第09章 三年高考真題與高考等值卷( 平面解析幾何 )(理科數(shù)學(xué))（解析版）

本章三年高考真題與高考等值卷(平面解析幾何)(理科數(shù)學(xué))

1.直線與方程

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

(3)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

(4)掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，

了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

(5)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

(6)掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

2.圓與方程

(1)掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

(4)初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.

3.圓錐曲線

(1)了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì).

(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

(4)了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想.

4.曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1.【2019年天津理科05】已知拋物線f=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/.若/與雙曲線1(a>0,b>0)的兩條

漸近線分別交于點(diǎn)4和點(diǎn)B,且|AB|=4|Ofl(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()

A.B.C.2D.

【解答】解：；拋物線f=4x的焦點(diǎn)為立準(zhǔn)線為/.

：.F(1,0),準(zhǔn)線/的方程為x=-l,

_2

二=

與雙曲線―b2-1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|0F|(。為原點(diǎn))，

2b2b

=——=4

：.\AB\a,|OF|=1,/.Q,：.b=2a,

.=+b2=賽a

??cf

雙曲線的離心率為e。

故選：D.

2.【2019年新課標(biāo)3理科10】雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若

|PO|=|PP，則△PFO的面積為()

A.B.C.2D.3

x2y2

【解答】解：雙曲線C：了一爹=1的右焦點(diǎn)為尸(必，0),漸近線方程為：yx,不妨P在第一象限，

=立

可得tan/PO廠2,P(,),

1^33^2

—xVr6x—=-----

所以△尸尸。的面積為：2Y2-4.

故選：A.

3.【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科08】若拋物線)2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()

A.2B.3C.4D.8

P

【解答】解：由題意可得：3p-p=(2)2,解得p=8.

故選：D.

4.【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科11】設(shè)尸為雙曲線C：1(?>0,^>0)的右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為

直徑的圓與圓7+丁=.2交于尸，。兩點(diǎn).若|PQ|=|Of],則C的離心率為()

A.B.C.2D.

【解答】解：如圖,

=號(hào)—2

由題意，把X*代入/+/=/,得pQ

H」.?2

再由|PQ|=|OF|,得，即2a2=c2,

—=2=—=^2

a2-，解得e°

故選：A.

5.【2019年新課標(biāo)1理科10］已知橢圓。的焦點(diǎn)為Q(-1,0),F2(1,0),過(guò)戶2的直線與。交于A,

B兩點(diǎn).若依尸2|=2|尸2用，\AB\^\BFi\,則C的方程為()

A./=1B.1

C.1D.1

【解答】解：V|AF2|=2|BF2|,：.\AB\=3\BF2\,

又H8|=|8FI|,A|BFI|=3|BF2|,

-5

又石尸1|+|3尸2|=2a,：.\BF2\

3

：.\AF2\^a,\BFt\2a

_1

A

在RtZkAFzO中，COSNAF2。.

_4+(1)2-(|a)2

在中，由余弦定理可得cosNB尸2尸1

14-2a2

根據(jù)COS/AF2O+COSNBF2FI=0，可得a+2a0,解得J=3,

h2=a2-C2=3-1=2.

92

xry-

所以橢圓c的方程為：T+T=i.

故選：B.

6.【2019年北京理科04】已知橢圓1(a>6>0)的離心率為，則()

A.。2=2后B.3。2=4廿C.a=2bD.3a=4b

￡_1c21a2—b21

【解答】解：由題意，a-2,得二二*則a」=』

/.4a2-4廿=/,即3a2=4戶.

故選：B.

7.【2019年浙江02】漸進(jìn)線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（）

A.B.1C.D.2

【解答】解：根據(jù)漸進(jìn)線方程為x±y=0的雙曲線，可得a=b,所以

=￡=^2

則該雙曲線的離心率為e°,

故選：C.

8.【2018年新課標(biāo)1理科08】設(shè)拋物線C：夕=4x的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)（-2,0）且斜率為的直線與C交于

M,N兩點(diǎn)，則?（）

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：拋物線C：的焦點(diǎn)為尸（1,0）,過(guò)點(diǎn)（-2,0）且斜率為的直線為：3y=2計(jì)4,

聯(lián)立直線與拋物線C：，=4x,消去工可得：/-6y+8=0,

FM=（0,2）FN=（3,4）

解得弘=2,”=4,不妨A/（l,2）,N（4,4）,,

,FMFN=

則?（0,2）*（3,4）=8.

故選：D.

9.【2018年新課標(biāo)1理科11】已知雙曲線C：丁=1,o為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為C的右焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線與C

的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若△OMN為直角三角形，則幽川=（）

A.B.3C.2D.4

二一=士電

【解答】解：雙曲線C：3尸=1的漸近線方程為：），-3,漸近線的夾角為：60°,不妨設(shè)過(guò)尸（2,

0）的直線為:廣召（*一2）,

則：b'h於（X—2）解得何（，一下），

j=的(x-2)解得:N(3,第),

貝3.

故選：B.

10.【2018年新課標(biāo)2理科05】雙曲線1(a>0,h>0)的離心率為，則其漸近線方程為()

A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

=J=事

【解答】解：?.?雙曲線的離心率為e°

即雙曲線的漸近線方程為y=土x=±名，

故選：A.

11.【2018年新課標(biāo)2理科12】已知乃，乃是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)

P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PQF2為等腰三角形，/Q&P=120°,則C的離心率為()

A.B.C.D.

【解答】解：由題意可知：A(-a,0),Fi(-c,0),Fi(c,0),

=立

直線AP的方程為：y-6(x+a),

由NF1F2尸=120°,\PF2\=\F\F2\=2C,則P(2C,弗C),

V3

代入直線AP：c-6(2c+“)，整理得：a=4c,

_C_1

...題意的離心率占一三

故選：D.

12.(2018年新課標(biāo)3理科06】直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+/

=2±,則△A8P面積的取值范圍是(

A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]

【解答】解：???直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,3兩點(diǎn),

，令4=0,得y=-2,令y=0,得x=?2,

?.A(-2,0),B(0,-2),依8|=-4+4=2迎

?.?點(diǎn)尸在圓(x-2)2+^=2上，.?.設(shè)P(2+缶°s8,岳嗎,

.?.點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：

_|2+Mcosg/sin0+2|_|七也(9±?+4|

d下^2,

,n|2sin(0+1)+4|

Vsin(5)G[-1,1],：.d~收6四叫,

：./\ABP面積的取值范圍是：

故選：A.

13.【2018年新課標(biāo)3理科11】設(shè)Q,乃是雙曲線C：1(a>0.b>0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)

尸2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若伊Q||OP|,則C的離心率為()

【解答】解：雙曲線C：/一廬二1(a>0.b>0)的一條漸近線方程為「可:,

???點(diǎn)上到漸近線的距離d折2+7b,即|Pa|=4

..__,_____b

...|0P|7l%|2-回2|2=*-乒=08S/PF2。"

=V6

V|PFi|"|OP|,

在三角形F1P3中，由余弦定理可得|PFI『=|PF2/+|F產(chǎn)2『-2|P3|?尸產(chǎn)21cos/尸危0,

X—=

：.6a2=b1+4c1-2XhX2cc4c2-3Z?2=4c2-3(c2-?2),

即3“2=。2,

日口的

即a=c,

??af

故選：c.

14.【2018年浙江02】雙曲線b=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,),(0,)D.(0,-2),(0,2)

【解答】解：???雙曲線方程可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且7=3,廿=1,

由此可得。=蛇">=2,

,該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)

故選：B.

15.【2018年上海13】設(shè)P是橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為()

A.2B.2C.2D.4

【解答】解：橢圓M+了=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在X軸，a二君，

22

P是橢圓531上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的定義可知：則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=2”、

故選：C.

16.【2018年天津理科07】已知雙曲線1(a>0,b>0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙

曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為力和心，且力+小=6,則雙曲線的

方程為()

A.1B.1

C.1D.1

【解答】解：由題意可得圖象如圖，8是雙曲線的一條漸近線

=—x

ya,BPbx-ay=O,F（c,0）,

AC±CD,BD1,CD,FELCD,ACQ8是梯形，

_d^+d?_

產(chǎn)是A8的中點(diǎn)，EF23,

be_

EF標(biāo)銀b,

二一士=-=2

2-

所以6=3,雙曲線a?b1（a>0,b>0）的離心率為2,可得。，

a2+b2

可得：a2=4,解得a=笆.

_22

則雙曲線的方程為：T~T=i.

故選：c.

17.【2017年新課標(biāo)1理科10】已知F為拋物線C：夕=敘的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相垂直的直線/i，b，直

線/1與C交于A、8兩點(diǎn)，直線/2與C交于。、E兩點(diǎn)，則HBI+IQEI的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【解答】解：如圖，直線人與C交于4、8兩點(diǎn)，

直線，2與C交于。、E兩點(diǎn)，

要使依8|+|?！陓最小，

則A與￡>,B,E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1,

又直線b過(guò)點(diǎn)（1，0）,

則直線/2的方程為y=x-1,

y2=4x

（曠=*-1,則，-4y-4=0,

，yi+”=4,y\yi=-4,

|。￡）=Jl+丁物-”「&X原=8,

的最小值為2|D￡]=16,

n

7+

方法二：設(shè)直線/1的傾斜角為9,則/2的傾斜角為2。,

_2p_4

根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得HBIsm29S譏29

-2p_2p=4

ICG$刖2（升8,COS20COS20

I"I4

二4十4二4二16

?\AB\+\DE\sm?。cos26sin20cos26sin-20

VO<sin220^1,

，當(dāng)0=45°時(shí)，|A8|十|DE|的最小,最小為16,

故選：A.

18.【2017年新課標(biāo)2理科09]若雙曲線C：1（tz>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+『=4所截得的

弦長(zhǎng)為2,則。的離心率為（）

A.2B.C.D.

x2y2

【解答】解：雙曲線C：靛一乒=1（心0,6>0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=0,

圓（x-2）2+尸=4的圓心（2,0）,半徑為：2,

廣廣

雙曲線C：/■一記=1（a>0,6>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+f=4所截得的弦長(zhǎng)為2,

可得圓心到直線的距離為：源小人,

4c2-4a2

-=3

解得：c2,可得）=4,即《=2.

故選：A.

19.【2017年新課標(biāo)3理科05】已知雙曲線C1（ci>0,式>0）的一條漸近線方程為期，且與橢圓1有

公共焦點(diǎn)，則。的方程為（）

A.1B.1

C.1D.1

【解答】解：橢圓1231的焦點(diǎn)坐標(biāo)（±3,0）,

則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3,0）,可得c=3,

=_±==是

雙曲線C：a2-b2-1（。＞0,方＞0）的一條漸近線方程為）二二,

（r-a25￡_3

可得，即a?=Z,可得解得a=2,G器,

_22

所求的雙曲線方程為：T-T=i.

故選：B.

20.【2017年新課標(biāo)3理科10】已知橢圓C：1（〃＞匕＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2.且以線段4A2為

直徑的圓與直線法-ay+2必=0相切，則C的離心率為（）

A.B.C.D.

【解答】解：以線段AA2為直徑的圓與直線以-ay+2H=0相切，

2ab

二原點(diǎn)到直線的距離Ja2+b2幻化為：/=3廿.

=￡=卜_"=而

...橢圓C的離心率eau￥丁

故選：A.

21.【2017年浙江02】橢圓1的離心率是（）

A.B.C.D.

【解答】解：橢圓§+了=1,可得。=3,b=2,則0=的_4=鈣,

c群

所以橢圓的離心率為：a=T

故選：B.

22.【2017年上海16】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓。：1和C2：?1.P為Ci上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C2

上的動(dòng)點(diǎn)，w是的最大值.記Q={（P,。）|P在。上，。在C2上，且卬},則。中元素個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.無(wú)窮個(gè)

x2y2y2

【解答】解：橢圓Cl：3641和。2：/9LP為。上的動(dòng)點(diǎn)，Q為。2上的動(dòng)點(diǎn),

可設(shè)P(6cosa,2sina),Q(cosP，3sinP),OWa,p<2ir,

OP-0Q=

則6cosacosp+6sinasinp=6cos(a-p),

當(dāng)a?0=2Kr,在Z時(shí)，卬取得最大值6,

OP?OQ=

則Q={(尸，。)『在Ci上，。在C2上，且w}中的元素有無(wú)窮多對(duì).

另解：令P(m,n),Q(M,v),貝(I，〃2+9〃2=36,9w2+v2=9,

由柯西不等式(“P+9/)(9/J+p2)=3242(3mu+3nv)

當(dāng)且僅當(dāng)mv=9nu,取得最大值6,

顯然，滿足條件的尸、。有無(wú)窮多對(duì)，。項(xiàng)正確.

故選：D.

23.【2017年天津理科05】已知雙曲線1(a>0,h>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)

兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()

A.1B.1

C.1D.1

=—=^2

【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F(-c,0),離心率e0

則雙曲線為等軸雙曲線，即“=〃，

雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,

_4-0_4

則經(jīng)過(guò)尸和尸(0,4)兩點(diǎn)的直線的斜率攵一阡2

-4=心

則c1,c=4,貝lja=6=2',

x2y2

二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：~Q~~Q=l

故選：B.

24.【2019年新課標(biāo)3理科15】設(shè)尸I，七為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

x2y2

—+—=

【解答】解：設(shè)M（,",〃），m,n>0,橢圓C：36201的a=6,b=爐,c=4,

_c_2

=

e=a3,

由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得

△MF1F2為等腰三角形，可能附Fi|=2c或|MF2l=2c,

+2

即有6%n=8,即m=3,〃=屈；

_2

6'"?=8,即"?=-3V0,舍去.

可得M(3,后).

故答案為：(3,屈).

25.【2019年新課標(biāo)1理科16】已知雙曲線C：1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)z，過(guò)用的直

線與C的兩條漸近線分別交于A，8兩點(diǎn).若，?()，則C的離心率為—.

【解答】解：如圖，

且F$.W0,

：.OALF]B,

=9x+c）

則為8：y°,

|V=5（x+c）

，ba2cabc

聯(lián)立U一1',解得8"2-。2,b2-a2）,

則F0=（旨+C）2+（有）2,F2B2=（舟—c）2+（片）2,

..（痣+爐+（占一h+2（盥>=4落

112122

整理得：b=3a,Ac-cr=3afBP4a=c,

（T2C

------4=—=2o

：..a_r21*,ea.

故答案為：2.

26.【2019年江蘇07】在平面直角坐標(biāo)系xOj中，若雙曲線x?l（匕＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,則該雙曲線的漸

近線方程是—.

2

_與=

【解答】解：?.?雙曲線/b-?（/）＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,

22161

_TT=1_汨

：.b-,解得/=2,即

又4=1,...該雙曲線的漸近線方程是）=±迎'I

故答案為：/任

27.【2019年浙江12】已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0,優(yōu)），半徑長(zhǎng)是r.若直線-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A

（-2,-1）,則,r=.

【解答】解：如圖，

m+1_1

由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，得三一一5,解得加=-2.

...圓心為（0,-2）,則半徑尸J（一2-0*+（-1+2）2=鈣

故答案為：-2,媽.

28.【2019年浙江15】已知橢圓1的左焦點(diǎn)為廣，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)在以原

點(diǎn)。為圓心，|。日為半徑的圓上，則直線PF的斜率是.

x2y2_2

【解答】解：橢圓丁+彳=1的。=3,廣書(shū),c=2,e~3,

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，連接尸尸，

線段尸尸的中點(diǎn)4在以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓，

連接AO,可得|尸產(chǎn)|=2依。|=4,

二=正

設(shè)P的坐標(biāo)為(血，幾)，可得3’m=4,可得他，〃2,

由尸(-2,0),可得直線「廠的斜率為

=-^/15

故答案為：屈.

29.【2018年江蘇08】在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，若雙曲線1(?>0,6>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸

近線的距離為c,則其離心率的值為.

x2_b

【解答】解：雙曲線/一乒=1(。>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線丫一入的距離為c,

=—=2

所以雙曲線的離心率為：e。.

故答案為：2.

30.[2018年新課標(biāo)3理科16]已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C：y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與

C交于A,8兩點(diǎn).若乙4MB=90°,則k=

【解答】解：：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F(I,0),

二過(guò)A,8兩點(diǎn)的直線方程為y=k(x-I),

fy2=4x

聯(lián)立G'=可得，RP-2(2+F)X+F=0,

設(shè)A(xi,y\),B(X2，”)，

:4+斗2

則X\+X2k~,XIX2=1T

_4

?-y\^yz=k(xi+x2-2),yi”=必(xi-1)(%2-1)=F[XIX2~(用+火)+1]=-4,

VM(-1,1),

?啟=MB=

:.(xi+1,yi-1),(%2+l?yi~1)?

MAMB=

VZAMB=90°,/.0

/.(xi+1)(X2+1)+(yi-I)("-1)=0，

整理可得，x\X2+(xi+x2)+y\yi-(yi+.V2)+2=0,

,44

+L2-----E*+

A1+2k4k2=0,

即F-4攵+4=0,

：.k=2,

故答案為：2

31.【2018年浙江17】已知點(diǎn)尸(0,1),橢圓>2=機(jī)(加>i)上兩點(diǎn)48滿足2,則當(dāng)機(jī)=時(shí),

點(diǎn)3橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

【解答】解：設(shè)4(xi，yi),B(X2，”)，

AP=PB

由P(0,I),2,

可得-Xi=2x2，1-y\—2(>'2-1)，

即有用=-2x2,巾+2y2=3,

又短+4-2=47〃，

即為型:+)/=〃?，①

X22+4y22=4"?,②

①-②得(y\-2")(yi+2>2)=-3"?,

可得yi-2y2=-m.

_3-m_3+m

解得州一〒，”一一廠，

3—m

則m—x21+(2)2,

3—m——m2+10m—9_-(m-5)2+16

即有刈2=,〃-(2)244,

即有加=5時(shí)，X2?有最大值4,

即點(diǎn)8橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

故答案為：5.

32.【2018年上海02】雙曲線f=i的漸近線方程為.

2

X2

----V=1

【解答】解：：雙曲線4的a=2,h=\,焦點(diǎn)在x軸上

9_2

二-匚=1

而雙曲線/一記"的漸近線方程為)，=土

X2]

2_X

???雙曲線47的漸近線方程為丫=±2

1

-X

故答案為：y=±2

33.[2018年上海12】已知實(shí)數(shù)xi、42、yi、y2滿足：xi2+yi2=l,%22+>22=1?RX2+yiy2,則的最大值為

【解答】解：設(shè)A(xi，y\),B(田，”)，

OA=OB=

（xi，yi）,（X2，＞2），

1

由x/+）,]2=],X22+J22=1，X\X2+y\y2"

可得A,3兩點(diǎn)在圓/+y2=i上，

TT1

rOAOB==7

且?IXlXcos/AOBz,

即有乙408=60°,

即三角形OA8為等邊三角形，

AB=1,

夜友的兒何意義為點(diǎn)A,B兩點(diǎn)

到直線x+y-1=0的距離d\與di之和，

顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=l平行,

可設(shè)A8：x+y+f=0,(r>0),

=l￡l

由圓心O到直線A8的距離4於，

口!==在

可得利21,解得「2,

1+專線+第

即有兩平行線的距離為H2,

即一銀——袤一的最大值為短+的,

故答案為：近+6.

34.【2018年北京理科14】已知橢圓M：1(a>b>0),雙曲線N：I.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M

的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離

心率為.

V2y2L2廠2

【解答】解：橢圓M：a2+b2(a>b>0),雙曲線N：m2n2若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓

M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，

123

￡超2+￡不-

可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0),正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)(2,2)，可得：4a24b2，可得

可得-8/+4=0,<?e(0,1),

解得e=舂T.

n

同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為8,V3

即m

2.2

"r+n」

---------=4

可得：，即m2

_tm2+n2_

可得雙曲線的離心率為2.

故答案為：門(mén)一1:2.

35.【2017年江蘇08】在平面直角坐標(biāo)系X。），中，雙曲線丁=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)尸,

Q,其焦點(diǎn)是&，則四邊形QPF2Q的面積是.

x23

【解答】解：雙曲線51=1的右準(zhǔn)線：2,雙曲線漸近線方程為：y=±X,

所以「（，），Q（,2）,F1（-2,0）.F2（2,0）.

L4x書(shū)=6

則四邊形QP&0的面積是：2*2V0.

故答案為：2g.

36.【2017年江蘇13】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-12,0）,2（0,6）,點(diǎn)P在圓O：/+丁=50上.若

20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)?（即，）2,則有7J+和2=5（）,

PA-PB=、、22

（-12-x（）?-）（））?（-x（）f6-yo）=（12+xo）x（）-yo（6-y（））=12x（）+6y+x（）+yo<20,

化為：12xo~6yo+30WO,

即Zro-M）+5<0,表示直線2x-附5=0以及直線上方的區(qū)域，

聯(lián)立，解可得%（）=-5或不）=1,

結(jié)合圖形分析可得：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)X0的取值范圍是[-56，1],

故答案為：[-5蜴，1].

37.【2017年新課標(biāo)1理科15】已知雙曲線C：1（。>0,b>0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，〃為半徑作

圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于〃、N兩點(diǎn).若NMAN=60°,則C的離心率為

【解答】解：雙曲線C：a2b2一1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0),

以A為圓心，。為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).

出

若/MAN=60°,可得A到漸近線版+ay=0的距離為：Z?cos30°?,

1abiq=遞

可得：在京一2,即，可得離心率為：e~~.

故答案為：.

38.【2017年新課標(biāo)2理科16】已知尸是拋物線C：尸=8》的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交y軸于

點(diǎn)N.若M為尸N的中點(diǎn)，則|FN|=.

【解答】解：拋物線C：)?=8x的焦點(diǎn)尸(2,0),M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)M若M為FN

的中點(diǎn)，

可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為：土2M，

J(l-Z)2+(±2^2-0)2=

\FN]=2\FM\=2^6.

故答案為：6.

39.【2017年上海06】設(shè)雙曲線1(8>0)的焦點(diǎn)為人、尸2，P為該雙曲線上的一點(diǎn)，若|PQ|=5,貝小尸尸2I

【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：5—戶=1,

其中—眄=3,

則有IIPFilTP/211=6,

又由|//|=5,

解可得|尸尸2|=11或-1(舍)

故尸尸2|="，

故答案為：11.

40.【2017年北京理科09】若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)加=

_日_

【解答】解：雙曲線/一而一1（"?>o）的離心率為內(nèi)，

四=有

可得：1,

解得m=2.

故答案為：2.

41.【2017年北京理科14】三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中4?的橫、

縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作

時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.

（1）記Q為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則。1,。2,Q中最大的是.

（2）記0為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則“，P2,P3中最大的是.

【解答】解：（1）若Q,?為第，?名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，

Qi=Ai的縱坐標(biāo)+Bi的縱坐標(biāo)；

Q=A2的縱坐標(biāo)+比的縱坐標(biāo)，

。3=①的縱坐標(biāo)+m的縱坐標(biāo)，

由已知中圖象可得：。1，02，。3中最大的是Q1，

（2）若Pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，

則Pi為4囪中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

故PI，倦，P3中最大的是P2

故答案為：Q\>P2

42.【2019年天津理科18】設(shè)橢圓1Q>6>0）的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為艮已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心

率為.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸

上.若|ON|=|OQ（O為原點(diǎn)），且OP_LMM求直線尸8的斜率.

_￡_,押

【解答】解：（I）由題意可得26=4,即。=2,次-廬=7,

解得a=有,c=L

—+-=

可得橢圓方程為541；

(II)B(0,2),設(shè)P3的方程為y=kt+2,

代入橢圓方程4X2+5.V2=20,

可得(4+5A2)/+20-=0,

20k

解得J4+5k2或*=0,

20k8-10—

即有p(4+5H4+59),

_2

y=kx+2,令y=0,可得&0),

又N(0,-1),OPLMN,

2

_8_-10_kT-J-L__

可得-20k?十|,解得人=土，

可得PB的斜率為土.

43.【2019年新課標(biāo)3理科21】已知曲線C：?。為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B.

(1)證明：直線A8過(guò)定點(diǎn)；

(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形AQBE的面積.

=x2

【解答】解：(1)證明：y-0的導(dǎo)數(shù)為y=x,

=江=三

設(shè)切點(diǎn)A(xi，y\),B(%2，＞2)，即有yi2,”2，

?X12

切線DA的方程為y-yi=xi(x-x\),即為2,

2

x2

切線DB的方程為y=x2x2,

_1

聯(lián)立兩切線方程可得X-之(X1+X2),

可得y41X2，即用無(wú)2=-1，

2

_口_%—-2

直線A8的方程為y.xi-x2(x-xi),

_fi!=I

即為y22(R+X2)(x-xi),

=;+;

可化為y/(xi+%2)xJ

可得AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,)；

(2)法一：設(shè)直線A8的方程為2,

由(1)可得X|+X2=2Z,X\X2=-1，

A8中點(diǎn)”a,必Z),

由H為切點(diǎn)可得E到直線AB的距離即為|E4|,

可舄

解得左=0或上=±1,

即有直線A8的方程為『;或y=±J：

=5=yX

由y乙可得依8|=2,四邊形4OBE的面積為SAAB酎SZWF。Z2X(1+2)=3；

由丫=±、+之，可得忸用=/釘?丫川=4,

11+另?后

此時(shí)。(±1,)到直線AB的距離為

E(0))到直線A8的距離為

則四邊形4O8E的面積為SAM廣5沙8。一X(變+交)=4A

法二：

(2)由(1)得直線AB的方程為y=a2.

，y=?tx上+21

'"2

由力一三,可得7-2拄-1=0.

于是R+X2=27，X\XZ=-1,y\^yz=t(xi+%2)+1=2尸+1,

以力=稽1+12.］一二2|=41+愣乂4(必+「2)2-4工/2=2(p+1).

2

設(shè)42分別為點(diǎn)O,E到直線48的距離，則由=y.+1,di花率.

1____

因此，四邊形AO8E的面積S2|AB|(J1+J2)=(P+3)招彳工

，+;

設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M(f,r22).

EM1ABEM=(t,t2-2)AB一,

由于，而，與向量(1,t)平行，所以r+(r2-2)f=0.解得―0或/=±1.

當(dāng)r=0時(shí)，S=3；當(dāng)才=±1時(shí)，S=4近.

綜上，四邊形AO8E的面積為3或4出.

44.【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科21】已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM

的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在第一象限，PELx軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C

于點(diǎn)G.

(i)證明：△尸QG是直角三角形；

⑺）求△PQG面積的最大值.

yx_2___1

【解答】解：（1）由題意得x+2Xx-2-2,

整理得曲線C的方程：—4+—2=1㈠（y工0乙）

???曲線C是焦點(diǎn)在x軸上不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓;

（2）

（i）設(shè)P（x（）,yo）,則Q（7（）,-乂）），

E（xo，0）,G（XG，）9），

y=^-(x-xo)

???直線QE的方程為:

x2y2

與了+了=1聯(lián)立消去y,

2222

得(現(xiàn)2+y02)x2-2x0y0x+XQy0-8xo=0

_^o2yo；-8xo2

...-G-溫+)，02,

?_(8-yo2)^o

4—

yo，102r2)

.=翡(%G-x0)=ti

ZxJ+yJ

)'G-y。

XQ-XQ

4x2,2

yo(-o->o)_?

-*7,J0

~o**0

2323

4yo-yoxo-yo-2yoxo-yo

8XL0yJ_2XJ-XQ，/

22

yo(4-3