人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：5 3 2 第三課時 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第三課時導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題.2.體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.3.能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際問題.1.通過學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.借助實(shí)際問題的求解，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主梳理1.函數(shù)圖象的畫法函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì).通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分成若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)的單調(diào)性與極值；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢；(5)畫出f(x)的大致圖象.2.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路(1)在建立函數(shù)模型時，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域.(2)求實(shí)際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，如：長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價為正數(shù)等.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題要先求定義域.(√)(2)方程xex＝2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(×)〖提示〗令y＝xex，則y′＝ex(x＋1).由于x>－1時，y′>0，x<－1時，y′<0.∴x＝－1時y＝xex取到最小值－eq\f(1,e).結(jié)合單調(diào)性及變化趨勢畫出如圖所示，由圖可以看出y＝xex與y＝2只有一個交點(diǎn)，故方程只有一個解.2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A.8 B.eq\f(20,3)C.－1 D.－8〖答案〗C〖解析〗由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時變化率的最小值是－1.3.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A.13萬件 B.11萬件C.9萬件 D.7萬件〖答案〗C〖解析〗由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).當(dāng)0<x<9時，y′>0；當(dāng)x>9時，y′<0.故當(dāng)x＝9時，y取得極大值，也是最大值.4.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)關(guān)系式為y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)關(guān)系式為y2＝2x3－x2，已知x>0，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品________千臺.〖答案〗6〖解析〗由題意，利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當(dāng)x∈(0，6)時，y′>0，當(dāng)x∈(6，＋∞)時，y′<0，∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù).則當(dāng)x＝6時，y有最大值.題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象〖例1〗函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()〖答案〗B〖解析〗法一由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時，y＝0，排除C；當(dāng)x<0時，y<0，排除A；y′＝eq\f(3x2ex－x3ex,（ex）2)＝eq\f(x2（3－x）,ex)，當(dāng)x<3時，y′>0，當(dāng)x>3時，y′<0，∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減.故選B.法二由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時，y＝0，排除C；當(dāng)x<0時，y<0，排除A；當(dāng)x→＋∞時，y→0.故選B.思維升華根據(jù)〖解析〗式判斷函數(shù)的圖象時，綜合應(yīng)用各種方法：如判斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特殊值和單調(diào)性，有時還要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等.〖訓(xùn)練1〗函數(shù)f(x)＝ex2－2x2的圖象大致為()〖答案〗A〖解析〗∵f(x)＝f(－x)，當(dāng)x>0時，f′(x)＝ex2·2x－4x，令f′(x)＝0，則2x(ex2－2)＝0?x＝eq\r(ln2)∈(0，1)，且f(eq\r(ln2))＝2－2ln2>0，∴當(dāng)x>0時，f(x)>0，且只有一個極值點(diǎn)，∴排除B，C，D.故選A.題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根問題〖例2〗已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)－1，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a≤1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e〗上零點(diǎn)的個數(shù).解(1)f′(x)＝eq\f(1－lnx－a,x2)，令f′(x)＝0，得x＝e1－a.f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).(2)由(1)可知f(x)的最大值為f(e1－a)＝eq\f(1－e1－a,e1－a)，①當(dāng)a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e〗上只有一個零點(diǎn).②當(dāng)a<1時，1－a>0，e1－a>1，則f(e1－a)＝eq\f(1－e1－a,e1－a)<0，所以f(x)在區(qū)間(0，e〗上無零點(diǎn).綜上，當(dāng)a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，e〗上只有一個零點(diǎn)，當(dāng)a<1時，f(x)在區(qū)間(0，e〗上無零點(diǎn).思維升華與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，討論圖象與x軸的位置關(guān)系.(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題)確定參數(shù)的取值范圍.〖訓(xùn)練2〗若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)取得極值－eq\f(4,3).(1)求函數(shù)f(x)的〖解析〗式；(2)若方程f(x)＝k有3個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－b，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（2）＝12a－b＝0，,f（2）＝8a－2b＋4＝－\f(4,3)，))解得a＝eq\f(1,3)，b＝4(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意).∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當(dāng)x<－2或x>2時，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<2時，f′(x)<0.因此，當(dāng)x＝－2時，f(x)取得極大值eq\f(28,3)，當(dāng)x＝2時，f(x)取得極小值－eq\f(4,3).∴函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的大致圖象如圖所示.由圖可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(28,3))).題型三導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問題中應(yīng)用角度1利潤最大、效率最高問題〖例3〗某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解(1)因?yàn)閤＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中3<x<6，從而，f′(x)＝10〖(x－6)2＋2(x－3)(x－6)〗＝30(x－4)·(x－6)，于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.思維升華解決利潤最大問題的思路及注意點(diǎn)(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)〖解析〗式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.(2)求解此類問題需注意兩點(diǎn)：①售價要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利.〖訓(xùn)練3〗某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個配件的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，每個配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果每個配件的銷售價提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進(jìn)工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤是y(元).(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.解(1)改進(jìn)工藝后，每個配件的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·〖20(1＋x)－15〗(元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍)，當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，y′>0；eq\f(1,2)<x<1時，y′<0，∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝eq\f(1,2)時取得極大值也是最大值，故改進(jìn)工藝后，每個配件的銷售價為20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30元時，該電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.角度2用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題〖例4〗為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最??？并求最小值.解(1)由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,（3x＋5）2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,（3x＋5）2)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去).當(dāng)0≤x<5時，f′(x)<0，當(dāng)5<x≤10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.思維升華在實(shí)際生活中關(guān)于用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、用時最短等問題，一般情況下都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.若求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足“左減右增”，則此時唯一的極小值就是所求的函數(shù)的最小值.〖訓(xùn)練4〗已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的航行速度為v千米/時(8<v≤v0).若船每小時航行所需的燃料費(fèi)與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當(dāng)v＝12千米/時時地，船每小時航行所需的燃料費(fèi)為720元.為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水中的航行速度v應(yīng)為多少？解設(shè)船每小時航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2.∵當(dāng)v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，則y1＝5v2.設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意，得y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000v（v－8）－1000v2,（v－8）2)＝eq\f(1000v2－16000v,（v－8）2).令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，當(dāng)v∈(8，16)時，y′<0，y為減函數(shù)；當(dāng)v∈(16，v0〗時，y′>0，y為增函數(shù).故當(dāng)v＝16千米/時時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費(fèi)最省.若v0<16，則v∈(8，v0〗，且y′<0，y在(8，v0〗上為減函數(shù).故當(dāng)v＝v0時，y取得最小值，此時全程燃料費(fèi)最省.綜上可得，若v0≥16，則當(dāng)