專題05 圓的證明與計(jì)算（原卷版）

2/2專題05圓的證明與計(jì)算目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01隱圓模型 1題型02圓與相似 11題型03圓與全等 20題型04圓的計(jì)算 27中考練場(chǎng) 38題型01隱圓模型【解題策略】定點(diǎn)定長的隱圓定弦定角的隱圓對(duì)角互補(bǔ)的隱圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓。若線段AB的長度及其所對(duì)的∠ACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為弦的圓。若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！镜淅治觥坷?．（2023·浙江·中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1例2．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

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A．3 B． C． D．2【變式演練】1．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·模擬訓(xùn)練）如圖，已知等邊的邊長為10，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在直線l變化過程中，則面積的最大值為．2．（2022·湖北武漢·三模）在中，，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是．

3．（2023·陜西咸陽·一模）如圖，在中，，點(diǎn)P在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接，若，則的最大值為．

4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

題型02圓與相似【解題策略】對(duì)于圓與相似相結(jié)合的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．【變式演練】1．（2023·湖南湘西·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，平分，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：．(2)當(dāng)，且時(shí)，求線段的長．(3)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且平分，若，，求的長．2．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在直徑上（與不重合），且，連接，與交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使與相切．(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，，求的長．題型03圓與全等【解題策略】對(duì)于圓與全等相結(jié)合的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長線交于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【變式演練】1．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，內(nèi)接于．是直徑，過點(diǎn)作直線，且是的切線．(1)求證：．(2)設(shè)是弧的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．①求證：．②若，，試求的長．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中兩條弦，互相垂直，垂足為，為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求的值．題型04圓的計(jì)算【解題策略】對(duì)于圓的計(jì)算的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)C，與相交于點(diǎn)E，連接，且，延長交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長．【變式演練】1．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖，為的切線，為切點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，若，的半徑為，求的長．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作切線交延長線于點(diǎn)C，平分，交于F．(1)求證：；(2)若半徑為2，，求的長度．3．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦與交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A的切線交的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)B是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為4，，求．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)，的反向延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，的半徑為10，求的長度．1．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)的直線垂直于的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：為⊙的切線；(2)若，，求的長．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長．6．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長．7．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，在中，，O為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊