人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：5 1 1 變化率問題

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5．1.1變化率問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程.2.理解割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系.3.體會(huì)極限思想．導(dǎo)語同學(xué)們，大家知道，在高速路上經(jīng)?？吹健皡^(qū)間測速”這樣的提醒，這其實(shí)是在提醒司機(jī)安全駕駛，其實(shí)它測速的方式是在固定的路程上，看你用了多少時(shí)間，從而達(dá)到測速的目的；大家也經(jīng)常能聽到家長們討論車輛油耗的問題，你的車幾個(gè)油？這里所說的幾個(gè)油實(shí)際上是汽車百公里的油耗，不過有些車上可以查看汽車的瞬時(shí)油耗，今天我們就來研究生活中的變化率問題．一、平均速度問題1在高臺(tái)跳水中，運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h與起跳后的時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根據(jù)上述探究，你能求該運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤eq\f(65,49)內(nèi)的平均速度嗎？〖提示〗0≤t≤0.5時(shí)，eq\x\to(v)＝eq\f(h0.5－h(huán)0,0.5－0)＝4.05(m/s)；1≤t≤2時(shí)，eq\x\to(v)＝eq\f(h2－h(huán)1,2－1)＝－8.2(m/s)；0≤t≤eq\f(65,49)時(shí)，eq\x\to(v)＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h(huán)0,\f(65,49)－0)＝0(m/s)；雖然運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤eq\f(65,49)這段時(shí)間里的平均速度是0m/s，但實(shí)際情況是，該運(yùn)動(dòng)員仍在運(yùn)動(dòng)，可以說明平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．例1某物體運(yùn)動(dòng)的位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝sint，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)分別求s(t)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；(2)比較(1)中兩個(gè)平均速度的大小，說明其幾何意義．解(1)物體在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的平均速度為eq\x\to(v)1＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－s0,\f(π,4)－0)＝eq\f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),π).物體在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度為eq\x\to(v)2＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq\f(4－2\r(2),π).(2)由(1)可知eq\x\to(v)1－eq\x\to(v)2＝eq\f(4\r(2)－4,π)>0，所以eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)1.作出函數(shù)s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的圖象，如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上隨著t的增大，函數(shù)值s(t)變化得越來越慢．反思感悟求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的主要步驟(1)先計(jì)算位移的改變量s(t2)－s(t1)，(2)再計(jì)算時(shí)間的改變量t2－t1，(3)得平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(st2－st1,t2－t1).跟蹤訓(xùn)練1一質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝eq\f(1,t)作直線運(yùn)動(dòng)，則其從t1＝1到t2＝2的平均速度為()A．－1B．－eq\f(1,2)C．－2D．2〖答案〗B〖解析〗eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s1,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).二、瞬時(shí)速度問題2我們也發(fā)現(xiàn)了高速路上區(qū)間測速的弊端，因?yàn)槿绻橙税l(fā)現(xiàn)超速了，他只需踩下剎車，讓車輛低速行駛一段時(shí)間即可，你認(rèn)為，我們應(yīng)該如何改進(jìn)高速路上的區(qū)間測速問題？〖提示〗由eq\x\to(v)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)可知，我們可以減小路程區(qū)間的長度，在最小路程下，看所用的時(shí)間，或者在較少的相同時(shí)間內(nèi)，看汽車所經(jīng)過的路程，這樣似乎都不可避免違法行為的產(chǎn)生，于是，我們有了一個(gè)大膽的想法，如果我們能測量汽車的瞬時(shí)速度就好了．我們把函數(shù)值的增量f(t2)－f(t1)記為Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自變量的增量t2－t1記為Δt，即Δt＝t2－t1，這里的Δt可以看成是t1的一個(gè)增量，可用t1＋Δt來表示t2，則平均變化率可記為eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)＝eq\f(ft1＋Δt－ft1,Δt)，我們發(fā)現(xiàn)如果時(shí)間的增量Δt無限小，此時(shí)在極短的時(shí)間內(nèi)的平均速度就可近似等于在時(shí)間t＝t1的瞬時(shí)速度，這就需要用到我們數(shù)學(xué)中的“極限”思想，意思就是讓Δt無限趨近于0.知識(shí)梳理1．瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．2．瞬時(shí)速度的計(jì)算：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移的函數(shù)關(guān)系式為y＝h(t)，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(ht0＋Δt－h(huán)t0,Δt).3．瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|無限趨近于0時(shí)，平均速度eq\x\to(v)就無限趨近于t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度．注意點(diǎn)：Δt可正，可負(fù)，但不能為0.例2某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度．解∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(3＋Δt)＝3.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.延伸探究1．若本例中的條件不變，試求物體的初速度．解求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(1＋Δt)＝1.即物體的初速度為1m/s.2．若本例中的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.反思感悟求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即v＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))

eq\f(Δs,Δt).跟蹤訓(xùn)練2一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值．解質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率．∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.三、拋物線的切線的斜率問題3前面我們從物理的角度研究了瞬時(shí)速度的問題，它反映到我們幾何上是什么意思？〖提示〗從eq\x\to(v)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)形式上來看，它表示的是圖象上兩點(diǎn)割線的斜率，而曲線上兩點(diǎn)的平均變化率與直線l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)不同，曲線兩點(diǎn)的平均變化率表示的是曲線的陡峭程度，而直線的斜率表示的是直線的傾斜程度．從eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)＝eq\f(ft1＋Δt－ft1,Δt)來看，當(dāng)曲線上兩點(diǎn)無限接近時(shí)，此時(shí)的割線的斜率無限接近曲線在t＝t1這一點(diǎn)的切線的斜率．知識(shí)梳理1．切線：設(shè)P0是曲線上一定點(diǎn)，P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線在點(diǎn)P0處的切線．2．切線的斜率：設(shè)P0(x0，y0)是曲線y＝f(x)上一點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的切線的斜率為k0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).3．切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0，于是割線PP0無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T，這時(shí)，割線PP0的斜率k無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T的斜率k0.注意點(diǎn)：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率．例3求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(diǎn)(1,2)處的切線方程．解由eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋3－2,Δx)＝Δx，可得切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))Δx＝0.所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，即y＝2.延伸探究本例函數(shù)不變，求與2x－y＋4＝0平行的該曲線的切線方程．解設(shè)切點(diǎn)(x0，xeq\o\al(2,0)－2x0＋3)，故eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2－2x0＋Δx＋3－x\o\al(2,0)＋2x0－3,Δx)＝2x0－2＋Δx，所以k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切點(diǎn)為(2,3)，所求切線方程為2x－y－1＝0.反思感悟(1)求拋物線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟(2)求曲線過某點(diǎn)的切線方程需注意，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，需另設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練3求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2,2)處的切線方程．解f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，所以切線的斜率k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(3Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(3＋Δx)＝3.則切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.1．知識(shí)清單：(1)平均速度．(2)瞬時(shí)速度．(3)曲線在某點(diǎn)處的切線方程．2．方法歸納：極限法、定義法．3．常見誤區(qū)：對割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系理解不到位．1．某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在〖1,2〗內(nèi)的平均速度為()A．2B．3C．－2D．－3〖答案〗D〖解析〗eq\x\to(v)＝eq\f(1－22－1－12,2－1)＝－3.2．一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝t2＋2t＋3，則該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．4B．5C．6D．7〖答案〗C〖解析〗eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(Δt＋6)＝6.3．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝－t2＋2t，則t＝0時(shí)，其速度為()A．－2 B．－1C．0 D．2〖答案〗D〖解析〗因