濟南大學量子力學期末考試題庫期末考試試題復習備考

量子力學復習題及答案

填空題

1、量子力學體系中，任意態(tài)必用可用一組力學量完全集的共同本征態(tài)％（X）

展開：必?=工見憶（幻，則展開式系數(shù)4,=。

n------------------------------------------

2、不考慮電子的自旋，氫原子能級的簡并度是就。

3、測量一自由電子的自旋角動量的X分量，其測量值為力/2,接著測量其Z分

量，則得到的值為方/2的概率為1/2。

叭4=]exp"

4、坐標表象中，動量的本征函數(shù)是\J動量表象中，

.⑺=小'.exp，，,

坐標的本征函數(shù)是口一）]。

5、由兩個全同粒子組成的體系，一個處在單粒子態(tài)叼，另一個處在單粒子態(tài)外。

⑴0⑵+%⑵g⑴]

若粒子是波色子，則體系的波函數(shù)是,2；

」[0⑴伊2（2）-囚（2）死⑴】

若粒子是費米子，則體系的波函數(shù)是J2。

6、波函數(shù)滿足的三個基本條件是：單值；有限；_連續(xù)

7、設(shè)粒子的波函數(shù)為3（￥"）,則相應的概率密度。=帆（3；

概率流密度j=2川。

（AZJ7（AZT>-Z：2

8、角動量L與Z,的海森堡不確定關(guān)系為'八"4'。

9、對于兩電子體系的總自旋S及其各分量有[S2,S.]=0,[S.,S/=?S二。

10、全同玻色子的波函數(shù)應為對稱化波函數(shù),全同費米子的波函數(shù)應為

反對稱化波函數(shù),全同費米子滿足泡利不相容原理。

11、在球坐標中，粒子的波函數(shù)為〃（r,8，e）,則在球殼（r,r+dr）中找到粒子的

概率是,呵Ji//,⑼電叫]；在.向方向的立體角〃。中找

到粒子的概率是sin由由皿叱Ge)//"。

12、若戶厄米，則：片+=片：若戶幺正，則：戶+=戶TO

13、三維各向同性諧振子能級的簡并度是n(n+l)

14、一粒子作一維運動，波函數(shù)為Mx,f),則表示的意義是

在x點處，在時刻t是找到粒子的概率。

15、如果算符方作用于一個函數(shù)勿，結(jié)果等于卜乘上一個常數(shù)；I：市甲=九中,

則稱常數(shù)；I為算符新的本征值，▼稱為屬于；I的本征函數(shù)o

16、滿足泡利不相容原理的全同粒子是費米子:

不滿足泡利不相容原理的全同粒子是玻色子。

17、如兩力學量算符人力有對易關(guān)系［A囪=0，則它們有共同本征態(tài)。

18、力學量屬于同一本征值的本征函數(shù)模方為」,屬于不同本征值的本

征函數(shù)彼此正交。

19、自旋的兩分量力學量Sx，Sy遵循的不確定關(guān)系為

由0SJ與2

____________________________________________________O

20、設(shè)波函數(shù)為材(x)=exp(法x),則粒子的位置概率分布為

1該波函數(shù)是否可以歸一化(填是或否)否。

。］

21、若$是電子的自旋算符，12)10。

22、線性諧振子能級的特點是相鄰能級間的間隔都是3，其零點

能為3/2。

23、已知角動量乙與&的對易關(guān)系為上，幻=12，則角動量乙與￡,的測

力—

AA,AA之一L_

不準關(guān)系為，,2-。

24、質(zhì)量為1克，速度為lm/s的自由粒子的德布羅意波長為6.62x1()35

25、厄密算符的本征值是實數(shù)。

26>一粒子的波函數(shù)“⑺=”（%,y,z）,則粒子位于工?x+e&間的幾率為

dxjj|\|/（x,y,z）2dydz

________________O

27、設(shè)系統(tǒng)共有3個全同粒子組成，且有3個單粒子態(tài)。若粒子是玻色子，則體

系的波函數(shù)共有幾種形式10；若粒子是費米子，則體系的波函數(shù)

有幾種形式1。

，（2--￡/萬

.、J—esin—x,0<x<a

28、粒子作一維運動，其波函數(shù)為四（x"）=j"aa

0,x<0,x>a

則找到粒子的概率密度為最大的位置是a/2,此處概率密度是

2/a

29、已知兩算符戶和?的對易關(guān)系為［左01=i，則兩算符相應的測不準關(guān)系是:

k

AFAG>-

2

（10、

30、系統(tǒng)的哈密頓量H=E,,則測量該系統(tǒng)的能量，可能的結(jié)果是

Iu乙）

EJL；2E]___。

選擇題

1、如果兩種不同質(zhì)量的粒子，其德布羅意波長相同，則兩種粒子的（B）

A.能量相同；B.動量相同

C.速度相同；D.動能相同

2、中心力場中下列各量不守恒的是（C）

A.角動量；B.角動量的平方；

C.粒子的動量；D.角動量的z分量

3、在一維諧振子勢場中下列各量是守恒量的為（A）

A.粒子的哈密頓；B.坐標；C.動量；D.角動量

4、設(shè)為任意態(tài)矢量，為坐標算符￡的屬于本征值x的本征矢，力是動量

算符，則

"㈤等于（A）

A.-i一（x\a）；B.i-dC.；D.—x^x\a^

Oxbx

5、下列幾對算符中，存在共同本征函數(shù)系的是（B）

A.B.Px，PyC.lx，lyD.%吁

6、下面哪個實驗現(xiàn)象不能說明電子自旋的存在（C）

A.原子光譜精細結(jié)構(gòu)；B.反常塞曼效應；C.光電效應；D.斯特恩-蓋拉

赫實驗

7、、量子力學描述體系所處狀態(tài)通常最好的辦法是（D）

A.動量表象；B.能量表象；C.角動量表象；D.對易力學量完全集表象

8、算符廠的本征態(tài)是指（C）

A.在該態(tài)上測量力學量F沒有確定值B.算符F為厄米算符

C.在該態(tài)上多次測量力學量F有唯一確定值D.一個不確定的狀態(tài)

9、若自、月是厄密算符，則下列結(jié)論中正確的是（A）

A.仍然是厄密算符B.仍然是厄密算符

C.4后是對易的D.人、與的本征函數(shù)是實函數(shù)

10、算符X有2個本征值，則其在自身表象下的表示為（B）

A.2X2的非對角矩陣B.2X2的對角矩陣

C.2X2對角線元素為零的矩陣D.無窮維連續(xù)矩陣

11、下列說法中正確的是（C）

A.如果兩個力學量算符文寸易，則它們一定沒有共同的本征函數(shù)

B.如果兩個力學量算符不對易，則它們一定沒有共同的本征函數(shù)

C.在力學量A的其中一個本征態(tài)下測量A,則每次測量都是完全確定的

D.在力學量A的其中一個本征態(tài)下測量力學量B,則每次測量都是完全不確定

的

12、考慮費米子的自旋，其總波函數(shù)是空間波函數(shù)和自旋波函數(shù)的乘積，則下列

說法正確的是（B）

A.空間波函數(shù)對稱自旋波函數(shù)對稱B空間波函數(shù)反對稱自旋波函數(shù)對

稱.

C.空間波函數(shù)反對稱自旋波函數(shù)反對稱D.空間波函數(shù)無對稱自旋波函數(shù)無對

稱

13、算符C和2具有共同本征態(tài)，則有（B）

222

A.J(AZ?)2(ALj2>|B.(AL)(ALJ=0

C.J(AZ3)2(AL;)2<|D.("2)2(—)2值不確定

14、根據(jù)德布羅意關(guān)系，與自由粒子相聯(lián)系的波是(D)

A.定域的波包B.疏密波

C.球面波D.平面波

15、量子力學只適應于[A]

A.宏觀物體和微觀物體B.高速物體

C.宏觀物體D.微觀物體

16、中心力場中下列各量不守恒的是[C]

A.角動量￡;B.角動量的平方？；

C.粒子的動量Q;D.角動量的z分量上

17、兩個電子體系的自旋波函數(shù)是[D]

A.?(1)/?(2)B.

C754a⑴+夕⑵]D-^L?(1)Z?(2)+?(2W)]

18、對于一個處于定態(tài)的粒子,下列各量可能隨時間變化的是(B)

A.粒子的能量B.力學量的取值概率

C.粒子的概率D.粒子的概率流密度

19、在一維諧振子勢場中下列各量是守恒量的為(A)

A.粒子的哈密頓B.坐標C.動量D.角動量

20、力學量所有本征態(tài)的加和等于(B)

n

A.0B.IC.anD.{n\n)

證明題

1、證明反對易關(guān)系{by,crj=。。

證明：

由一，%=2港，式,兩邊左乘得

cr、cq-CO0,=,兩邊右乘"得

)L)*?))AJ(J

區(qū)?！暌粎^(qū)oq=2?q。

又由^2=/，上兩式變?yōu)?q=2%、巴

2-=2iqq

上兩式相加得2（bvb,+b.bj=0

即｛b"J=。

fonm

Sx=-a=

2、已知自旋算符2V引，證明在本征態(tài)I刃下,J=0

證明：

J+S〃=(10瑞：]儲(1°(1)=O

F+2/、2(0-zYO-z'Y1>12,、(1

邑…產(chǎn)=(10)[.J.J(J=-(1%oYn_2

7oOO以o廠了

3、證明：p,-=iA

_rJr

證明：

對于r的可微函數(shù)尸（r）,有

[p,尸⑺]=-iVF

所以p,—=—zV—=z=

_rjrr

4、證明厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交

證明：設(shè)、力，=4弘⑴

Mm=aam⑵

（2）式兩邊取復共挽得N%"

上式右乘心，并積分得：“"，，，，%）=%（%，，%）

利用A+=A和（1）式得：（為加，%）=（/”，為G=%（%”，%）

所以（電盟）=%,（%”，“"）=4（上”，〃”）

即（%一%）（—”）=。

如4’4,則必有（％，"%>）=。

5、證明在角動量z分量的本征函數(shù)下，角動量x分量的平均值為0.

證明：因為lzYlm=n1hYlin,［//-*］=W

所以

<A>=\J=:“JY：八-J（

==A［呵匕工匕，，⑷-呵—”闋］=0

d

6、算符i（萬盛工一坊盛）和dx是否是厄米算符？并加以證明。

□（方I"_"?：）］是厄米算符

因為

[i（P￡x一年：）]+=-Kp^x-xp^+=-i[（/￡x）+_（坊￡）+]

=-p1x）=i（沅x—x試）

d

7、已知系統(tǒng)的哈密頓算符H和力學量算符B的矩陣形式分別為

'100、‘100、

H=co0-10B=b001

、00~x)、010,

其中。和b為實數(shù)。證明白和月都是厄密算符，并且兩者對易。

證明：因為兩算符都是對角陣，根據(jù)厄密算符的定義，他們是厄密算符。

’100、/100、00、'100、

[H,B]=^3b0-10001一方cob0010-0=0

00-1/、010,<010,、00-1/

8、證明此如*7

證：用數(shù)學歸納法

(1)先證n=l時的情況：

[￡,力」=7證明略。

(2)假設(shè)n-1時結(jié)論成立，即:

[x,p：-l]=i(n-l)pf2

(3)證明n時的情況：

歷說]=此。：|瓦]

l

=[x,pr]px+p^[x,px]

=i(n-l)*L%

=i喻',

9、證明對易關(guān)系[￡、.,￡、,]=i

證明：

工x，￡」=lyp:-z0y,z瓦一xDj

=[泣,Z大一xp:]-[zpy,zpx-xp2]

=zpj-[yp:，必』一\_zpy,zp、]+[zpy,xp:~\

=[卯二，zp」+[zp、.，xp』

=y[Pz，zp,]+[y,z〃.Jp=+z[pv,空二]+[z,必Jpy

y[p”卯[+[z,M]p),

yz[億,？]+y[p,,z]px+x[z,pz]py+[z,x\PzPy

=y（T）2+尤（，）Py

=i（尤P,一如J

=iLz

10、已知算符A、B是厄米算符，證明算符G=L（AB-BA）也是厄米算符。

2i

證明：

已知A+=A,B+=B

所以G+BA）+=—（B+A+-A+B+）=—（AB-BA）^G

一2i2i2i

計算題

1、設(shè)體系處/=GX|+GK<,狀態(tài)（已歸一化的，）

求：（1）/一的可能測量值和平均值

（2）〃的可能測量值和相應的概率

解：

lz的可能測值為°，方

平均值為同②

12的可能測值是2方2,6力2…

對應的概率分別是同2/2『…

2、對于類氫原子（核電荷數(shù)為Ze），利用位力定理和F-H定理計算處于

束縛態(tài)憶而下電子的加均值〈尸’〉和十的均值〈尸D

Z22

￡”=一^e—，〃=%+/+1

解：類氫離子的能級為2〃4

V（r）=一生

類氫離子的勢函數(shù)為「

由Virial定理知2了=一匕

E=E^T+V=-V

n"2

"且工=_左

22r2〃2ao

所以

Tzic

-—，八=1,2,…

rna0

h21d1Ze1/(/+1)%2

QTr+-；—5—〃"加=Ey/

類氫離子的能量本征方程L2…rr2”」nlm

對應的哈密頓為

口/z21d2Ze2/(/+1)方2

H=----------r----+-——『

rdrr2/zr...

視1為參量，由Feynman-Hellmann定理得

dldn〃%o

々

/12\=3

\r/nlm(/+1/2>^...

Ar/力x>0

3、一維運動的粒子處于狀態(tài)以幻=，*一1其中入〉o,A是待求的歸一化

0,%<()

常數(shù)，求：

(1)粒子坐標的概率密度；

(2)粒子坐標的平均值和粒子坐標平方的平均值；

解：首先對波函數(shù)歸一化，由波函數(shù)的歸一化條件

tM(x)「dx=l

。心2產(chǎn)出=裳=1

所以

A=2產(chǎn)…

2Ai/2xe-Ax,x>()

〃(x)=,

歸一化的波函數(shù)為0,x<0

粒子的概率密度為

_UA3x2e~Ux,x>0

P=帆(%)|2

[0,x<0...

x=xpAx=[x4A,3x3e~2Xxdx=—

粒子坐標的平均值JrJ°22

3

x?=Jx2/?dx-￡4A3x4e"2/"dx=

坐標平方的平均值r

4、在直角坐標系下求解二維各向同性諧振子

(V(x,y)=^ma>2x2+^mco2y2)的能級和簡并度

解：能量本征方程

2/02o2\1

——二+31y2(x2+/)

H〃(x,y)=+/Z(V(x,y)=E叭x,y)

2〃(加dy2)2

今叭x,y)="(x)”(y)

代入上式可得

■2d21,「

一石/+W(x)=Ew(x)

-2d2J,「

--叭y)=E叱(y)

2〃dy2」…

E=E2

故

=0,1,2,

&=4+5co,n}

旦%+g)①,%=0,1,2,

總能量為

(n(\\

E=E[+E2=Hj+—IG++—I69=(H+1)CO

〃=勺+巧，〃，“，％二°/，2,

能級簡并度為力="+1

5、設(shè)有一個定域電子，受到沿x方向均勻磁場5的作用，哈密頓量(不考慮軌

道運動)為"=也與=空-%。設(shè)片0時電子自旋“向上”(s,=/2),求DO

me2mc

時自旋各分量的平均值

解：系統(tǒng)的哈密頓為

口eB(°1)eB

H=---(T,=co,co-----

2〃cU2〃c

設(shè)

%?)=。。)%1/2+6?)匯|/2

i1%?)=〃/?)

薛定謂方程為出

初始條件是

Z(°)=Zi/2=，。(0)=1,。(0)=()

Iun/

aA(b

薛定丹方程的矩陣形式是"I"

即

da.,db

—=—=T①a

drdr

兩式可解得

QQ)=coscot,b(t)--isincot

,coscot'

、Tsin叫

t>0時s各分量的平均值為

區(qū))=54+%％=5力[]oj%=o

[sy)=T/%力"T

N，kIxzJ，

(￡〉=萬力+巴%=54+-ip^C0g2<w/

6、

0a、

H=H+H'=0%ba,h?l

0其中

b%,a,beR

由非簡并微擾公式計算波函數(shù)至一級修正，計算能量至二級修正

解：

工0

%=0%

I00

E，=E,“，必(°)

%=成=？3=0現(xiàn)=駕=0

"；3==aH'23-H'i2=b

由非簡并微擾公式

匕=嫖+工

k*n

-------------以⑼

E（o）_E（。）*4

kwl

M色3一

力3出1力3力2

E，=":"

下⑵=、I/:

〃r(0)_77(0)

由能級修正公式k*n%-「k

碎=%=0

『

F(2)=yI/Fl/F?l%

117(0)_17(0)17(0)_17(0)17(0)_17(0)

AHI%一4%-口2%一口3

2

0a2a2

=-----------------------1-----------------------=----------------------

￡。1-E°2E0I-E°3E0]-E03

22

琢）=z此JIH；2II/I

下(0)_p(0)"(。)_r(0)+r(0)_17(0)

「2-a_j%―，

|0|21\b?b2

E02-E。1EQ2—E03E02~E03

yLgkf二閨2「,I"」、

17(0)_17(0)17(0)_17(0)17(0)_17(0)

Ax3%—A心3一%上3一%

2

，b

:-------------------1-------------------

￡。3-E。]EQ3-E02

7、一維線性諧振子中的粒子，設(shè)初始時刻（片0）處于狀態(tài)

“（X,O）=M（X）+02（X）］/血，其中，域（力和@（x）為一維線性諧振子的第

一激發(fā)態(tài)和第二激發(fā)態(tài)，求

（1）［時刻的波函數(shù)〃（XJ）和概率密度P（3）。

（2）求t=l時刻系統(tǒng)的能量平均值月.

解：（1）t時刻的波函數(shù)為

V（X.t）=-U卜|（xl“"2+帕卜不楂］

V2

概率密度為

p=|w(x"=七h&產(chǎn)，2+*x1叫

(2)t等于1時刻，能量的平均值為

H=^[3方3/2+5力3/2]=2/)(0

(400)foab]

8、體系的哈密頓量“o=0￡?0，且與〈三〈弓，受到微擾"'=a00

00c,

的作用，其中。，仇c為實數(shù),由微擾論，求能量至二級近似、波函數(shù)至一級近

似。

解：因為耳,=￡°>+E（o）_^（0），

in^n

2122

?nabab

E[—￡]+0++，E2=S2+0+------FO，E3=q+C+-----+0

J-J一23￡?一￡、-￡]

“0表象的三個基：|1〉=卜〉⑼（°、

M；s）,=|3'=0=■”,

因為帆Z獸頡必7

m^n%%

/\

1

+上帆°）”—，

勺匕2與一￡3

b

、d一￡3,

a、

4-￡〕

|"）=阿'〉+六瓦⑼”1,

匕2—占10

7

9、當忖<<1時，用微擾論求哈密頓

’12s0、

H=2s2+￡3e

、03E3+22,

的能級（精確到二級修正）和本征矢（精確到一級修正）。

解：哈密頓量可以寫成

00W0IE0、

H=H（）+H'=020+2e￡3s

、003）［03e2%

顯然上述矩陣是哈密頓量在Ho表象中的表示。

Ho的本征值和本征矢為

則能級至二級近似為

…叫叫+/，+罟$=1-4M

d一匕2d一/

4=碎,+"；2+7>^+7>t=2+同2+4邸一9|￡|2=2-4時

E，2一?]一匕3

2+￡-5忸「

用=耳S+/+，會\)+尸(a\o:=3+4同2+9歸『=3+13同2

口3J口3口?

=3+%+慟2

至一級修正的態(tài)矢量是

'1),0、'1、

+3

以〉=11〉+E（。））（?！?〉￡（o）J'（o）I）=0—2e1=-2e

J口2勺，

OO<0>

9、q、（2￡、

|+2e

=

眄〉=12)+°)：°)11〉+0):⑼13)=03s01

%j口]q

ooJ、—

，0、

1kH3)+成)"左|1)+3e

10、粒子在一維無限深勢阱

00,x<0

V（x）=<0,Q<x<a

%x>a

中運動，求粒子的能級和波函數(shù)。

解：當x<0和x>a時，有\(zhòng)|/=0；當0<x<a時,有

d2

r=0,

2〃dx?dx力

令八簧，解出〃=Acos6a+Bsin6a。

r=0時，\|/=0,=>A=0；x=a時，\|/=0,=>Bsinaa=0,/.aa=n7i,

22

n7i2〃乃

a——,a=s-

aa

E"二%^〃，〃=1，2,…

及^=5sin—x

a

由]-fj〃\^dx-B~Psin2xdx-B2(----—sin-^x)Q=B~—

V

J。sJoa24〃乃Q°2

11>設(shè)電子與外場耦合的Hamilton量為H=^—az=牡

2m一（0一g）

式中心=竺_,求方的本征值和本征函數(shù)。

2m

解：已知H=—S=tia)a令E=hco2.,及

mxLxL

解出(4—1)2=0,4,2=±1，所以g.2=±力0-

當4=1時

(0-°J；＞0有。=1,8=0,得至IJ-?

同理當4=-1時

2o[j=O有a=0,b=l,得到%

12、設(shè)粒子處于狀態(tài)

_16v

〃―3匕1^^20

（I）求軌道角動量平方廣的可能值及相應的概率;

（2）求軌道角動量Z分量乙的平均值。

解：

<i）4.（仇（P）=+i）/〃,（a（P）

所以

*=￡2；九（仇夕）一冶%

1V3

=5I（I+1）尢2&夕）一事2（2+1）力2y20（仇p）

￡2的可能值為2力2和6力2,對應的概率為-和3

44

（2）因為。匕,“（a0）=/泌匕,”（a必

所以平均值

L=J，￡出〃=J（；耳一手口或—手%）也

13、在無限深勢阱（0<%<。）中運動的兩電子體系，略去電子間的相互作用以

及一切與自旋有關(guān)的相互作用，求體系的基態(tài)和第一激