用樣本估計總體 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二節(jié)用樣本估計總體課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識1.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有________的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)____________這個值．p%大于或等于

中間平均數(shù)最多3．方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝______________或

.(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝________________________．

夯

實

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(

)(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位．(

)(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(

)(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(

)××√√2．為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市50000戶居民的日用電量．若通過抽樣從中抽取了300戶進(jìn)行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5kW·h，則可以推測全市居民用戶日用電量的平均數(shù)(

)A．一定為5.5kW·h

B．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·h

D．約為5.5kW·h答案：D解析：由樣本的數(shù)字特征與總體的數(shù)字特征的關(guān)系，可知全市居民用戶日用電量的平均數(shù)約為5.5kW·h.3．(教材改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是9，10，13，14，15，15，16，17，17，18，那么數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是______．答案：17解析：將10名工人某天生產(chǎn)同一零件個數(shù)從小到大排列為9，10，13，14，15，15，16，17，17，18.因為80%×10＝8，所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即17.4．(易錯)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示，則這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為______，這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為________(精確到0.1)，這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為______．答案：75

73.3

72

課堂互動探究案1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．2．能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．問題思考·夯實技能【問題1】一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)嗎？提示：不一定．可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．例如數(shù)據(jù)1，2，3的第50百分位數(shù)是2，是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)；數(shù)據(jù)1，2，3，4的第50百分位數(shù)是2.5，不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．【問題2】如何利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？提示：在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之積的總和．中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值．眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點的橫坐標(biāo)．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

百分位數(shù)的估計例1(1)[2024·安徽馬鞍山模擬]現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：663，664，665，668，671，664，656，674，651，653，652，656，則這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)是(

)A．652B．668C．671D．674答案：C解析：由題意這組數(shù)共12個，則12×85%＝10.2，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個數(shù)，即671.故選C.(2)[2024·河北邢臺模擬]《中國居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是(

)A．55

B．57.25C．58.75

D．60答案：C解析：因為(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75，0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在[55，60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為m，則(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.故選C.題后師說頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計算步驟鞏固訓(xùn)練1(1)[2024·廣東江門模擬]某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)(單位：cm)從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x＝(

)A．169B．170C．171D．172答案：C

(2)高一某班10名學(xué)生的英語口語測試成績(單位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．答案：86

題型二

總體集中趨勢的估計角度一樣本的數(shù)字特征例2[2024·江蘇連云港模擬]某高校為傳承中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽．在比賽中，由A，B兩個評委小組(各9人)給參賽選手打分．根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是(

)A．A組打分的眾數(shù)為50B．B組打分的中位數(shù)為75C．A組的意見相對一致D．B組打分的均值小于A組打分的均值答案：C

題后師說中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”；平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，它們均描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢．

角度二頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例3[2024·安徽淮北模擬]某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

題后師說頻率分布直方圖中的數(shù)字特征的求解方法(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．鞏固訓(xùn)練2(1)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地6月1日至10日的PM2.5日均值(單位：μg/m3)的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說法錯誤的是(

)A．眾數(shù)為30B．中位數(shù)為31.5C．平均數(shù)小于中位數(shù)D．極差為109答案：C

(2)(多選)[2024·山東聊城模擬]某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機(jī)選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是(

)A.中位數(shù)70

B．眾數(shù)75C．平均數(shù)68.5D．平均數(shù)70答案：ABC

題型三

總體離散程度的估計例4[2023·全國乙卷]某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)．試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536

題后師說標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．

質(zhì)量指標(biāo)值[0，40)[40，80)[80，100]作物等級二級一級特級利潤(元/千克)102050

1．[2024·九省聯(lián)考]樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為(

)A．14B．16C．18D．20答案：B解析：將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選B.2．(多選)[2021·新高考Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(

)A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為xi，則第二組的中位數(shù)為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯誤；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確．D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.3．(多選)[2021·新高考Ⅱ卷]下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，