的纖維長度是棉花質量的重要指標.在一批棉花中隨機抽測了20根棉花的纖維長度（單位：），按從小到大排序結果如下：，則估計這批棉花的第45百分位數(shù)為.【變式3】（2024上·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）5名學生的期中考試數(shù)學成績分別為，若這5名學生成績的第60百分位數(shù)為111，則.題型02百分位數(shù)在統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖中的應用【典例1】（2024上·全國·高三期末）為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關部門對某熱門夜市開展“服務滿意度調查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調查，對夜市服務進行評分(滿分100分)，根據(jù)評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（

）

A．65 B．72 C．72.5 D．75【典例2】（2024上·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）如圖所示是一個樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其分位數(shù)為.

【典例3】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.(2)該市決定表彰知識競賽成績排名前的市民，某市民知識競賽的成績是，請估計該市民能否得到表彰【典例4】（2024上·全國·高三期末）某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：分鐘）.現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛車進行調查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖（顧客的停車時長均不超過600分鐘）；

(1)求a；(2)若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為500，根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)；(3)為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務.若以第30百分位數(shù)為標準，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.【變式1】（多選）（2024上·江蘇南京·高二金陵中學?？计谀┠承＝M織了600名學生參與測試，隨機抽取了80名學生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．圖中a的值為0.15B．估計這80名學生考試成績的眾數(shù)為75C．估計這80名學生考試成績的中位數(shù)為82D．估計這80名學生考試成績的上四分位數(shù)為85【變式2】（2024·全國·高三專題練習）某小學制訂了一份調查問卷，讓學生家長對該校實行“雙減”的效果進行評分，評分都在內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進行分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調查數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為．

【變式3】（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）某營養(yǎng)學研究人員用隨機抽樣的方法獲得了某高校100名女大學生平均每日攝取的熱量（單位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)健康的成年女性每天需要攝取1.80~1.90千大卡（不含1.90千大卡）的熱量，試估計該校有多少比例的女大學生攝取的熱量在此范圍之內(nèi)；(2)已知攝取熱量范圍在的數(shù)據(jù)為：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96，1.97，1.98，1.99．若1.91是這100個樣本數(shù)據(jù)的第k百分位數(shù)，求正整數(shù)k的值．【變式4】（2024上·廣東珠海·高二珠海市第一中學?？茧A段練習）某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求a、b的值；(2)估計這100名候選者面試成績的第60百分位數(shù)（精確到0.1）.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2024上·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）數(shù)據(jù)2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．7.52．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)，第50百分位數(shù)都分別對應相等，則（

）A．60 B．65 C．70 D．713．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）在25個互不相等的數(shù)據(jù)中，記上四分位數(shù)為，中位數(shù)為，第75百分位數(shù)為，則（

）A． B．C． D．4．（2024·廣東·高三學業(yè)考試）以下數(shù)據(jù)為某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的10人的成績：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績的第百分位數(shù)是85，則（

）A．65 B．70 C．75 D．805．（2024·浙江溫州·溫州中學?？家荒＃┠承８咭荒昙?8個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.56．（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）據(jù)統(tǒng)計，2023年12月成都市某區(qū)域一周指數(shù)按從小到大的順序排列為：45，50，51，53，53，57，60，則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是（

）A．45 B．50 C．51 D．537．（2024上·全國·高三期末）為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關部門對某熱門夜市開展“服務滿意度調查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調查，對夜市服務進行評分(滿分100分)，根據(jù)評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（

）

A．65 B．72 C．72.5 D．758．（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.

則在被調查的用戶中，月用電量的第71百分位數(shù)為（

）A．205 B．215 C．225 D．235二、多選題9．（2023上·四川成都·高二成都外國語學校?？茧A段練習）數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為35，則的取值可以是（

）A．20 B．35 C．42 D．5310．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運動時長（單位：分鐘）：.若這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)與第20百分位數(shù)的差為3，則的值可能為（

）A．47 B．45 C．53 D．60三、填空題11．（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）在一次為期天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），得到樣本的莖葉圖（如下圖），則該樣本的第百分位數(shù)是12．（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習）商場為改進服務質量，提升顧客購物體驗，從2023年第三季度消費過的顧客中隨機抽取部分人進行滿意度問卷調查．并將這部分人滿意度的得分分成以下6組：，統(tǒng)計結果如圖所示．那么該商場顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為．

四、解答題13．（2023上·四川綿陽·高二綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）某景點某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景點為了提升服務質量，采用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪.將統(tǒng)計結果按照分成5組，制成如下頻率分布直方圖：(1)求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù)；(2)求頻率分布直方圖中a的值；(3)估計當天游客滿意度分值的分位數(shù).14．（2023上·四川綿陽·高二三臺中學?？茧A段練習）某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求a、b的值；(2)估計這100名候選者面試成績的第60百分位數(shù)（精確到0.1）.B能力提升1．（2023上·廣西·高二憑祥市高級中學校聯(lián)考階段練習）某市A，B兩校組織了一次數(shù)學聯(lián)賽（總分120分），兩校各自挑選了數(shù)學成績最好的100名學生參賽，成績不低于115分定義為優(yōu)秀，賽后統(tǒng)計了所有參賽學生的成績（都在區(qū)間內(nèi)），將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，.得到如下兩個學校的頻率分布直方圖：

(1)聯(lián)賽結束后兩校將根據(jù)學生的成績發(fā)放獎學金，已知獎學金（單位：百元）與其成績的關系為若以獎學金的總額為判斷依據(jù)，本次聯(lián)賽A、B兩校哪所學校實力更強？(2)B校規(guī)定：按照筆試成績從高到低，選拔的參賽學生進行數(shù)學的專業(yè)知識深度培養(yǎng)，將當選者稱為“數(shù)學達人”，按照B校規(guī)定及該校頻率分布直方圖，估計B校“數(shù)學達人”的分數(shù)至少達到多少分？（保留小數(shù)點后兩位小數(shù)）.2．（2023上·云南昆明·高一?？计谥校┠趁姘暧涗浟俗罱恢蹵，B兩種口味的面包的銷售情況，如表所示：A口味B口味星期一二三四五六日星期一二三四五六日銷量/個16121410181913銷量/個1318102012914(1)試比較最近一周A，B這兩種口味的面包日銷量的第60百分位數(shù)的大?。?2)該面包店