考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷7（共216題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷7（共9套）（共216題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則()A、3a2fˊ(a)+2f(a)B、C、3a2fˊ(a)－f(a)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)fˊˊ(x)在x=0處連續(xù)，且，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x，y)=．則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不存在B、連續(xù)C、可微D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、以下命題正確的個(gè)數(shù)為()①若收斂，則收斂②若收斂，則收斂③若收斂，則收斂④若發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：①②為正項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)，此命題正確③｜an3｜≤an2④比較判別法為充分，非必要條件故①③正確，②④錯(cuò)誤．5、設(shè)A，B是n階可逆矩陣，滿足AB=A+B，則下面命題中正確的個(gè)數(shù)是()①｜A+B｜=｜A｜｜B｜②（AB）－1=B－1A－1③(A－E)x=0只有零解④B－E不可逆A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A，B可逆，A+B=AB①｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜；②（AB）－1=B－1A－1；③A+B=ABA=AB－B=(A－E)BA－E可逆(A－E)x=0只有零解；④A+B=ABB=AB－A=A(B－E)B－E可逆．6、設(shè)，B是三階非零矩陣，且AB=0，則()A、當(dāng)k=1時(shí)，r(B)=1B、當(dāng)K=－3時(shí)，r(B)=1C、當(dāng)k=1時(shí)，r(B)=2D、當(dāng)K=－2時(shí)，r(B)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，AB=0r(A)+r(B)≤3；B≠0r(B)＞0，從而r(A)＜3｜A｜=0k=1或k=－3．當(dāng)k=1時(shí)，r(A)=1，r(B)≤2；當(dāng)k=－3時(shí)，r(A)=2，r(B)=1．從而選(B)7、設(shè)P(A｜B)=P(B｜A)=，，則()A、事件A，B獨(dú)立且P(A+B)=B、事件A，B獨(dú)立且P(A+B)=C、事件A，B不獨(dú)立且P(A+B)=D、事件A，B不獨(dú)立且P(A+B)=標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：考察(C)，P(A)=，P(B｜A)=，P(A｜B)=．從而P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=．8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度F(x)為偶函數(shù)，且F(x)=，則對(duì)任意常數(shù)a＞0，P{｜X｜＞a)為()A、2－2F(a)B、1－F(a)C、2F(a)D、2F(a)－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楦怕拭芏萬(x)為偶函數(shù)及對(duì)稱性可得P(｜X｜＞a)=P(X＞a或X＜－a)=2P(X＞a)=2[1－P(X≤a)]=2=2F(a)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、由方程sin(xy)－=1所確定的曲線y=y(x)在x=0處的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e+e(1－e)x．知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=e，在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得cos(xy)(y+xyˊ)－=0，因此yˊ｜x=0=e(1－e)，故切線方程為y=e+e(1－e)x．10、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：11、當(dāng)x→0時(shí)，微分方程(3x2+2)yˊˊ=6xyˊ的某個(gè)解與ex－1是等價(jià)無窮小，則該解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x3+x．知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(r)在[0，1]上連續(xù)，則________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)，則（E+A）*=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)總體X在[a，b]上服從均勻分布，X1，X2，…，Xn為其樣本，樣本均值，樣本方差S2，則a，b的矩估計(jì)________，________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由均勻分布的數(shù)字特征結(jié)論令E(X)=，D(X)=S2，解得a,b的矩估計(jì)為三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、設(shè)f(x)三階可導(dǎo)，且fˊˊˊ(a)≠0，f(x)=f(a)+fˊ(a)(x－a)+(x－a)2(0＜θ＜1)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，求Fˊ(x)并討論Fˊ(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以Fˊ(x)在x=0處連續(xù)．當(dāng)x≠0時(shí)，因?yàn)閒(x)連續(xù)，所以變上限積分也是連續(xù)的，于是Fˊ(x)是連續(xù)的．綜上：Fˊ(x)在(－∞，+∞)上是連續(xù)的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)二元函數(shù)u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并滿足方程，且u(x，2x)=x，uˊx=(x，2x)=x2，求uˊˊxx(x，2x)，uˊˊxy(x，2x)，uˊˊyy(x，2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)有微分方程yˊ+p(x)y=x2，其中求在(－∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，使其滿足所給的微分方程，且滿足條件y(0)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≤1時(shí)，微分方程為yˊ+y=x2，這是一階線性微分方程，該方程的通解為當(dāng)x＞1時(shí)，微分方程為，這是一階線性微分方程，該方程的通解為由于方程的解在點(diǎn)x=1處連續(xù)，所以從而，所以原方程通解為由于y(0)=2，所以c=0，所以滿足條件的函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求二元函數(shù)f(x，y)=e－xy在區(qū)域D={(x，y)｜x2+4y2≤1}上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先由于fˊx(x，y)=－ye－xy，fˊy(x，y)=－xe－xy，所以在D的內(nèi)部f(x，y)有唯一的駐點(diǎn)(0，0)，且f(0，0)=1．其次在D的邊界x2+4y2=1上，作Lagrange函數(shù)L(x，y，λ)=e－xy+λ(x2+4y2－1)，比較函數(shù)值可得f(x，y)在D上的最大值為最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(u)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，z=滿足．求z的表達(dá)式．20、設(shè)f(u)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，z=滿足．求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明考ξ1，ξ2，…，ξn線性無關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1ξ1+k2ξ2+…+knξn=0，依次在等式兩邊左乘以A，A2，…，An－2，An－1，分別得k1ξ2+k2ξ3+…+kn－1ξn=0，k1ξ3+k2ξ4+…+kn－2ξn=0，……k1ξn－1+k2ξn=0，k1ξn=0，因?yàn)棣蝞≠0，并依次回代得k2=…=kn－1=kn=0，所以ξ1，ξ2，…，ξn.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求Ax=0的通解；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知又因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn線性無關(guān)，故r(A)=n－1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)解向量，而Aξn=0，ξn≠0，因此ξn為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的通解為kξn，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求出A的全部特征值和特征向量，并證明A不可對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：記P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，則P可逆，且由此可得A的特征值λ1=λ2=…=λn=0，其特征向量為kξn(k≠0)，從而A的屬于特征值0的線性無關(guān)特征向量?jī)H有一個(gè)，故A不可對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)I1=，其中a是正常數(shù)，試證明：I1＞I2標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析(Ⅰ)求方程組(*)的基礎(chǔ)解系和通解；(Ⅱ)問參數(shù)a，b，c滿足什么條件時(shí)，方程組(*)和(**)是同解方程組．25、(Ⅰ)求方程組(*)的基礎(chǔ)解系和通解；(Ⅱ)問參數(shù)a，b，c滿足什么條件時(shí)，方程組(*)和(**)是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)方程組(*)的系數(shù)矩陣已是階梯形．求得基礎(chǔ)解系ξ1=(一1，2，一1，1，0)T，ξ2=(一1，一2，1，0，1)T，方程組通解為k1ξ1+k1ξ1=，其中k1、k1為任意常數(shù)。(Ⅱ)方程組(*)和(**)是同解方程組，將ξ1=代入方程組(**)的第1、2個(gè)方程，由顯然ξ1也滿足方程組(**)的第3個(gè)方程．將ξ2=代入方程組(**)的第3個(gè)方程，由3×(一1)+(一2)+1+c=0，得c=4．顯然，ξ2也滿足方程組(**)的第1、2個(gè)方程．故知當(dāng)a=一1，b=2，c=4時(shí)，由解的性質(zhì)知方程組(*)的解全部是方程組(**)的解．反之，當(dāng)a=一1，b=一2，c=4時(shí)，方程組(**)的系數(shù)矩陣方程組(**)的未知量個(gè)數(shù)n=5，方程組(**)的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)解組成，已驗(yàn)算方程組(*)的解全部是方程組(**)的解．故方程組(**)的解也全部是方程組(*)的解，方程組(*)、(**)是同解方程組．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、(X，Y)的分布函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：本題主要考查二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、邊緣概率密度、條件密度及其概率，是一道有一定難度的綜合題．由F(x，y)=(u，v)dudv，得當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，f(x，y)=0，從而F(x，y)=0．當(dāng)0＜x≤1，0＜y≤2時(shí)，當(dāng)0＜x≤1，y＞2時(shí)，當(dāng)x＞1，0＜y≤2時(shí)，當(dāng)x＞1，y＞2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=1綜上所述，(X，Y)的分布函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、(X，Y)的兩個(gè)邊緣概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，從而X的邊緣概率密度為當(dāng)0≤y≤2時(shí)，從而Y的邊緣概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、P(X+Y＞1)及．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤y≤2時(shí)，X關(guān)于Y=y的條件密度為當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y關(guān)于X=x的條件密度為由概率密度的性質(zhì)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)總體X的概率密度為其中＞θ0，θ，μ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．試求θ，μ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查總體概率密度含有兩個(gè)未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量，是一道有難度的綜合題．似然函數(shù)為由(2)知lnL關(guān)于μ單調(diào)增加，即L(x1，…，xn；θ，μ)關(guān)于μ單調(diào)增加又，所以μ的最大似然估計(jì)量為由(1)式，令，得θ的最大似然估計(jì)量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則x=0是的()A、跳躍間斷點(diǎn)。B、可去間斷點(diǎn)。C、無窮間斷點(diǎn)。D、振蕩間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于所以x=0是的跳躍間斷點(diǎn)。故選A。2、f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可偏導(dǎo)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的()A、充分必要條件。B、必要但非充分條件。C、充分但非必要條件。D、既非充分又非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：舉例證明選項(xiàng)B是正確的。設(shè)函數(shù)容易驗(yàn)證f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處既連續(xù)又存在偏導(dǎo)，由fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，因此不存在，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微。故選B。3、將二重積分改寫成直角坐標(biāo)形式為()A、∫02dx∫02xf(x2+y2)dyB、∫02dx∫02f(x2+y2)dyC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：極坐標(biāo)系中的2secθ對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的直線x=2，極坐標(biāo)系中的2cscθ對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的直線y=2，因此根據(jù)極坐標(biāo)系下的表達(dá)式可畫出積分區(qū)域如下圖：根據(jù)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間的關(guān)系x=rcosθ，y=rsinθ，可得二重積分化為直角坐標(biāo)形式為，故選C。4、下列選項(xiàng)中正確的是()A、若有相同斂散性。B、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)C、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)D、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性與α，β有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：比較判別法極限形式僅適合正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故選項(xiàng)A不正確。由反例收斂，但有，故選項(xiàng)B和C均不正確。在選項(xiàng)D中，當(dāng)β≠1時(shí)，收斂性取決于β，β=1時(shí)，收斂性取決于α，故選D。5、設(shè)A，B為n階對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是()A、AB為對(duì)稱矩陣。B、設(shè)A，B可逆，則A一1+B一1為對(duì)稱矩陣。C、A+B為對(duì)稱矩陣。D、kA為對(duì)稱矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)(A+B)T=AT+BT=A+B，可得A+B為對(duì)稱矩陣；根據(jù)(A一1+B一1)T=(A一1)T+(B一1)T=A一1+B一1，得A一1+B一1為對(duì)稱矩陣；由(kA)T=kAT=kA，得kA為對(duì)稱矩陣。故選A。6、已知α1，是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若P=(α1,α2,α3)，則有AP=PA，即亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1α1，α2α2，α3α3)。可見αi是矩陣A屬于特征值αi的特征向量(i=1，2，3)，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項(xiàng)A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α，β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2一2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關(guān)，故選項(xiàng)B正確。對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?，α3均是λ=6的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確即選項(xiàng)C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故選D。7、設(shè)F1(x)，F(xiàn)2(x)分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)，概率密度分別為f1(x)，f2(x)(兩個(gè)函數(shù)均連續(xù))，則必為概率密度的是()A、f1(x)f2(x)。B、2f2(x)F1(x)。C、f1(x)F2(x)。D、f1(x)F1(x)+f2(x)F1(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X1～U(0，1)，X2～U(1，2)，則即可排除選項(xiàng)A，B，C。對(duì)于選項(xiàng)D，滿足f2(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0，且因此選項(xiàng)D可作為概率密度。故選D。8、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，方差存在且不為零，記U=X—Y，V=X+Y，則U與V必然()A、不獨(dú)立。B、獨(dú)立。C、相關(guān)系數(shù)不為零。D、相關(guān)系數(shù)為零。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的性質(zhì)，有E(UV)=E(X2—Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，E(U)E(V)=[E(X)]2一[E(Y)]2=0。所以由Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=0可得相關(guān)系數(shù)ρUV=0。故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、f(x)=sinxsin3xsin5x，則f(4)(0)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：11、曲線的弧長(zhǎng)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、差分方程yx+1一2yx=3x的通解為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y(x)=C2x+3x，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由已知方程知對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征值λ=2，通解為y(x)=C2x。因?yàn)棣?2≠3，所以令特解y*=A.3x，代入原方程得A=1，故原方程的通解為y(x)=C2x+3x，其中C為任意常數(shù)。13、行列式=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：n+1知識(shí)點(diǎn)解析：將各列加到第一列14、隨機(jī)變量X的概率密度隨機(jī)變量Y=aX+b～N(0，1)，則ab=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率密度表達(dá)式可知三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算反常積分標(biāo)準(zhǔn)答案：先對(duì)原積分進(jìn)行變量替換和等價(jià)變形所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(A)=f(B)=0。證明：(I)存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一點(diǎn)η∈(a，b)，使得f’(η)=一3f(η)g’(η)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)令φ(x)=e-2f(x)，因?yàn)閒(A)=f(B)=0，所以φ(A)=φ(B)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-2x[f’(x)一2f(x)]且e-2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f9x)e3g(x)，因?yàn)閒(A)=f(B)=0，所以h(A)=h(B)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點(diǎn)η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=一3f(n)g’(η)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0。將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為，求：(I)f(x)的表達(dá)式；(Ⅱ)f(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由已知，根據(jù)旋轉(zhuǎn)體體積公式可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、某企業(yè)在兩個(gè)不同市場(chǎng)上銷售同一產(chǎn)品，市場(chǎng)價(jià)格分別為p1=18—2Q1，p2=12一Q2，其中Q1，Q2分別表示產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)上的需求量，該企業(yè)的總成本為C=2Q+5，其中Q=Q1+Q2。(I)若企業(yè)實(shí)行價(jià)格不同戰(zhàn)略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上產(chǎn)品的產(chǎn)量及價(jià)格，使得企業(yè)利潤(rùn)最大；(Ⅱ)若企業(yè)在兩個(gè)市場(chǎng)上價(jià)格相同，求企業(yè)最大利潤(rùn)，比較兩種戰(zhàn)略優(yōu)劣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)總收入函數(shù)為r=p1Q1+p2Q2=18Q1一2Q12+12Q2一Q22，則總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=R—C=一5+16Q1+10Q2—2Q12一Q22，由解得Q1=4，Q2=5，兩市場(chǎng)的價(jià)格分別為p1=10，p2=7，此時(shí)企業(yè)利潤(rùn)最大為L(zhǎng)=52。(Ⅱ)令p1=p2=p，由18—2Q1=12一Q2，可得2Q1一Q2—6=0。即求函數(shù)L=一5+16Q1+10Q2一2Q12一Q22在條件2Q1一Q2一6=0下的最大值。構(gòu)造拉格朗日乘數(shù)方程L(Q1，Q2，λ)=一5+16Q1+10Q2一2Q12—Q22+λ(2Q1一Q2—6)，解方程組得Q1=5，Q2=4，價(jià)格為p=8，最大利潤(rùn)為L(zhǎng)=49。(I)和(Ⅱ)的結(jié)果比較可見，實(shí)行價(jià)格差別戰(zhàn)略，企業(yè)的利潤(rùn)比較大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、線性方程組有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榫€性方程組(I)、(Ⅱ)有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組(Ⅲ)有非零解，即(Ⅲ)系數(shù)矩陣A的秩小于4。對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，得所以a=一2，b=3。且r(A)=3。此時(shí)可解方程組得ε=(0，2，一3，1)T，即為(Ⅲ)的一個(gè)非零解。又r(A)=3，所以ε構(gòu)成(Ⅲ)的基礎(chǔ)解系。因此，(I)和(Ⅱ)的全部公共解為k(0，2，一3，1)T(其中k為任意常數(shù))。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+2ax1x24x1x3+8x2x3(其中a為整數(shù))經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+6y22+6y32，求：(I)參數(shù)a，b的值；(Ⅱ)正交變換矩陣Q。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)二次型矩陣為，由二次型的標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+6y22+6y32，可知該二次型矩陣的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=b，根據(jù)特征值的和與乘積的性質(zhì)可得方程組知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求：(I)a，b，c的值；(Ⅱ)隨機(jī)變量Y=eX的數(shù)學(xué)期望與方差。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由概率密度的性質(zhì)，即，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知總體X的概率密度是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。求λ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若≠0，則()．A、k=2，a=一2B、k=一2，a=一2C、k=2，a=2D、k=一2，a=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，，cos2x－=(1－)－(1－cos2x)，因?yàn)?一=x2，1－cos2x～(2x)2=2x2所以cos2x一=(1－)－(1－cos2x)～－x2，故k=2，a=一2，選(A)．2、y=坐的漸近線的條數(shù)為()．A、2B、3C、4D、5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由為兩條水平漸近線；由為鉛直漸近線；由=0得曲線沒有斜漸近線，故曲線共有4條漸近線，選(C)．3、設(shè)D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導(dǎo)且滿足+=一z，若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點(diǎn)，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設(shè)f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(diǎn)(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時(shí)==0，這與≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D內(nèi)取到，選(A)．4、設(shè)常數(shù)a＞0，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則().A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、級(jí)數(shù)斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?≤又因?yàn)槎际諗?，所以收斂，根?jù)比較審斂法得收斂，即(一1)n絕對(duì)收斂，選(C)．5、A=，其中a1，a2，a3，a4兩兩不等，下列命題正確的是()．A、方程組AX=0只有零解B、方程組ATX=0有非零解C、方程組ATAX=0只有零解D、方程組AATX=0只有零解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程組Ax=0有非零解，不選(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程組ATX=0只有零解，不選(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程組ATAX=0有非零解，不選(C)；由R(A)=r(AAT)=3，得方程組AATX=0只有零解，選(D)．6、對(duì)三階矩陣A的伴隨矩陣A*先交換第一行與第三行，然后將第二列的一2倍加到第三列得一E，且｜A｜＞0，則A等于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由一E=E13A*E23(一2)，得A*=一(一2)=一E13E23(2)，因?yàn)椋麬*｜=｜A｜2=1且｜A｜＞0，所以｜A｜=1，于是A*=A－1故A=(A*)－1=－(2)=－E23(－2)E13=－，選(A)7、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)嚴(yán)格遞增，Y～U(0，1)，則Z=F1(Y)的分布函數(shù)().A、可導(dǎo)B、連續(xù)但不一定可導(dǎo)且與X分布相同C、只有一個(gè)間斷點(diǎn)D、有兩個(gè)以上的間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閅～U(0，1)，所以Y的分布函數(shù)為FY(y)=，則Z=F－1(Y)的分布函數(shù)為FZ(Z)=P{Z≤z}=P{F－1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因?yàn)?≤F(z)≤1，所以Fz(z)=F(z)，即Z與X分布相同，選(B).8、設(shè)X1，X2，X3，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)變量，是樣本均值，記=．則___________.A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令S2=．～N(0，1)，由～χ2(n－1)，且與相互獨(dú)立，由t分布的定義，～t(n－1)，選(B).二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線在t=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，x=3，y=1，，而=2t一2,eycost+eysint一=0，將t=0。代入得，于是切線的斜率為，于是法線為y一1=(x一3)，即法線方程為y=+1一．10、差分方程yx+1—3yx=2.3x的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：齊次差分方程yx+1一3yx=0的通解為y=A3x，設(shè)差分方程yx+1—3yx=2.3x的特解為y0(x)=Cx3x，將y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3y=2.3x得C=，故原差分方程的通解為y(x)=A3x+2x3x－1．11、設(shè)z=f(t，et)dt，f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：=2xyf(x2y，)，=2xf+2xf()=2xf+2x3y(f’1+).12、微分方程一3y’+2y=2ex滿足=1的特解為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－3ex+3e2x－2xex知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，一3y’+2y=0的通解為令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=一2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex由=1得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3，C2=3，特解為y=一3ex+3e2x一2xex．13、已知三階方陣A，B滿足關(guān)系式E+B=AB，A的三個(gè)特征值分別為3，一3，0，則｜B－1+2E｜=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3，一3，0，所以A—E的特征值為2，一4，一1，從而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B與A—E互為逆陣，則B的特征值為，一，一1，B－1的特征值為2，一4，一1，從而B－1+2E的特征值為4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=一8．14、設(shè)X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中E(X)=μ,D(X)=σ2，令U=—Xi，V==Xi(i≠j)，則ρuv=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由U=一Xi=+…+得D(U)=D(V)=Cov(U，V)=Cov(—Xi，一Xi)=Cov()－Cov(Xi，)一Cov(，Xi)+Cov(Xi，Xj)=D()一2Cov(Xi，)=，則．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、令x=cost(02)一xy’+y=0化為y關(guān)于，的微分方程，并求滿足=2的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：，代入原方程得+y=0，該方程的通解為y=C1cost+C2sint，原方程的通解為y=C1x+C2，將初始條件=2代入得C1=2，C2=1，故特解為y=2x+．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1．證明：存在ξ∈(0，1)．使得(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f(x)在[0，1]上取到最小值和最大值．又因?yàn)閒(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1，所以存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1．(c)=0，由泰勒公式得整理得當(dāng)c∈(0，]時(shí)，因?yàn)閏2≤，所以(ξ1)=≥8，此時(shí)取ξ=ξ1；當(dāng)c∈[，1)時(shí)，因?yàn)?1一c)2≤，所以(ξ2)=≥8，此時(shí)取ξ=ξ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算(a>0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，(－≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、某企業(yè)生產(chǎn)某種商品的成本函數(shù)為C=a+bQ+cQ2，收入函數(shù)為R=ιQ一sQ2，其中常數(shù)a，b，c，ι，s都是正常數(shù)，Q為產(chǎn)量，求：(Ⅰ)當(dāng)稅率為t時(shí)，該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量；(Ⅱ)當(dāng)企業(yè)利潤(rùn)最大時(shí)，t為何值時(shí)征稅收益最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=R－C一tQ=ιQ－sQ2一a一bQ一cQ2一tQ，令=ι一2sQ一b—2cQ一t=0得Q=.因?yàn)?一2s一2c=一2(c+s)<0，所以Q=為企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量．(Ⅱ)稅收函數(shù)T=tQ=，令=0得t=．因?yàn)?lt;0，所以稅率t=時(shí)，征稅收益最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1得級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1.當(dāng)x=1時(shí)，因?yàn)榉稚?，所以?dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=一1時(shí)，，因?yàn)榕c都收斂，所以當(dāng)x=一1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1)．令S(x)==(5—8x)ln(1一x)+5x(一1≤X<1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)=r()=r=(Ab)．(I)證明方程組AX=b有且僅有n一r+1個(gè)線性無關(guān)解；(Ⅱ)有三個(gè)線性無關(guān)解，求a，b及方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)令ξ1，ξ2，…，為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η0為Ax=b的特解，顯然β0=η0，β1=ξ1+η0，為Ax=b的一組解，令=0，即+(k0+k1+…+)η0=0．上式左乘A得(k0+k1+…+)=0，因?yàn)閎≠0時(shí)，k0+k1+…+=0，于是k1β1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn－r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以k1=k2=…=kn－r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn－r線性無關(guān)．若γ0，γ1，…，γn－r+1為AX=b的線性無關(guān)解，則ξ1=γ1一γ0，…一γ0為AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+=0，則k1γ1+k2γ2+…+kn－r+1γn－r＋1－(k1+k2+…+kn－r+1)γ0=0因?yàn)棣?，γ1，…，γn－r+1線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn-r+1=0,即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1為AX=0的線性無關(guān)解，矛盾，故方程組AX=b恰有n－r+1個(gè)線性無關(guān)解(Ⅱ)令A(yù)=則化為AX=β因?yàn)锳x=β有三個(gè)非零解，所以AX=0有兩個(gè)非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因?yàn)閞(A)≥2，所以r(A)=r()=2則a=－3，b=－1由得原撇的通解為其中k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩陣合同于．(Ⅰ)求常數(shù)a；(Ⅱ)用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)為標(biāo)準(zhǔn)形.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令A(yù)=則f(x1，x2,x3)=XTAX.因?yàn)锳與合同，所以r(A)=2<3，故｜A｜=0．由｜A｜=(Ⅱ)由｜λE一A｜==λ(λ－4)(λ－9)=0得λ1=0，λ1=0，λ2=4，λ3=9．由(0E—A)X=0得；由(4E－A)X=0得；由(9E—A)X=0得令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則f(x1，x2,x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的密度函數(shù)fz(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X，Y的邊緣密度分別為因?yàn)閄，Y獨(dú)立，所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=fx(x)fY(y)=FZ(z)=P{z≤z}=P{X+Y≤z}=f(x，y)dxdy，當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)0≤z<1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=dxe-ydy=(1一ex－z)dx=z－e－z(ez－1)=z+e－z－1；當(dāng)z≥1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=[*167]dxe－ydy=(1一ex－z)dx即FZ(z)=故fZ(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)總體x的密度函數(shù)為f(x)=其中θ>一1是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．(I)求θ的矩估計(jì)量；(Ⅱ)求θ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)E(x)=，令，得參數(shù)的矩估計(jì)量為．(Ⅱ)記樣本觀察值為x1，x2，…，xn，似然函數(shù)為則lnL=nln(θ+1)+θlnxi(0＜xi＜1)，令，得參數(shù)的最大似然估計(jì)值為，則最大似然估計(jì)量為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)正數(shù)列{an}滿足，則極限=A、eB、1C、0D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)函數(shù)則x=0是f(x)的A、可去間斷點(diǎn)．B、跳躍間斷點(diǎn)．C、第二類間斷點(diǎn)．D、連續(xù)點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)有函數(shù)f1(x)=｜1nx｜，f2(x)=，f3(x)=x3—3x2+x+1，f4(x)=｜x一1+1nx｜，則以(1，0)為曲線拐點(diǎn)的函數(shù)有A、1個(gè)．B、2個(gè)．C、3個(gè)．D、4個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先fi(1)=0，i=1，2，3，4，說明點(diǎn)(1，0)都在曲線上．由｜lnx｜的圖形容易判斷(1，0)是f1(x)的拐點(diǎn)令f2"(x)=0，x=1(x=一1不在定義域內(nèi))，由于f2"(x)在x=1的左、右異號(hào)，故(1，0)是f2(x)的拐點(diǎn)．f3’(x)=3x2—6x+1，f3"(x)=6(x一1)，f3"(1)=0，又f3"(x)在x=1左右異號(hào)，故(1，0)是f3(x)的拐點(diǎn)．對(duì)f4(x)求導(dǎo)比較麻煩，我們可以由g(x)=x一1+lnx來討論．可知g(x)↑，又，故g(x)的圖形上凸，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)g(x)＜0，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)g(x)＞0，所以f4(x)=｜g(x)｜的圖形以(1，0)為拐點(diǎn)．綜上所述，應(yīng)選(D)．4、設(shè)=x2一xy+y2，則fx’(1，1)=A、1．B、0．C、一1．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A是m×n矩陣，且方程組Ax=b有解，則A、當(dāng)Ax=b有唯一解時(shí)，必有m=n．B、當(dāng)Ax=b有唯一解時(shí)，必有r(A)=n．C、當(dāng)Ax=b有無窮多解時(shí)，必有m＜n．D、當(dāng)Ax=b有無窮多解時(shí)，必有r(A)＜m標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：6、下列矩陣中不能相似對(duì)角化的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)事件A，B，C是一個(gè)完備事件組，即它們兩兩互不相容且其和為Ω，則下列結(jié)論中一定成立的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)是取自同一正態(tài)總體N(μ，σ2)的兩個(gè)相互獨(dú)立且容量相同的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的兩個(gè)樣本均值，則滿足的最小樣本容量n=__________A、4．B、8．C、12．D、24．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知級(jí)數(shù)與反常積分均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是__________·標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜p＜2．知識(shí)點(diǎn)解析：由于是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，只要p＞0就符合萊布尼茲判別法的要求，因而收斂，而當(dāng)p≤0時(shí)，該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零，所以一定發(fā)散．又對(duì)于來說，直接計(jì)算即可知：p＜2時(shí)收斂，p≥2時(shí)發(fā)散．兩者結(jié)合即得上述答案．10、若由曲線及曲線某點(diǎn)處的切線方程與兩條直線x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線方程為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、若一條二次曲線把(一∞，0)內(nèi)的曲線段y=ex和(1，+∞)內(nèi)的曲線段連接成一條一階可導(dǎo)的曲線，則定義在[0，1]上的這條二次曲線為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一x2+x+1．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)二次曲線為y=ax2+bx+c由f(x)的連續(xù)性，在點(diǎn)x=0處有e0=c，則c=1；在點(diǎn)x=1處有a+b+c=1，可知a+b=0．由可導(dǎo)性f+’(0)=b，f-’(0)=e0=1，故由f+’(0)=f-’(0)得b=1，a=一1，所以二次曲線為y=一x2+x+1．12、由于折舊等因素，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格P(t)是時(shí)間t(周)的減函數(shù)，其中A是機(jī)器的最初價(jià)格，在任何時(shí)間t，機(jī)器開動(dòng)就能產(chǎn)生的利潤(rùn)，則使轉(zhuǎn)售出去總利潤(rùn)最大時(shí)機(jī)器使用的時(shí)間t=__________周．(1n2≈0．693)標(biāo)準(zhǔn)答案：333．知識(shí)點(diǎn)解析：假設(shè)機(jī)器使用了t周后出售，在時(shí)間[t，t+dt]內(nèi)機(jī)器開動(dòng)產(chǎn)生的利潤(rùn)為令f’(t)=0，得t=961n32≈333．當(dāng)t＜96In32時(shí)，f’(t)＞0；當(dāng)t＞96In32時(shí)，f’(t)＜0，故機(jī)器使用了333周后轉(zhuǎn)售出去總利潤(rùn)最大．13、已知，那么矩陣A=_____________·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則Y=-2X+3服從的分布是___________.標(biāo)準(zhǔn)答案：N(5，2)知識(shí)點(diǎn)解析：Y=一2X+3仍服從正態(tài)分布，且EY=一2EX+3=5DY=4DX=2，所以Y～N(5，2)．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)F(x)=，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并討論F’(x)在(一1，+∞)上的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將F(x)轉(zhuǎn)化為變限積分，令s=xt，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、拋物線y=x2上任意點(diǎn)(a，a2)(a＞0)處引切線L1，在另一點(diǎn)處引另一切線L2，L2與L1垂直．(I)求L1與L2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1；(Ⅱ)求L1，L2與拋物線y=x2所圍圖形的面積S(a)；(Ⅲ)問a＞0取何值時(shí)S(a)取最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)計(jì)算二重積分．其中D={(x，y)｜x2+(y一1)2≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，設(shè)在直線y=1下方的部分記為D1，在y=l上方的部分記為D2，且D2在y軸右側(cè)的部分記為D2’，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、作自變量替換，把方程變換成y關(guān)于t的微分方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)求解二階常系數(shù)線性方程④．相應(yīng)的特征方程λ2+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齊次方程可設(shè)特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即Acost—Bsint=sint，比較系數(shù)得A=0，B=-1．即y*(t)=一cost，因此④的通解為y=(C1+C1t)e-t一cost．(Ⅲ)原方程的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，4]上連續(xù)，且，求證：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：用反證法來證明本題．由題設(shè)f(x)在[0，4]上連續(xù)即知f(4一x)在[0，4]上連續(xù)，從而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上連續(xù)．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，則f(x)+f(4一x)或在(0，4)內(nèi)恒正，或在(0，4)內(nèi)恒負(fù)，于是必有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A是n階反對(duì)稱矩陣，(I)證明：A可逆的必要條件是n為偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A*是對(duì)稱矩陣；(Ⅱ)舉一個(gè)4階不可逆的反對(duì)稱矩陣的例子；(Ⅲ)證明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)按反對(duì)稱矩陣定義：AT=一A，那么｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要條件是n為偶數(shù)．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*．又因(kA)*=kn-1A*，故當(dāng)n=2k+1時(shí)，有(A*)T=(一1)2kA*=A*，即A*是對(duì)稱矩陣．(Ⅱ)例如，是4階反對(duì)稱矩陣，且不可逆．(Ⅲ)若λ是A的特征值，有｜λE—A｜=0，那么｜-λE-A｜=｜(一λE-A)T｜=｜-λE—AT｜=｜-λE+A｜=｜一(λE-A)｜=(一1)n｜λE-A｜=0，所以一λ是A的特征值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知，求A的特征值與特征向量，并指出A可以相似對(duì)角化的條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：由矩陣A的特征多項(xiàng)式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)離散型二維隨機(jī)變量(X，Y)的取值為(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2｜=，P{y=y1｜X=x2}=，p{X=x1｜Y=y1}=，試求：(I)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(II)條件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因X與Y獨(dú)立，所以有(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：依題意，隨機(jī)變量X與Y的可能取值分別為x1，x2與y1，y2，且又題設(shè)于是有P{X=x1｜Y=y1}=P{X=x1}，即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨(dú)立，因而{X=x1}的對(duì)立事件{X=x2}與{Y=y1}獨(dú)立，且{X=x1}與{Y=y1}的對(duì)立事件{Y=y2}獨(dú)立；{X=x2}與{Y=y2}獨(dú)立，即X與Y相互獨(dú)立．23、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X的概率密度為是未知參數(shù)．(I)求λ的矩估計(jì)量；(Ⅱ)求λ的最大似然估計(jì)量，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)＝，則f(x)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()．A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先找出f(x)的間斷點(diǎn)，再用可去間斷點(diǎn)的下述定義判別其個(gè)數(shù)．若f(x0＋0)＝f(x0－0)即f(x)在x＝x0處極限存在，但其極限值不等于在該點(diǎn)的函數(shù)值，則該點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)．顯然，x＝0，1，一1為．f(x)的間斷點(diǎn)．因即f(x)在x＝0，一1，1處的極限均存在，且f(x)在這些點(diǎn)處又無定義，故x＝0，一1，1均為f(x)的可去間斷點(diǎn)．僅(C)入選．2、設(shè)f(x)在x＝0處3階可導(dǎo)，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，則()．A、x＝0是f(x)的極小值點(diǎn)B、x＝0是f(x)的極大值點(diǎn)--C、在點(diǎn)(0，f(0))的左、右鄰域曲線y＝f(x)分別為凹與凸D、在點(diǎn)(0，f(0))的左、右鄰域曲線y＝f(x)分別為凸與凹標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用泰勒展開式及相關(guān)概念的定義判別之．解一由泰勒公式及題設(shè)得到f(x)＝f(0)＋f′(0)＋(0)x3＋o(x3)，f(x)－f(0)＝(0)x3z＋o(x3)．故當(dāng)｜x｜充分小且x＜0時(shí)，f(x)一f(0)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是極值，排除(A)、(B)．又將f″(x)按皮亞諾余項(xiàng)展開，有f″(x)＝f″(0)＋(0)x＋o(x)．當(dāng)｜x｜充分小且x＜0時(shí)，f″(x)＜0(因(0)＞0)，故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))的左側(cè)鄰域?yàn)橥梗?dāng)x＞0時(shí)，因(0)＞0，故f″(x)＞0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))的右側(cè)鄰域?yàn)榘純H(D)入選．解二利用可得到上述結(jié)論．事實(shí)上，由x＜0得到在點(diǎn)(0，f(0))的左側(cè)鄰域f″(x)＜0，曲線y＝f(x)為凸；當(dāng)x＞0時(shí)，f″(x)＞0，故在點(diǎn)(0，f(0))的右側(cè)鄰域?yàn)榘迹?、函數(shù)f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()．A、3B、2C、1D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用下述判別法判別．設(shè)f(x)＝｜x－a｜φ(x)，其中φ(x)在x＝a處連續(xù)．若φ(a)＝0，則f(x)在x＝a處可導(dǎo)且f′(a)＝φ(a)＝0；若φ(a)≠0，則f(x)在x＝a處不可導(dǎo)．為此，常將函數(shù)中含絕對(duì)值部分的子函數(shù)分解為一次因式｜x—a｜的乘積．因f(x)可分解成f(x)＝｜x(x2＋x一2)｜arctanx＝｜x(x＋2)(x一1)｜arctanx＝｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx．顯然arctanx在x＝0，一2，1處連續(xù)．因｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x｜φ1(x)，其中φ1(x)｜x＝0＝｜x＋2｜｜x－1｜arctanx｜x＝0＝0，故f(x)在x＝0處可導(dǎo)．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x－1｜(｜x｜｜x＋2｜arctanx)＝｜x－1｜φ2(x)，而當(dāng)x＝1時(shí)，φ2(x)｜x＝1＝｜x｜｜x＋2｜arctanx｜x＝1≠0，故f(x)在x＝1處不可導(dǎo)．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x＋2｜(｜x｜｜x－1｜arctanx)＝｜x＋2｜φ3(x)，φ3(x)｜x＝－2＝｜x｜｜x－1｜arctanx｜x＝－2≠0，故f(x)在x＝一2處不可導(dǎo)．僅(C)入選．4、設(shè)I＝xydxdy，其中D由曲線y＝，y＝－x和y＝所圍成，則I的值為()．A、1／6B、1／12C、1／24D、1／48標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：D的示意圖如下圖所示，需分段求出I．將區(qū)域D分為兩部分，在第一象限的部分記為D1，在第二象限的部分記為D2(見上圖)．求出y＝一x與y＝的交點(diǎn)為()．xydxdy僅(D)入選．5、設(shè)α為四維列向量，αT為α的轉(zhuǎn)置，若則αTα＝()．A、3B、6C、9D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由所給的矩陣等式觀察出α的元素，從而易求出αT．因則α＝[1，一1，1，1]T，αT＝[1，一1，1，1]，故αTα＝[1，一1，1，1][1，一1，1，1]T＝1.1＋(－1)(－1)＋1.1＋1.1＝4．僅(D)入選．6、設(shè)向量組α1，α2，α3，β1線性相關(guān)，向量組α1，α2，α3，β2線性無關(guān)，則對(duì)于任意常數(shù)k，必有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關(guān)B、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性相關(guān)C、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性無關(guān)D、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：可用線性無關(guān)的定義證明．由于k為任意常數(shù)，令k取某些特殊值也可用排錯(cuò)法判別．解一對(duì)于任意常數(shù)k，證明(A)成立．設(shè)l1α1＋l2α2＋l3α3＋l4(kβ1＋β2)＝0下證l4＝0．若l4≠0，則kβ1＋β2可由α1，α2，α3線性表示，由題設(shè)知β1能由α1，α2，α3線性表示，因而β2能由α1，α2，α3線性表示．這與α1，α2，α3，β2線性無關(guān)相矛盾，所以l4＝0，則上述等式可化為l1α1＋l2α2＋l3α3＝0．而α1，α2，α3線性無關(guān)，故l1＝0，l2＝0，l3＝0，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關(guān)．故(A)正確．解二當(dāng)k＝0時(shí)，顯然(B)、(C)不成立．當(dāng)k＝1時(shí)，(D)不成立．事實(shí)上，由題設(shè)α1，α2，α3，β2線性無關(guān)，如果α1，α2，α3，β1＋β2線性相關(guān)，而α1，α2，α3線性無關(guān)，β1，α1，α2，α3線性相關(guān)，則β1能由α1，α2，α3線性表示，而β2不能，于是β1＋β2不能由α1，α2，α3線性表示，所以(D)不成立．僅(A)入選．7、設(shè)隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立同分布(方差大于零)，令X＝X1＋aX2，Y＝X1＋bX1(a，b均不為零)．如果X與Y不相關(guān)，則()．A、a與b可以是任意實(shí)數(shù)B、a和b一定相等C、a和b互為負(fù)倒數(shù)D、a和b互為倒數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用X和Y不相關(guān)的充要條件判別之．X與Y不相關(guān)的充分必要條件是pXY＝0，即cov(X，Y)＝0．cov(X，Y)＝cov(X1＋aX2，X1＋bX2)＝D(X1)＋(a＋b)cov(X1，X2)＋abD(X2)．由于X1與X2獨(dú)立同分布，有cov(X1，X2)＝0，且D(X1)＝D(X2)．于是cov(X，Y)＝0(1＋ab)D(X1)＝01＋ab＝0ab＝一1，因而a與b互為負(fù)倒數(shù)．僅(C)入選．8、設(shè)隨機(jī)變量xi～(i＝1,2)，且p(X1X2＝0)＝1，,則P(X1＝X2)等于()．A、0B、1／4C、1／2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系及題設(shè)P(X1X2＝0)＝1求之．由題設(shè)有P(X1X2≠0)＝1一P(X1X2＝0)＝1—1＝0．設(shè)X1的取值為x1，x2，x3，X2的取值為y1，y2，y3，則由X1的邊緣分布得到p11＋p12＋p13＝0＋p12＋0＝p(X1＝－1)＝p31＋p32＋p33＝0＋p32＋0＝p(X1＝1)＝又由X2的邊緣分布得到p11＋p21＋p31＝0＋p21＋0＝p(X2＝－1)＝p13＋p23＋p33＝0＋p23＋0＝p(X2＝1)＝由X2的邊緣分布得到p12＋p22＋p32＝1／4＋p22＋1／4＝p(X2＝0)＝1／2，則p22＝0故所以P(x1＝y(tǒng)1)＝0，P(x2＝y(tǒng)2)＝0，P(x3＝y(tǒng)3)＝0，即P(X1＝X2)＝0．僅(A)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若f(x)＝φ(x)＝則f[φ(x)]＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：兩分段函數(shù)的分段點(diǎn)相同，且僅有一個(gè)分段點(diǎn)．常用分段代入法求其復(fù)合函數(shù)，且常將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式代入，然后將外層函數(shù)的表達(dá)式代入，常簡(jiǎn)稱“先內(nèi)后外法”．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＜φ(x)＝2x＜2，故f[φ(x)]＝f(2x)＝ln2x＝xln2．當(dāng)x＝1時(shí)，φ(x)＝1，f[φ(x)]＝1．當(dāng)1＜x＜2時(shí)，0＜φ(x)＝x一1＜1，則f[φ(x)]＝f(x－1)＝1－(x－1)＝2－x．綜上，可得10、設(shè)a，b是某兩個(gè)常數(shù)，且e－t2dt＋a]＝b，則a，b分別等于__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，0知識(shí)點(diǎn)解析：由所給極限與ex＝＋∞，得到e－t2dt＋a]＝0．事實(shí)上，如e－t2dt＋a的極限不等于0，那么所給極限必不等于常數(shù)，與題設(shè)e－t2dt＋a]＝b(b為常數(shù))矛盾．由即可求得a的值，再用洛比達(dá)法則還可求得b．利用二重積分可算出此結(jié)果：下同解一．11、設(shè)＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10ln3知識(shí)點(diǎn)解析：由所給極限及(3x一1)＝0得到從而ln(1＋(x→0)．故12、求極限＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用定積分定義求之，為此先將其化為積和式．解一解二13、已知二次型f(x1，x2，x3)＝＋2ax1x2＋2bx2x3＋2x1x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)＝，則a，b取值為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由標(biāo)準(zhǔn)形即知二次型矩陣A的特征值，將其代入特征多項(xiàng)式可得a，b滿足的兩個(gè)方程，解之即得a，b．對(duì)應(yīng)二次型矩陣A＝，其特征值為0，1，2，將λ＝0，1代入特征方程｜λE－A｜＝0，得｜0.E－A｜＝一(a－b)2＝0，及｜E－A｜＝一2ab＝0，解得a＝b＝0．14、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，，P(A∪B)＝0．72，P(AC∪BC)＝0．32，則P(C)＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．6知識(shí)點(diǎn)解析：利用和事件概率的計(jì)算公式求之．因未給出P(AC)與P(BC)，僅給出P(AC∪BC)，需將三事件之和A∪B∪C看成兩事件A∪B與C之和，利用兩事件之和的概率公式計(jì)算．因?yàn)椋訟∪B∪C＝Ω，P(A∪B∪C)＝1．又P(A∪B∪C)＝P[(A∪B)∪C]＝P(A∪B)＋P(C)一P((A∪B)C)，故P(C)＝P(A∪B∪C)一P(A∪B)＋P(AC∪BC)＝1—0．72＋0．32＝0．6．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、討論函數(shù)y＝的漸近線、升降區(qū)間、極值、凹凸性，并畫出它的大致圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因y＝∞，故直線x＝1是函數(shù)的鉛直漸近線．又故直線y＝x＋1是斜漸近線．(2)由得其駐點(diǎn)為x1＝3，x2＝一1．雖然在x＝1處附近一階、二階導(dǎo)數(shù)存在，且二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)，但f(x)在x＝1處沒有定義，因而不連續(xù)，故y沒有拐點(diǎn)．以y的不連續(xù)點(diǎn)x＝1，駐點(diǎn)x＝一1及x＝3將其定義區(qū)間分為部分區(qū)間，函數(shù)在這些部分區(qū)間的變化列成下表：當(dāng)x＝一1時(shí)，y＝x＋1＝0，而y＝＝一2，且x＝0時(shí)，y＝x＋1＝1，y＝＝一3．因此在((－∞，1)內(nèi)函數(shù)圖形在漸近線y＝x＋1的下面．又當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x＋1＝4，而因而在(1，＋∞)內(nèi)漸近線在函數(shù)圖形的下面．因此描繪函數(shù)y的大致圖形如下圖所示．知識(shí)點(diǎn)解析：確定函數(shù)的定義域、曲線的漸近線，然后利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值、凹向與拐點(diǎn)，由曲線的方程求出曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后畫出函數(shù)的圖形．16、如圖由y＝0，x＝8，y＝x2圍成一曲邊三角形OAB，在曲邊上求一點(diǎn)，使得過此點(diǎn)所作y＝x2的切線與OA、AB所圍成的三角形面積為最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為(x，y)．過曲線上點(diǎn)(x，y)的切線方程為Y－y＝y(tǒng)′(X－x)．將y＝x2，y′＝2x代入得Y＝y(tǒng)—x2＝2x(X—x)．此切線與X＝8及Y＝0的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)分別為Y＝2x(8一x)＋x2，X＝，則切線與OA，AB所圍成的三角形面積為S(x)＝[2x(8一x)＋x2]．令S′(x)＝及x＝16(舍去)．易驗(yàn)證，當(dāng)x＝＜0，因而S(x)取最大值，則所求的點(diǎn)為()．知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)(x，y)，求出切線方程Y—x2＝y(tǒng)′(X—x)，求出切線與直線X＝8及與Y＝0(橫軸)的交點(diǎn)．寫出用x，y表示的面積表達(dá)式，最后求出x，y為何值時(shí)此面積最大．17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其中0＜a＜b，試證至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得alnb－blna＝(ab2－ba2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式可改寫成作輔助函數(shù)f(x)＝，則f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得亦即alnb－blna＝(ab2一ba2)．知識(shí)點(diǎn)解析：待證的中值等式中含有af(b)一bf(a)這樣的項(xiàng)，為找出輔助函數(shù)，常先用ab去除等式兩端，從而找出兩函數(shù)值的差．該函數(shù)就是要找的輔助函數(shù)．本例用ab去除等式兩端即得于是輔助函數(shù)F(x)＝就出現(xiàn)了．18、試求心形線x＝acos3θ，y＝asin3θ(0≤θ≤)與兩坐標(biāo)軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：解一解二選x為積分變量．dV＝y(tǒng).2πxdx＝2πyxdx，知識(shí)點(diǎn)解析：求坐標(biāo)軸上的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積，一般有兩種計(jì)算方法，計(jì)算公式為Vy＝πx2dy，或Vy＝2πxydx．19、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)＝ex2＋y2＋xyf(x，y)dxdy，①其中D＝｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x，y)dxdy＝A(常數(shù))．在等式①兩端乘以xy，然后在區(qū)域D上二重積分得到于是A＝(e一1)2，從而f(x，y)＝ex2＋y2＋(e一1)2xy，因此＝2xex2＋y2＋(e一1)2y，＝4xyex2＋y2＋(e一1)2．知識(shí)點(diǎn)解析：因D為一固定區(qū)域，故xyf(x，y)dxdy為一常數(shù)，利用這一點(diǎn)可先求出f(x，y)的表示式，再求偏導(dǎo)．20、設(shè)A是n階方陣，且E＋A可逆，證明：(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交換；(2)若A為反對(duì)稱矩陣，則(E－A)(E－A)－1是正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因(E－A)(E＋A)＝E－A2＝(E＋A)(E－A)，兩邊分別左乘、右乘(E＋A)－1得到(E＋A)－1(E－A)(E＋A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E＋A)(E－A)(E＋A)－1，故(E＋A)－1(E—A)＝(E－A)(E＋A)－1，即E－A與(E＋A)－1相乘可交換．(2)為證(E－A)(E＋A)－1為正交矩陣，只需證[(E—A)(E＋A)－1]T＝[(E—A)(E＋A)－1]－1．事實(shí)上，由(1)的結(jié)果得到[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E＋A)－1(E－A)]T＝(E－A)T[(E＋A)－1]T＝(E—AT)[(E＋A)T]－1＝(E－AT)(E＋AT)－1＝(E＋A)(E—A)－1(A為反對(duì)稱矩陣，AT＝－A)，而[(E—A)(E＋A)－1]－1＝[(E＋A)－1]－1(E—A)－1＝(E＋A)(E－A)－1，故[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E－A)(E＋A)－1]－1，所以(E—A)(E＋A)－1為正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：(1)利用(E－A)(E＋A)＝(E＋A)(E－A)及矩陣乘法運(yùn)算證之；(2)利用正交矩陣的定義(AAT＝E，即A－1＝AT)證之．21、已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩陣的特征向量．判斷二次型是否正定，并求下列齊次方程組的通解：標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣是設(shè)α是屬于特征值λ0的特征向量，即A1α＝λ0α，或由此可得易解出λ0＝3，b＝0，a＝2．對(duì)于，由于｜A1｜＝0，所以f不是正定二次型．將a＝2，b＝0代入方程組，對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換化為行階梯形矩陣：當(dāng)c＝6時(shí)，對(duì)B進(jìn)一步用初等行變換化為含最高階單位矩陣的矩陣，得到則A2X＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量：α1＝[一9，19，一7，1，0]T，α2＝[2，一7，2，0，1]T，其通解為X＝k1α1＋k2α2，k1，k2為任意常數(shù)．當(dāng)c≠6即c－6≠0時(shí)，矩陣B用初等行變換進(jìn)一步可化為含最高階單位矩陣的矩陣：這時(shí)方程組A2X＝0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量：[一(3c一10)／14，一(23－2c)／7，0，一(c一8)／7，7]T．為方便計(jì)，取α3＝[一(3c一10)／2，一(23—2c)，0，一(c一8)，49]T＝[5—3c／2，2c一23，0，(8一c)，49]T．故當(dāng)c≠6時(shí)，方程組A2X＝0的通解為k3α3，其中k3為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：寫出二次型矩陣A，由題設(shè)條件列出方程易求得a、b和α的特征值λ0．然后再將所給齊次方程組的系數(shù)矩陣用初等行變換化為含最高階單位矩陣的矩陣，用基礎(chǔ)解系的簡(jiǎn)便求法即可寫出其基礎(chǔ)解系及通解．22、證明P[A∩∩B)]＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)，并說明此結(jié)果的概率含義．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上邊的維尼圖易看出，下面事件的關(guān)系成立：(A∩∩B)＝A∪B—A∩B．又因A∩BBA∪B，由減法公式得到P(A∪B—A∩B)＝P(A∪B)一P(A∩B)，故P[(A∩∩B)]＝p[(A∪B)一(A∩B)]＝P(A∪B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一P(A∩B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)．上式結(jié)果的概率含義是：事件A，B中僅有一個(gè)發(fā)生的概率等于它們每個(gè)的概率之和減去它們相交的概率的兩倍．知識(shí)點(diǎn)解析：利用事件和、差、積的運(yùn)算法則證之．23、假設(shè)總體X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量Yn＝n[1一max｛X1，X2，…，Xn｝]的分布函數(shù)為Fn(x)．求證Fn(x)＝F(x)(一∞＜x＜＋∞)，其中F(x)是參數(shù)為2的指數(shù)分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，總體X的分布函數(shù)為所以Yn的分布函數(shù)Fn(x)＝P(Yn≤x)＝P(n[1－max｛X1，X2，…，Xn｝]≤x)故即Yn的分布函數(shù)Fn(x)的極限分布是以參數(shù)為2的指數(shù)分布函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：首先要明確簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一組相互獨(dú)立且與總體同分布的隨機(jī)變量，其次要會(huì)求max｛X1，X2，…，Xn｝的分布函數(shù)，最后還要熟悉極限公式：＝[e－x－(－0)]2＝e－2x．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下述命題：①設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)；②設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上有界，則f(x)在(一∞，+∞)上有界；③設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上為正值的連續(xù)函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的連續(xù)函數(shù)；④設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的有界函數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：①與③是正確的，②與④是不正確的，正確的個(gè)數(shù)為2．①是正確的．理由如下：設(shè)x0∈(一∞，+∞)，則它必含于某區(qū)間[a，b]中．由題設(shè)f(x)在任意閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在x0處連續(xù)，所以在(一∞，+∞)上連續(xù)．論證的關(guān)鍵是：函數(shù)f(x)的連續(xù)性是按點(diǎn)來討論的．在區(qū)間上每一點(diǎn)連續(xù)，就說它在該區(qū)間上連續(xù)．②是不正確的．函數(shù)f(x)在[a，b]上有界的“界”是與區(qū)間有關(guān)的．例如f(x)=x在區(qū)間[a，b]上，｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜b｜}M，這個(gè)“界”與區(qū)間[a，b]有關(guān)．容易看出，在區(qū)間(一∞，+∞)上，f(x)=x就無界了．③是正確的．理由如下：設(shè)x0∈(一∞，+∞)，f(x0)＞0且f(x)在x0處連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則知，在(一∞，+∞)上連續(xù)．④是不正確的．例如函數(shù)f(x)=，在區(qū)間(一∞，+∞)上，0＜f(x)≤1．所以在(一∞，+∞)上f(x)有界。而=+∞．2、設(shè)f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增，又設(shè)則φ(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上()A、嚴(yán)格單調(diào)減少．B、嚴(yán)格單調(diào)增加．C、存在極大值點(diǎn)．D、存在極小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令上式分子為(x)=(x一a)f(x)一If(t)dt=(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x一a)[f(x)一f(ξ)]，其中，當(dāng)a＜x時(shí)，a＜ξ＜x，從而f(ξ)＜f(x)；當(dāng)a＞x時(shí)，a＞ξ＞x，從而f(ξ)＞f(x)．所以不論a＜x還是a＞x，總有(x)＞0．因此當(dāng)x≠a時(shí)，φ’(x)＞0．故可知在區(qū)間(一∞，a)與(a，+∞)上φ(x)均嚴(yán)格單調(diào)增加．以下證明在區(qū)間(一∞，+∞)上φ(x)也是嚴(yán)格單調(diào)增加．事實(shí)上，設(shè)x∈(a，+∞)，則φ(x2)一φ(a)=一f(a)=f(ξ2)一f(a)＞0，其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在開區(qū)間(a，x2)內(nèi)．同理，設(shè)x1∈(一∞，a)，則有φ(a)一φ(x1)=f(a)一f(ξ2)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上兩個(gè)不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3、下列反常積分發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)積分中只要有一個(gè)發(fā)散，就說該積分發(fā)散．故應(yīng)選(A)．4、設(shè)f(x，y)=，則在點(diǎn)0(0，0)處()A、偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但函數(shù)連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)也連續(xù)．D、偏導(dǎo)數(shù)不存在，函數(shù)也不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，得即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在．考慮連續(xù)性，取y=kx2讓點(diǎn)(x，y)→(0，0)．則更談不上連續(xù)性．故應(yīng)選(A)．5、設(shè)齊次線性方程組Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，0，一2)T+k2(4，一1，一1，一1)T，其中k1，k2是任意常數(shù)，則下列向量中不是Ax=0的解向量的是()A、α1=(1，2，0，一2)T．B、α2=(6，1，一2，一2)T．C、α3=(一5，8，2，一4)T．D、α4=(5，1，一1，一3)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若αi可由ξ1，ξ2線性表示，則是Ax=0的解，不能由ξ1，ξ2線性表示，則不是Ax=0的解．將ξ1，ξ2，α1，α2，α3，α4合并成矩陣，并一起作初等行變換．故知，α2不能由ξ1，ξ2線性表示，不是Ax=0的解向量(α1，α3，α4是解向量)，故應(yīng)選(B)．6、設(shè)A，B，C均是3階方陣，滿足AB=C，其中則必有()A、a=一1時(shí)，r(A)=1．B、a=一1時(shí)，r(A)=2．C、a≠一1時(shí)，r(A)一1．D、a≠一1時(shí)，r(A)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然r(C)=1，又當(dāng)a≠一1時(shí)，有r(B)=3，B可逆，因AB=C，故r(A)=r(AB)=r(C)=1．故應(yīng)選(C)．因(C)成立，顯然(D)不能成立．故(A)、(B)均不成立．7、將一枚均勻硬幣連續(xù)拋n次，以A表示“正面最多出現(xiàn)一次”，以B表示“正面和反面各至少出現(xiàn)一次”，則()A、n=2時(shí)，A與B相互獨(dú)立．B、n=2時(shí)，AB．C、n=2時(shí)，A與B互不相容．D、n=3時(shí)，A與B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)n=2時(shí)，由P(AB)≠P(A)P(B)知A與B不獨(dú)立．又P(A)＞P(B)，故AB，則P(A)≤P(B)，矛盾)．當(dāng)n=3時(shí)，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B相互獨(dú)立．故應(yīng)選(D)．8、設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn(n＞1)獨(dú)立同分布，其方差σ2＞0，記(1≤s，t≤n)的值等于()A、．B、．C、σ2．max{s，t)．D、σ2．min{s，t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?=max{2，3)，所以應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、直角坐標(biāo)中的累次積分I=化為極坐標(biāo)先r后θ次序的累次積分I=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按題目上、下限，積分區(qū)域D如圖陰影所示，對(duì)y的上限方程為y=，化為極坐標(biāo)為r=2acosθ對(duì)y的下限方程為y=2a一，化為極坐標(biāo)為r=4asinθOA的傾角記為θ0，tanθ0=．于是，由極坐標(biāo)，直線段OA將D分成兩塊，在極坐標(biāo)系中，積分如答案所示．10、設(shè)f(x)連續(xù)且f(x)≠0，又設(shè)f(x)滿足f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt，則f(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=∫0xf(x一t)dt+∫01f2(t)dt=一∫x0f(u)du+∫0xf(t)dt=∫0xd(u)du+∫01f(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得11、設(shè)常數(shù)a＞0，雙紐線(x2+y2)2=a2(x2—y2)圍成的平面區(qū)域記為D，則二重積分(x2+y2)dσ=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a4