全國1991-初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題歷時(shí)二十年經(jīng)典收集 北京課改版

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一、選擇題

本題共有8個小題，每小題都給出了(A)、(B)(C)、(D)四個答案結(jié)論，其中只有一個是正確的.請

把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.設(shè)等式——a)=Jx-a-Ja-y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a,x,y是兩兩不同

C22

的實(shí)數(shù)，則3：+盯—>的值是

x一盯+y

(A)3；(B)-；(C)2；(D)

33

答()

2.如圖，ABl/EF/lCD,已知/廬20,09=80,叱100,那么站的值是

(A)10；(B)12；

(C)16；(D)18.

答()

3.方程——卜|一1=0的解是

(A)上婦；(B：

2

“、1±75_^-l±V5/、,-1±A/5

(C)—J或----—；(D)+....-.

222

答()

]1_1_____

4.已知：x=-(1991n-1991")(n是自然數(shù)).那么(X—J14，)”,的值是

2

(A)1991，(B)-199K1；

(C)(-1),,1991；(D)(-1)"1991T.

答()

5.若Ix2x3x…x99xl00=12"M,其中”為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大的自然數(shù)，則〃

(A)能被2整除，但不能被3整除；

(B)能被3整除，但不能被2整除；

(C)能被4整除，但不能被3整除；

(D)不能被3整除，也不能被2整除.

答()

6.若a,c,"是整數(shù)，6是正整數(shù)，且滿足a+/>=c,b+c=d,c+d=a,那么

a+b+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

答()

7.如圖，正方形W?內(nèi)接于AUC已知△/①、4呼和ACM的而包八小旦。無?°一3和83=1,

那么，正方形幽火的邊長是

(A)V2；(B)V3；(02；(D)3.

答()

8.在銳角△?比中，AC=1,AB=c,NA=60",

(A)-<c<2；(B)0<c^-；

22

答()

(C)c>2；(D)c=2.

答()

二、填空題

1.￡'是平行四邊形/版中充邊的中點(diǎn)，1￡交對角線9于G,如果△戚的面積是1,則平行

四邊形4即9的面積是.

2.已知關(guān)于x的一元二次方程"2+"X+，=0沒有實(shí)數(shù)解.甲由于看錯了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得

兩根為2和4；乙由于看錯了某一項(xiàng)系數(shù)的符號，誤求得兩根為一1和4,那么，

2b4-3c女------------70

3.設(shè)例n,p,q為非負(fù)數(shù)，且對切x>0,生辿二—1=8記恒成立，則

x"xq

(加2+2〃+p)2q=

4.四邊形/靦中，ZABC=135°,/靦=120°,AB=R，8c=5一百，

第二試

X

X+%Xy，Xy,

y

四個數(shù)中的三個又相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(x,y).

二、A49C中，AB<AC<BC,〃點(diǎn)在比上，夕點(diǎn)在刃的延長線上，且

BD=BE=AC,△頗?的外接圓與△4兆1的外接圓交于尸點(diǎn)(如圖).

求證：BF=AF+CF

三、將正方形1靦分割為“2個相等的小方格(〃是自然數(shù))，把相對的頂點(diǎn)4。染成紅色，把6,。

染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩色中的一種顏色.證明：恰有三個頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是

偶數(shù).

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一.選擇題

本題共有8個題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論，其中只有一個是正確的.請把正確結(jié)論

的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.滿足卜—4+ab=1的非負(fù)整數(shù)(4,6)的個數(shù)是

(A)l;(B)2;(C)3;(D)4.

2.若x0是一元二次方程ox?+云+c=0(。70)的根，則判別式A=b2-4ac與平方式

M=(2仆。+①2的關(guān)系是

(A)A>M(B)A=M(C)A>M;(D)不確定.

3.若，一13x+1=0,則/+1的個位數(shù)字是

(A)l;(B)3;(C)5;(D)7.

答()

4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形，若它的邊長皆大于1且小于J5,則這個多邊形的邊數(shù)必為

(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.

答()

5.如圖，正比例函數(shù)y=x和y=ax(a>0)的圖像與反比例函數(shù)/木y--(k>0)的

圖像分別相交于A點(diǎn)和C點(diǎn).若R/AA08和AC。。的面積分別為$和S2,L則與與S2的關(guān)

(A)S>S2(B)S,=S

20P\

(C)5,<S2(D)不確定答()

6.在一個由8x8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓,若把圓周經(jīng)過的所有

S

小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S2，則一L

S,

的整數(shù)部分是

(A)0;(B)l;(C)2;(D)3.

答()

7如.圖，在等腰梯形ABCD中,AB〃CD,AB=2CD,ZA-=60°,又AFE是底邊

AB上一點(diǎn)，且FE=FB=AC,FA=AB.

貝ijAE.EB等于

(A)l:2(B)l:3

(C)2:5(D)3:10

答()

AEB

8.設(shè)X1,乙,與,…,與均為正整數(shù)，且

X]<x2<--<x9,x]+x2+--■+x9=220，則當(dāng)王+?1-x3+x4+x5的值最大時(shí),x9-X]的最小值

是

(A)8;(B)9;(C)10;(D)ll.

答()

二.填空題

1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15c、肛則這個等腰三角形的面積等于

_JJ.八y\+x~+%4—A/1+X4?

2.若xW0n,則------------------的最大值是.

x

3.在M5C中，NC=90°,NA和N6的平分線相交于P點(diǎn)，又PE1AB于E點(diǎn)，若

8C=2,AC=3,則.

4.若。力都是正實(shí)數(shù)，且工—！一一L=o,則(2)3+(與3=__________

aba+bab

第一試

?、設(shè)等腰三角形的腰與底邊的長分別是方程》2-6X+4=0的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個時(shí),

求4的取值范圍.

二、如圖，在AA8C中，A8=AC,。是底邊8C上一點(diǎn)，E是線段AO上一點(diǎn)，且

A

ABED=2ZCED=ZA./k

求證：BD=2CD./\\

三、某個信封上的兩個郵政編碼M和N均由0,1,2,3,5,6這六個不同數(shù)字組成，現(xiàn)有四個

編碼如下：

A：320651B：105263

C：612305D：316250

已知編碼A、B、C、D各恰有兩個數(shù)字的位置與M和N相同.D恰有三個數(shù)字的位置與M和N相

同.試求：M和N.

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽試題

第一試

一.選擇題

本題共有8個小題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論，其中只有一個是正確的.請把正確結(jié)

論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.多項(xiàng)式32一一+1除以——1的余式是

(A)l;(C)x-l;(D)x+1;

2.對于命題

I,內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.

II.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形,以下四個結(jié)論中正確的是

(A)1,11都對(B)I對，II錯(C)I錯，II對.(D)I,H都錯.

3.設(shè)x是實(shí)數(shù)，y=|x-1|+|x+1].下列四個結(jié)論:

I.y沒有最小值；

II.只有一個x使y取到最小值；

III.有有限多個x(不止一個)使y取到最大值；

IV.有無窮多個x使y取到最小值.

其中正確的是

(A)I(B)II(C)HI(D)IV

4.實(shí)數(shù)%|,》2，七,》4，》5滿足方程組

x}+x2+x3=at;

x2+x3+x4=a2;

<x3+x4+x5=%;

x4+X5+X]=%;

x5+%1+x2=a5.

其中。],“2，。3，。4，。5是實(shí)常數(shù),且《〉。2〉。3〉。4〉。5,則X1,X2,X3,％的大小順序是

(A)%]>x2>x3>x4>x5;(B)x4>x2>x,>x3>x5;

(C)x3>%1>x4>x2>x5;(D)x5>x3>%1>x4>x2.

5.不等式x—l<(x—l)2<3x+7的整數(shù)解的個解

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在A46c中，ZA是鈍角,0是垂心,A0=8C,不

則cos(N08C+N0C6)的值是J''

「、、公尸

V2V2心4飛

(A)--(B)—D

22

V31

(C)T(D)--.

2

答()

7.銳角三角A8C的三邊是Ac,它的外心到三邊的距離分別為見不收P，那么

111,

(A)—:—:-;(B)a:b:c1

ahcC乙-----

(C)cosA:cos8:cosC(D)sinA:sinB:sinC

答()

8.V3(3^--3^-+可以化簡成

(A)V3(V2+1);(B)V3(V2-1)(C)V2-1(D)V2+1

答()

二.填空題

。2c

I.當(dāng)x變化時(shí)，分式",+0x+3的最小值是.

\x~+X+1

2.放有小球的1993個盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有7個小球，且每四個相鄰的盒里共

有30個小球，那么最右面的盒里有個小球.

3.若方程（/一1）（/-4）=人有四個非零實(shí)根，且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點(diǎn)等距排歹（J,則

k=.

4.銳角三角形48c中,NA=30。.以BC邊為直徑作圓，與AB,AC分別

連接DE,把三角形ABC分成三角形ADE與四邊形BOEC,設(shè)它們的面積分

S2,貝I」S|：S2=.

弟一試

.設(shè)H是等腰三角形A8C垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A

BC的距離變小，這時(shí)乘積KAHBC的值變小，變大，還是不變?證明你的結(jié)論.

二AABC中，BC=5,AC=12,AB=\3,在邊AB,AC上分別取點(diǎn)力，E,使線段

DE將

\ABC

分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段DE的最小長度.

三.已知方程/+法+。=0及/+cx+b=0分別各有兩個整數(shù)根x,,x2及X，后，且

x}x2>0,x\x'2>0.

(1)求證:X]<0,x2<0,x\<0,%2<0;

(2)求證:h-i仁cWb+1;

(3)求"c所有可能的值.

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本試共兩道大題，滿分80分.

一、選擇題（本題滿分48分，每小題6分）

本題共有8個小題都給出了A,B、C,D,四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，請把你認(rèn)

為正確結(jié)論的代表字母寫在題后答案中的圓括號內(nèi)，每小題選對得6分；不選、選錯或選出的

代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內(nèi)），一律得0分.

1.若0<a<l,則/a2+4--2+（1+1）X-L.

可化簡為

設(shè)a,b,c是不全相等的任意實(shí)數(shù),若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,則x,y,z

A.都不小于0B.都不大于0

C.至少有一個小0于D.至少有一個大于0（答）（）

3.如圖1所示，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC,CD,DA相切,

若BC=2,DA=3,則AB的長

A.等于4B.等于5

C.等于6D.不能確定

（答）（

■4.當(dāng)x='+"0"3—1—1

的值為

C.22001D.-22001（答）

M

DB

圖2

)

5.若平行直線EF,MN與相交直線AB,CD相交成如圖2所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角

A.4對B.8對

C.12對口.16對

（答）（）

6.若方程斤7=x有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)

數(shù)p的取值范圍是

1

<

p-

4

B,1

D.>

P-

4

（答）（）

7.設(shè)銳角三角形ABC的三條高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,貝U

AH?AD+BH?BE+CH-CF的值是

告(ab>+t>c+ca)B.+小+Q

2

C.—-+-t>c-4-ca)D.售1+b?T)

（答）（)

8.若a*==19942（其中a.b是自然數(shù)）,旦

T—11

一十—=_,貝U2a+b白勺--k切）亙T背自自勺耳

XyZ

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989（答）（)

二、填空題（本題滿分32分，每小題8分）

各小題只要求在所給橫線上直接填寫結(jié)果.

2

1,若在關(guān)于x的,匣等式，歹十瞑

X2+X—2n+ax+t>

中.X*；*為最衙分式,且有a>b,a+b=c.貝UZ

2.當(dāng)|x+l|<6時(shí)，函數(shù)y=x|w|-2x+1的最大值

是__________.

3.在AABC中，設(shè)AD是高，BE是角平分線，若BC=6,CA=7,AB=8,貝i」DE=.

4.把兩個半徑為5和一個半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，若要有用一

個大圓形紙片把這三個圓形紙片完全蓋住，則這個大圓形紙片的最小半徑等于.

A第A*一—?試b

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本試共三道大題，滿分60分.

一、（本題滿分20分）

如圖所示，在AABC中，AB=AC.任意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ.求證：4ABC

的外心。與A,P,Q四點(diǎn)共圓。

思路一：△OCP畛/XOAQ--NCPO/AQO--OAPQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）

思路二：△PAO絲△QBO-fN0PA=/AQ0ffOAPQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）

連接OB、0A。

ZOBA=ZOAB=ZOAC

:.ZPAO=ZQBO

PA=QBAO=BO

.,.△PAO^AQBO

ZOPA=ZAQO

所以0與A,P,Q,四點(diǎn)同園

二、（本題滿分20分）

周長為6,面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明

共有幾個？

三、（本題滿分20分）

某次數(shù)學(xué)競賽共有15個題.下表是對于做對n（n=0,1,2,……,15）個題的人數(shù)的?個統(tǒng)計(jì).

n0123...12131415

做對n個題的人數(shù)781021....15631

如果又知其中做對4個題和4個題以上的學(xué)生每人平均做對6個題，做對10個題和10個題以

下的學(xué)生每人平均做對4個題.問這個表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試答案

一、選擇題；

小題號12345678

答案ADBBDCBC

二、填空題：

142163.粵413：

第二試提示及答案.

一、連結(jié)OA,OC,OP,OQ.證明AOCP烏aOAQ,于是

ZCPO=ZAQO,所以O(shè),A,P,Q四點(diǎn)共圓.

這樣的三直角三角形存在.恰有一個.

兩條直角邊為子與告色，斜邊為g

三、這個表至少統(tǒng)計(jì)了200人.

1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題

1.已知a=355,b=444,c=533,則有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程組[芍+*=63,的正整數(shù)解的組數(shù)是

[xz-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程(x—1)(x2—2x—m)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的

取值范圍是1】

3

A..OMmMlB-mN—

4

33

C.—vm112^.—m2^1

44

4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于-圓，那么此圓的周長為[]

A.62nB.63nC.64mD.65n

5.設(shè)AB是。O的一條弦，CD是。。的直徑，且與弦AB相交，記乂=IS△CAB-SA

DAB?，N=2SAOAB>則［

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式I|al—(a+b)I<Ia—la+bII,則［1

A.a>0且b>0B.a<0且b>0

C.a>0且b<0D.a<0且b<0

二、填空題

1.在12,22,32…，952這95個數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有一個。

2.已矢口x—?=O的才艮，貝U

A

——的值等于____.

a:5+a(—一a:3—a2

3.設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x°-x+工的最小值

X

是___.

4.以線段AB為直徑作個半圓，圓心為O,C是半圓周上的點(diǎn)，且OC2=AC?BC,則N

CAB=.

A弟A-一―■試"?_11

一、已知/ACE=/CDE=90°,點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交

AB于F(如圖)求證F為4CDE的內(nèi)心。

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，試在二次函數(shù)y=A+|

的圖象上找出滿足y<IXI的所有整點(diǎn)(x,y),并明理由

三、試證：每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。

199彈全國初中效學(xué)聯(lián)褰試題

第一試

一、選擇題

1.已知a=355,6=44^=533,則有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程組["+"=63?的正整數(shù)解的組數(shù)是

[xz-yz5323

[1

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程儀-1)儀2—2*—111)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那

么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1

A?OMtnMlB.mN,

33

C?—<mM1D?~MmM1

4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一扇，那么此圓的周長為

[]

A.62冗B.63xC.64兀D.65x

5.設(shè)AB是。O的一條弦，CD>G)O的直徑，且與弦AB^交，記乂=IS^CAB

~SADABI?N=2SAOAB,貝I[]

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)實(shí)數(shù)a、府是不等式IIaI-(a+b)I<Ia-|a+bII,則[]

A.a>0且b>0B.2<0且6>0

C.2>0且1)<0D.2<0且1><0

二、埴空題

1.在142Z32....952這95個數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有個.

2.己知a是方程—+x—2=0的根，貝IJ

4

3.設(shè)x為正物，則函數(shù)y=x'-x+」的最小值

X

是—.

4.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O,C是半圓周上的點(diǎn),且OC2=AC?BC,

則NCAB=.

第二試

一、已知NACE=NCDE=90°,點(diǎn)暗磔上，CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D

三點(diǎn)的扇交AB于F(如圖)求證F為的內(nèi)心.

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

的點(diǎn)稱為整點(diǎn).試在二次函數(shù)y=總一.+W

的圖象上找出滿足y<IxI的所有整點(diǎn)(x,y).并明理由.

三、試證：每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之

和.

199濟(jì)全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)褰參考答案

第一試

一、選擇題

1.講解：這類指數(shù)累的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或化

為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有

c=(53)n=125n

〈24311=(35)1』

<25611=(44)11=b.選C.

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計(jì)售Iga、Igb、1g他可以，但沒有優(yōu)越性。

2.講解：這類方程是熟知的.先由第二個方程確定z=l,進(jìn)而可求出兩個解：

(2,21,1)、(20.3,1).也可以不解方程組

產(chǎn)+y=63,①

x+y=23,

直接判斷：因?yàn)閤Wy(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無解或有兩個解，對照

選擇支，選B.

3.講解：顯然，方程的一個根為1,另兩根之和為XI+X2=2>1。三根能作為

一個三角形的三邊，須且只須Ixj—X2I<1又

IX]-x?I=-7^'=”一4m<1,

IaI

有0W4—4m<1.

解得

4

但作為選擇題，只須取m=:代入.得方程的根

為I.1.1,不能組成三角形,故包括之的A.B、

224

D均可否定.選C.

4.講解：四個選擇支表明，圓的周長存在且唯一,從而直徑也存在且唯一.又

由

BAB^AD2

=252+602

山=52X(52+122)

?=52X132

=(32+42)X132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65為直徑，得周長為65兀，選D.

5.講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦碛?/p>

是錯誤的.比如有的考生取AB為直徑，則M=N=0,于是就選B.其實(shí)，這只能排

除A、C,不能排除D.

C

D

圖2

不失一般性，設(shè)CE三ED,在CE上取CF=ED,貝陽OF=OE,且SAACET

AADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$4

ABC-SADAB=2SAOAB,即'1=、選B.

若過C、D、g別作AB的垂線(圖3),CEJ_AB、DF_LAB、OL±AB,垂足分

別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn).根

據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對角線中點(diǎn)的連續(xù)平行底邊，并且等于兩底差的一

半，有

ICE-DFI=20L.

兩邊乘以gAB,可得

即M=N.選B.

6.講解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,選B.一般地，對已知不等式平方,

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

顯然IaII(a+b)I>0(若等于0,則與上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIIaI9

兩邊都只能取1或?1，故只有1>?1,即

=-2—=-1,

Ia+bllai

有aVO且a+b>0,從而b>-a>0.選B.

二、埴空題

1.講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力.經(jīng)計(jì)算I，

22,102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有"=16,62=36.然后，對兩位數(shù)10a+b,

有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b=4或

6時(shí)，其十位數(shù)字才會為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1,2,…，95中個位數(shù)出現(xiàn)了幾次4

或6,有2X9+1=19.

2.講解：這類問題一般都先化藺后代值，直接把a(bǔ)

=昔區(qū)代入將導(dǎo)致復(fù)雜的計(jì)算.

由已知，有a'+a=①

4

原式=牛叫等

a2(a-D(a+1)’

1..

=@中中=曰=20.

(aa+a)2(小

學(xué)生在這道題上的錯誤主要是化簡的方向不明確，最后又不會將a2+a作為整體

代入.這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活.比如，由①有

a3+a2=7a,②

4

a5+a4=③

4

由②一①，得

a3-a=-(a-1).④

4

由③一②并將④代入，得

a5+a4-a>-a3=i(a>-a)=-^(a-1).

416

⑤

于是,原式==16(a'+a+l)

如7

=16(1+1)=20.

還可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥?⑤即得所求.

3.講解：這個題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)

y=工作疊加，要求學(xué)生在掌提二次函數(shù)求最值

X

(配方法)的基礎(chǔ)上，做綜合性與靈活性的運(yùn)用.

進(jìn)行兩次配方I

y=(x-l)2+(-7x~^+1>K

或絲二效a+iA.

X

因而x=l時(shí)，y有最小值1.

4.講解：此題由筆者提供，原題是求sm

NCAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°

sinl5°.解法如下：

圖5

首先NACB=90?，進(jìn)而OC=!AB,代入己

2

知條件，有

(1AB)3=AC*BC.①

與AB2=AB2+AC2②

聯(lián)立，可推出

AC+BC=J|AB.

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

X2-J|ABx+歲=。的兩個根,解得

Xl.2-------4-血

當(dāng)BC=漁峽AB時(shí)，

4

anZCAB=(ZCAB=77)(

當(dāng)BC=必^一、4AB時(shí),

4

sinNCAB=釜=遠(yuǎn)1互(NCAB=15。).

AJo4

改為求NCAB之后，思路更寬一些.如，由

SA>BC=1AC-BC=10C2,

J

S=C=2SAW=2?10C9nZA0C.

得smNAOC=g.

當(dāng)NA0C=3(r時(shí)，ZCAB=^(180,-3N)

-75,?

當(dāng)NAOCH】5(T時(shí).NCAB=g(18CT-150,)

-15,

第二試

一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△

ABC中，斜邊BC上的高，過aABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交迫AB和AC

于燒L,△用咖ZiAKL的面積分別記為S和T.求證招2T.

在這個題目的證明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出AK=AL=AD（斜邊上的高），再求證

KLMaAABD^aADC的內(nèi)心（圖7）.

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個：其一，連FC、FD、FE,然

后證其中兩個為相應(yīng)的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線

段相等.下面是幾個有代表性的證法.

圖6

證法1：如圖6,連DF,則由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=^ZCDE.故DF為

2

NCDE的平分線.

連BD、CF,由CD=CB,知

ZFBD=ZCBD-45°

=ZCDB-450=NFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線殷BD的垂直平分線上，從而也在等

腹三角形CBD的頂角平分線上，CF是NECD的平分線.

由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心.

證法2：同證法1,得出NCDF=45°=90。-45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E、D、F四點(diǎn)共扇.連EF,在證得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分線.

本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共同把許多

已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜.

由這個證明可知，F(xiàn)是也阻的外心.

圖8

ZCDF=ZCAB=45*=」NCDE.知DF是

2

NCDE的平分線.故F為CDE的內(nèi)心.

證法4：如圖8,只證CF為NDCE的平分線.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB-Z1

=45°+N1

得N1=N2.

從而NDCF=NGCF,

得CF為NDCE的平分線.

證法5：首先DF是NCDE的平分線，故

△CDE的外心I在直線DF上.

現(xiàn)以CA為'軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CAnCBnCDna則直線AB是一次

函數(shù)

y=-x+d①

的圖象(圖9).若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為(X-yp,則

xi+yi=CH+lH

=CH+HB=CB=d

滿足①，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn).由交點(diǎn)的唯一性

知I就是F,從而證得F為Ri△CDE的內(nèi)心.

還可延長E90O于Pi，而CP為直徑來證.

二、講解：此題的原型由莖者提供.題目是：

坐標(biāo)平面上縱.慢坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn).

對二次函數(shù)y=gx'+gx-1995,請找出其位

于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫

坐標(biāo)的格點(diǎn).

這個題目的實(shí)質(zhì)是解不等式

l<lxa+lx-1995<x,

求正整數(shù)解.直接解，數(shù)字較繁.但有巧法，由

1+2+?”+x=生竽2=1995+丫

及l(fā)Wy<x,

知1+2H---F(x-l)<1995<l+2+-+x.

但1953=l+2+~+62<1995Vl+2H----1-62+63=2016,得x=63,從而y=

21,所求的格點(diǎn)為(21,63).

經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算.

解法1,己知即|x|,

有x?—x+18W10|x|.

當(dāng)xZO時(shí)，有x?—llx+18W0,

得2WxW9,代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個整點(diǎn)：(2,2),(43)X7,6),(9,9);

當(dāng)x<0時(shí)，有

x2+9x+lS<0,

得-6WXW-3,代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個整點(diǎn):

(-6,6),(-3,3).

解法2,由丫=x(x\：+18為整數(shù),知x關(guān)于模10的

余數(shù)只能為2(或-8)、、7(或-3)、9(或-1).

對x^O,取x=2,4,7,9,12,14,…順次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),

且當(dāng)x>9時(shí)，由

1lk49、1...lla49.

y-x=—r[(/x——)a——]>—[(9————]=

1對、r4」10L24」

0,知y〉-x,再無滿足3<IXI的解.

對x<0,取x=-l,-3,-6,-8,…順次代入，得(-3,3)、(-616),且當(dāng)x<-6時(shí)，由

y+x=—^-[(x-I--)a——]

>1OL^24J

1QQ

>—[-6+—)a--]=O.

104，A1

知安-x,再無滿足yWIxI的解.

故一共有6個整點(diǎn)，圖示略.

解法3：先找滿足條件y=IxI的整點(diǎn)，即分別解方程

X2-11X+18=0①

X2+9X+18=0②

可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找滿足yVIx|的整點(diǎn)，這時(shí)

2VxV9或-6VxV-3,

依次檢驗(yàn)得(4,3)、(7,6).故共有6個整點(diǎn).

三、講解：直雙上可以這樣看，當(dāng)n>制，在2,3,…，n-2中，必有一個數(shù)

A與n￡質(zhì)(2WAWn-2),記

B=n-A三2>

有n=A+B.

此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d>L貝Ud也是n的約數(shù)，從而A與n有

大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾.

但是，對于初中生來說，這個A的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體找

出來.

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有

n=2+(n—2),

或n=口+也

&22'

(2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有

由n>6殉寧>1,且三攔.寧均為奇數(shù).

(寧，號=(啜，4)=1.

(3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有

_n_21n+2

n~—+—'

由n>6知用工>1,且寫2、牛均為奇數(shù).

唳噤=（啜2）=1.

1996年全國初中敬學(xué)聯(lián)褰試題

第一試

一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）

1.實(shí)數(shù)a.b滿足ab=L記M=」一+\,

1+a1+b

N=」一+，_,則M、N的關(guān)系為（]

1+a1+b

A.M>NB.M=NC.M<ND.不確定

2.設(shè)正整數(shù)a.m、n滿足Ja，-4、叵=,

則這樣的a、m、n的取值[]

A.有一組B.有二組C.多于二組D.不存在

3.如圖，A是半徑為1的圓0外的一點(diǎn)，0A=2,AB是圓0的切線，B是切點(diǎn)，弦BC

//0A,連結(jié)AC,則陰森部分的面積等于[]

2Tt7T

4.設(shè)xi、X2是二次方程x203=0的兩個根，那么町34x22+19的值等于

[]

A.4B.8C.6D.0

5.如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個

三角形的[]

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

6.如果20個點(diǎn)將某圖周20