新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第28講 雙曲線（原卷版）

第28講雙曲線學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理1.雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；(2)若a＝c，則點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；(3)若a>c，則點(diǎn)P的軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2考點(diǎn)和典型例題1、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1-1】已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線上一點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其內(nèi)切圓圓心在直線SKIPIF1<0上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-3】已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【典例1-4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．4或6 C．3 D．3或72、雙曲線的性質(zhì)【典例2-1】已知雙曲線SKIPIF1<0（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線SKIPIF1<0圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【典例2-2】橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率之積為1，則雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例2-3】若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線與直線SKIPIF1<0相互垂直，則雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點(diǎn)與虛軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

（

）A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．8【典例2-4】已知點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OMF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為8，則C的實(shí)軸長為（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【典例2-5】已知點(diǎn)P是雙曲線SKIPIF1<0上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．13、雙曲線的綜合應(yīng)用【典例3-1】雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為SKIPIF1<0米，上口半徑為SKIPIF1<0米，下口半徑為SKIPIF1<0米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)SKIPIF1<0．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（SKIPIF1<0，A，B在同一直線上），滿足SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-3】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，實(shí)半軸長是虛半軸長的2倍；(2)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為SKIPIF1<0，焦距長為SKIPIF1<0．【典例3-4】已知雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過雙曲線的一個焦點(diǎn)作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求弦長SKIPIF1<0．【典例3-5】雙曲線S