高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第3講 幾何概型配套限時規(guī)范訓(xùn)練 理 蘇教版

第3講幾何概型分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是________．解析把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)2．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為________．解析面積為36cm2時，邊長AM＝6cm，面積為81cm2時，邊長AM＝9cm，∴P＝eq\f(9－6,12)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)3．(·山東濟(jì)南模擬)在如圖所示的正方形中隨機(jī)擲一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓(圓中陰影部分)中的概率是________．解析設(shè)正方形的邊長為2，則豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓中的概率為eq\f(\f(1,2)π×12,4)＝eq\f(π,8).答案eq\f(π,8)4．(·南京外國語學(xué)校調(diào)研)如圖所示，墻上掛有一邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為eq\f(a,2)的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點(diǎn)的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是________．解析所求概率為P＝eq\f(a2－π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,a2)＝1－eq\f(π,4).答案1－eq\f(π,4)5．(·宿遷聯(lián)考)一個靶子上有10個同心圓，半徑依次為1,2，…，10，擊中由內(nèi)至外的區(qū)域的成績依次為10,9，…，1環(huán)，則不考慮技術(shù)因素，射擊一次，在有成績的情況下成績?yōu)?0環(huán)的概率為________．解析所求概率為P＝eq\f(π×12,π×102)＝eq\f(1,100).答案eq\f(1,100)6．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)解析點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A，則P(A)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案1－eq\f(π,12)二、解答題(每小題15分，共30分)7．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋n.(1)設(shè)集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為m和n，求函數(shù)y＝mx＋n是增函數(shù)的概率；(2)實(shí)數(shù)m，n滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率．解(1)抽取的全部結(jié)果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個基本事件，設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個基本事件，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m、n滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的區(qū)域如圖所示：要使函數(shù)的圖象過一、二、三象限，則m＞0，n＞0，故使函數(shù)圖象過一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠?，∴所求事件的概率為P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).8．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在線段BC上任取一點(diǎn)M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM<30°的概率．解(1)設(shè)CM＝x，則0<x<a.(不妨設(shè)BC＝a)．若∠CAM<30°，則0＜x＜eq\f(\r(3),3)a，故∠CAM<30°的概率為P＝eq\f(區(qū)間\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)a))的長度,區(qū)間0，a的長度)＝eq\f(\r(3),3).(2)設(shè)∠CAM＝θ，則0°<θ<45°，若∠CAM<30°，則0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率為P＝eq\f(0°，30°的長度,0°，45°的長度)＝eq\f(2,3).分層訓(xùn)練B級創(chuàng)新能力提升1．(·淮陰中學(xué)檢測)ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為________．解析如圖，要使圖中點(diǎn)到O的距離大于1，則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分，故概率為P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).答案1－eq\f(π,4)2．(·揚(yáng)州模擬)分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為________．解析設(shè)正方形邊長為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為π－2，則陰影區(qū)域的面積為2π－4，所以所求概率為P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2).答案eq\f(π－2,2)3．(·南京模擬)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析設(shè)三棱錐P－ABC的高為h，∵VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，∴eq\f(1,3)S△ABC×h<eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△ABC×3，∴h<eq\f(3,2)，即點(diǎn)P位于中截面以下，故所求概率為P＝1－eq\f(\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)S△ABC))×\f(3,2),\f(1,3)S△ABC×3)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)4．(·蘇北四市調(diào)研三)若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于eq\f(9,8)的概率為________．解析令x＝0得y＝eq\f(3,3－m)，令y＝0得x＝eq\f(3,m＋2)，由于m∈(0,3)，∴S＝eq\f(1,2)·eq\f(3,3－m)·eq\f(3,m＋2)＝eq\f(9,23－mm＋2)，由題意，得eq\f(9,23－mm＋2)<eq\f(9,8)，解得－1<m<2，由于m∈(0,3)，∴m∈(0,2)，故所求的概率為P＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)5．(·南京檢測)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,y≥－1))內(nèi)(含邊界)的概率．解(1)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1上”為事件A，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)有(0，－1)，(0,1)2個，即A包含的基本事件數(shù)為2，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)”為事件B，則基本事件總數(shù)為6，由圖知位于區(qū)域D內(nèi)(含邊界)的點(diǎn)有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4個，即B包含的基本事件數(shù)為4，故P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).6．(·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)，求方程有兩正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程沒有實(shí)根的概率．解(1)基本事件(a，b)共有36個，方程有正根等價于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.設(shè)“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4個，故所求的概率為P(A)＝eq