江蘇省南通市通州區(qū)西亭高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,平面與平面相交于,,,點,點,則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直2.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.3.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.34.已知實數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.5.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切6.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.7.已知雙曲線(,)的左、右焦點分別為,以(為坐標(biāo)原點)為直徑的圓交雙曲線于兩點,若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()A. B.C. D.9.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.10.已知銳角滿足則()A. B. C. D.11.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.12.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,為測量出高,選擇和另一座山的山頂為測量觀測點,從點測得點的仰角,點的仰角以及;從點測得.已知山高,則山高__________.14.設(shè)函數(shù),若存在實數(shù)m,使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實根,且這4個根的平方和存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是______.15.某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個小組,在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績的中位數(shù)為73,則x-y的值為________.16.設(shè)為拋物線的焦點,為上互相不重合的三點,且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標(biāo)為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?18.(12分)已知橢圓:的離心率為,右焦點為拋物線的焦點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)為坐標(biāo)原點,過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點,若、斜率之積為,求證:的面積為定值.19.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長是否有最大值?如果有,求出這個最大值,如果沒有,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:22.(10分)中,內(nèi)角的對邊分別為,.(1)求的大小;(2)若,且為的重心,且,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.2.D【解析】

把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)模的求法.3.D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.4.A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.7.D【解析】

連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.8.A【解析】

由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9.A【解析】

利用計算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.10.C【解析】

利用代入計算即可.【詳解】由已知,,因為銳角,所以,,即.故選:C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算能力,是一道基礎(chǔ)題.11.B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.12.C【解析】

由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】試題分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案為1.考點:正弦定理的應(yīng)用.14.【解析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時有4個不相等的實根,再將這四個根的平方和表示出來,利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當(dāng)時,,此時,此時函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,方程最多2個不相等的實根,舍;當(dāng)時,函數(shù)圖象如下所示:從左到右方程,有4個不相等的實根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時有最小值,則對稱軸,解得.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識,但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.15.【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【點睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡單題.16.或【解析】

設(shè)出三點的坐標(biāo),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為:,設(shè),由拋物線的定義可知:,,,因為、、成等差數(shù)列,所以有,所以,因為線段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2)【解析】

(1)X的可能取值為300,500,600,結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應(yīng)概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式,得到對應(yīng)的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當(dāng)時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.18.(1);(2)見解析【解析】

(1)由條件可得,再根據(jù)離心率可求得,則可得橢圓方程;(2)當(dāng)與軸垂直時,設(shè)直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立求得的坐標(biāo),通過、斜率之積為列方程可得的值,進而可得的面積;當(dāng)與軸不垂直時,設(shè),,的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理和、斜率之積為可得,再利用弦長公式求出,以及到的距離,通過三角形的面積公式求解.【詳解】(1)拋物線的焦點為,,,,,,橢圓方程為;(2)(?。┊?dāng)與軸垂直時,設(shè)直線的方程為:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時,設(shè),,的方程為由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距離綜上:為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算能力,是中檔題.19.(1);(2)【解析】

(1)零點分段解不等式即可(2)等價于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價于.又因為,所以,即.解得,結(jié)合,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉(zhuǎn)化思想,是中檔題20.(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】

(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因為,所以.(Ⅱ)當(dāng)時,的周長有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因為,所以,所以當(dāng)即時,取到最大值2,所以的周長有最大值,最大值為3.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.21.(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因為定義域為,所以,時,,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易

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