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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.73.已知定義在上的可導函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.或 B.或C.或 D.或5.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.6.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.639.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.10.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.109511.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個數(shù),已知,且當時,每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為______.14.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.15.在中,,是的角平分線,設,則實數(shù)的取值范圍是__________.16.若復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復數(shù),則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線極坐標方程為.若直線交曲線于,兩點,求線段的長.18.(12分)在三角形中,角,,的對邊分別為,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.19.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天,隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)20.(12分)如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,,分別為,的中點,為棱上一點,若平面.(1)求線段的長;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知為坐標原點,點,,,動點滿足,點為線段的中點,拋物線:上點的縱坐標為,.(1)求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程;(2)若拋物線的準線上一點滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個定值;若不是,請說明理由.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當時,得,即,則滿足,則,即,則,設,則,當,解得,當,解得,當時,函數(shù)取得最小值,當時,;當時,,所以,即的取值范圍是,故選A.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法,以及分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.2.C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關鍵是理解程序框圖運行的過程.3.A【解析】

構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當時,,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.4.C【解析】

簡單判斷可知函數(shù)關于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計算,結(jié)合對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關于對稱當時,,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關于對稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗分析能力,屬中檔題.5.B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題,屬于基礎題..6.A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】當m⊥平面α時,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關鍵.難度不大,屬于基礎題7.C【解析】

根據(jù),兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎題.8.B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關鍵,屬于基礎題.9.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.10.D【解析】

確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù),數(shù)列中第35項為70,這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得,然后可求和.【詳解】時,,所以數(shù)列的前35項和中,有三項3,9,27,有32項,所以.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式是解題基礎.解題關鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的,又有多少項是中的.11.B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵.12.A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2022【解析】

根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項,利用累加法進行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項,由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項是解決本題的關鍵.綜合性較強,屬于難題.14.0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計算公式是求解的關鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).15.【解析】

設,,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設,,,由得:,化簡得,由于,故.故答案為:【點睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算能力,屬于中檔題.16.【解析】

設,代入已知條件進行化簡,根據(jù)復數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設,由,得,所以,所以.故答案為:【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù),考查復數(shù)相等的條件,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【解析】

由,化簡得,由,所以直線的直角坐標方程為,因為曲線的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設,則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡得,又因為,所以直線的直角坐標方程為,因為曲線的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設,則,所以,將,代入上式,整理得.【點睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標方程的應用,結(jié)合弦長公式的運用,屬于中檔題.18.(Ⅰ)(Ⅱ)8【解析】

(Ⅰ)由余弦定理可得,即可求出A,(Ⅱ)根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】(Ⅰ)由余弦定理,所以,所以,即,因為,所以;(Ⅱ)因為,所以,因為,,由正弦定理得,所以.【點睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形,屬于簡單題.19.(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學期望;(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差,屬于中等題.20.(1)(2)【解析】

(1)先證得,設與交于點,在中解直角三角形求得,由此求得的值.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)由題意,,設與交于點,在中,可求得,則,可求得,則(2)以為原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸,建立空間直角坐標系.,,,,,易得平面的法向量為.,,易得平面的法向量為.設二面角為,由圖可知為銳角,所以.即二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21.(1)曲線的標準方程為.拋物線的標準方程為.(2)見解析【解析】

(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動點P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標準方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標準方程;(2)設出點P的坐標,再表示出點N和Q的坐標,根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動點的軌跡是以,為焦點的橢圓,又知,,所以曲線的標準方程為.又由題知,所以,所以,又因為點在拋物線上,所以,所以拋物線的標準方程為.(2)設,,由題知,所以,即,所以,又因為,,所以,所以為定值,且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應用問題,考查拋物線的幾何性質(zhì)及點在曲線上的代換

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