考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷8（共219題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷8（共9套）（共219題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、假設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)A、是連續(xù)函數(shù)．B、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)．C、是階梯函數(shù)．D、恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)A為3階矩陣，r(A)=1，則λ=0()．A、至多是A的二重特征值.B、必定是A的二重特征值.C、至少是A的二重特征值.D、一、二、三重特征值均有可能.標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：π/4知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、(I)設(shè)[*5問(wèn)a，b為何值時(shí)，β1，β2能同時(shí)由α1,α2,α3線性表出．若能表出時(shí)，寫(xiě)出其表出式；(Ⅱ)設(shè)問(wèn)a，b為何值時(shí)，矩陣方程AX=B；有解，有解時(shí)，求出其全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對(duì)增廣矩陣[A｜B]作初等行變換，得①A≠3，b任意，β1，β2均可由α1,α2,α3線性表出，且表出法唯一．Aξ1=β1的解為x1=一3，x2=2，x3=0，即β1=一3α1+2α2．Aξ2=β2的解為即其中a≠3，b足任意常數(shù)．②a=3，b=1有無(wú)窮多解．β1，β2均可由α1,α2,α3線性表出且表出法無(wú)窮多．Aξ1=β1，有解k1[1，2，1]T+[-2，0，1]T其中k1是任意常數(shù)．Aξ2=β2，有解是k2[1，一2，1]T+[1，0，0]T，其中k2是仟意常數(shù)．(Ⅱ)由(I)知。①當(dāng)a≠3，b任意時(shí)，AX=B有唯一解，且②當(dāng)a=3，b=1時(shí)，AX=B有無(wú)窮多解，且得其中k1，k2是任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：(I)β1，β2可同時(shí)由α1,α2,α3線性表出，則a1x1+a2x2+a3x3=βi，i=1，2，方程都有解．(Ⅱ)方程AX=B，將AX=B以列分塊，設(shè)X=[ξ1，ξ2]．B=[β1，β2]即A[ξ1，ξ2]=[β1，β2]有解;Aξ1=β1且Aξ2=β2有解．21、設(shè)∑：x2/2+y2/2+z2=1(z≥0)．點(diǎn)P(x，y，z)∈∑，π為曲面∑在點(diǎn)P處的切平面，d(x，y，z)為點(diǎn)0(0，0，0)到平面π的距離，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)為F(x)，則(x2-t)f(t)dt=A、F(x)B、F(x)C、xF(x)D、2xF(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查求變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題．由于被積函數(shù)中隱藏著求導(dǎo)變量x，故要先處理之，再求導(dǎo)．解：因(x2-t)f(t)dt=tf(t)dt，故(x2-t)f(t)dt=f(t)+x2f(x2).2x-x2f(x2).2x=f(t)dt令x=，則故應(yīng)選B．2、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示，則在(-∞，+∞)內(nèi)A、函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)B、函數(shù)f(x)有四個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有一個(gè)拐點(diǎn)C、函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有一個(gè)拐點(diǎn)D、函數(shù)f(x)有四個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)的極值、拐點(diǎn)問(wèn)題——見(jiàn)到求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)問(wèn)題，就想“四步八個(gè)字”——定域、找點(diǎn)、分段、判斷，其關(guān)鍵是要先找出駐點(diǎn)和f’(x)不存在的點(diǎn)及f’’(x)的零點(diǎn)和f’’(x)不存在的點(diǎn)．解：由題設(shè)所給y=f’(x)的圖形可看出，f’(x1)=f’(x2)=f’(x3)=0，f(x)在x=0處不可導(dǎo)，即f(x)可能有4個(gè)極值點(diǎn)，且曲線y=f’(x)在x軸上方時(shí)f’(x)＞0，在x軸下方時(shí)f’(x)＜0，可見(jiàn)這四個(gè)點(diǎn)都是極值點(diǎn)(x1，x2為極大值點(diǎn)，原點(diǎn)與x3為極小值點(diǎn)，為什么?)仍由y=f’(x)的圖形可看出，f’’(x4)=0(因x4是f’(x)的駐點(diǎn))，f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)不存在，即曲線y=f(x)可能有兩個(gè)拐點(diǎn)．因?yàn)槌藊=0外，y=f’(x)處處光滑，存在不垂直于x軸的切線，故可推測(cè)f(x)除x=0外具有二階導(dǎo)數(shù)，因此在f’(x)的嚴(yán)格單調(diào)增加區(qū)間內(nèi)有f’’(x)＞0；在f’(x)嚴(yán)格單調(diào)減少區(qū)間內(nèi)有f’’(x)＜0，可見(jiàn)(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，(x4，f(x4))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)(為什么?請(qǐng)讀者結(jié)合y=f’(x)的圖形思考，并找出曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間)．3、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則累次積分等于A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查交換二重積分的累次積分次序問(wèn)題，其一般方法是“找邊界、畫(huà)草圖、換次序”，即由所給累次積分找到積分區(qū)域的邊界曲線方程，然后畫(huà)出積分區(qū)域，交換積分次序即可．解：由題設(shè)所給累次積分可畫(huà)出積分區(qū)域如圖所示，故有I=4、設(shè)向量β在向量空間R3的基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為x=(1，2，3)T，則β在基α1，α2+α3，α1+α3下的坐標(biāo)為A、(0，2，1)TB、(1，2，1)TC、(1，2，0)TD、(1，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查向量空間的基本知識(shí)——向量在基下的坐標(biāo)，只要建立該向量由這組基的線性表示式即可．解：由題設(shè)條件知β=α1+2α2+3α3=(α1，α2，α3)只要求得β=(α1，α2+α3，α1+α3)y即可．因(α1，α2+α3，α1+α3)=(α1，α2，α3)①故(α1，α2，α3)=(α1，α2+α3，α1+α3)于是β=(α1，α2，α3)=(α1，α2+α3，α1+α3)=(α1，α2+α3，α1+α3)即β在基α1，α2+α3，α1+α3下的坐標(biāo)為y=(0，2，1)T．注：求解本題的一個(gè)關(guān)鍵是①式——見(jiàn)到一組向量由另一組向量線性表示，就要想到“三個(gè)東西”，此處用的是“建立出一個(gè)矩陣的等式”．①式中的表示式的系數(shù)矩陣P=也是由基α1，α2，α3到基α1，α2+α3，α1+α3的過(guò)渡矩陣．5、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩陣A滿足A3=A，且行列式｜A｜＞0，矩陣A的跡trA＜0，則此二次型的規(guī)范形為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求抽象二次型的規(guī)范形．由題設(shè)條件特點(diǎn)只要求得A的特征值即得．解：由條件A3=A可知A的特征值必滿足λ3=λ，故λ=0，±1．又由｜A｜=λ1λ2λ3＞0，trA=λ1+λ2+λ3＜0知，矩陣A的特征值為1，-1，-1，故二次型xTAx的規(guī)范形為f(x1，x2，x3)=注：由n階矩陣A滿足f(A)=O可得A的特征值λ必滿足方程f(λ)=0．但由f(λ)=0不能推得f(A)=O，且方程f(λ)=0的根不一定都是矩陣A的特征值．6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)和概率密度分別為F(x)和f(x)，則隨機(jī)變量Z=min{X，Y}的概率密度為A、2F(x)f(x)B、2[1-F(x)]f(x)C、2[1-f(x)]F(x)D、2[1-F(x)][1-f(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查隨機(jī)變量的最大值、最小值分布問(wèn)題．利用分布函數(shù)法解之即可．解：因FZ(x)=P{min(X，Y)≤x}=1-P{min(X，Y)＞x}=1-P{X＞x，y＞x}=1-P{X＞x}P{Y＞x)=1-[1-F(x)]2，故fZ(x)=FZ(x)=2[1-F(x)]f(x).注：要掌握以下隨機(jī)變量的最大值、最小值函數(shù)的處理方法：P{max(X，Y)≤C}=P{X≤C，Y≤C}，P{max(X，Y)＞C}=1-P{max(X，Y)≤C}=1-P{X≤C，Y≤C}=P{X>C}+P{Y>C}-P{X>C，Y>C}；P{min(X，Y)>C}=P{X>C，Y>C}，P{min(X，Y)≤C}=1-P{min(X，y)＞C}=1-P{X>C，y>C}=P{X≤C)+P{Y≤C}-P{X≤C，y≤C}．7、設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自指數(shù)總體E(λ)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差．若-S2是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，則k=______A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查統(tǒng)計(jì)量的無(wú)偏性問(wèn)題，只要求其數(shù)學(xué)期望即可．解：因由-S2是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，知，即有二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：e-2知識(shí)點(diǎn)解析：本題是求型未定式極限問(wèn)題．先用等價(jià)無(wú)窮小代換處理其中的無(wú)窮小因子，再用洛必達(dá)法則及重要極限即可求得．解：因x→0時(shí)，arcsinx～x，故原極限9、以y=C1cosx+C2sinx+e2x(其中C1，C2為任意常數(shù))為通解的二階線性常系數(shù)非齊次微分方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’’+y=5e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查由二階線性常系數(shù)微分方程的解反求微分方程問(wèn)題——見(jiàn)到已知二階常系數(shù)線性方程的通解，就要想到從中先找特征根定出齊次方程，再求導(dǎo)定自由項(xiàng)，最后可得所求方程．解：由所給通解可看出對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根為±i，從而得齊次方程為y’’+y=0．令y’’+y=f(x)，將通解中的非齊次方程的特解y=e2x代入，可得f(x)=5e2x，于是所求的微分方程為y’’+y=5e2x．10、設(shè)z=f(xy，x2-y2)，其中f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’u+xyf’’uu+(2x2-2y2)f’’uv-4xyf’’vv．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求二元抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，按復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求解即可．解：f’u.y+y’n.2x=f’u+y[f’’uu.x+f’’uv.(-2y)]+2x[f’’uv..+f’’vv(-2y)]=f’u+xyf’’uv+(2x2-2y2)f’’uv-4xyf’’vv．注：當(dāng)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，f’’uv=f’’vv．11、設(shè)xOy面內(nèi)曲線L為x=1-，則曲線積分∫L(x+y)2ds=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(π-2)．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查第一類曲線積分計(jì)算問(wèn)題．按“基本法”及常用簡(jiǎn)化手段計(jì)算即可——見(jiàn)到曲線、曲面積分，就要想到能否利用積分曲線方程、曲面方程簡(jiǎn)化被積函數(shù)，以及利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算．解：∫L(x+y)2ds=∫L(x2+y2+2xy)ds．積分曲線L如圖所示，顯然L關(guān)于x軸對(duì)稱，而被積函數(shù)中2xy是y的奇函數(shù)，故∫L2xyds=0．從而∫L(x+y)2=∫L(x2+y2)ds=2(π-2)12、設(shè)3階矩陣A與B相似，λ1=1，λ2=-2是矩陣A的兩個(gè)特征值，且矩陣B的行列式｜B｜=1，則行列式｜A*+E｜=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求抽象行列式值的問(wèn)題．由于題設(shè)有特征值、矩陣相似等條件，故考慮用特征值法求解，即只要求得A*+E的全部特征值即可．解：因A與B相似，故A與B有相同的特征值，且行列式的值相等，從而有｜A｜=λ1λ2λ3=1×(-2)×λ3=1，λ3=．進(jìn)而可得A*+E的特征值為+1：i=1，2，3，即μ1=-2×()+1=2，μ2=1×，μ3=-1×(-2)+1=-1，因此｜A*+E｜=2××(-1)=-1。13、在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)X與Y，則概率P{cos(X+Y)＜0}=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二維幾何概型求概率問(wèn)題，只要求得相應(yīng)的面積即可．解：因二維隨機(jī)變量(X，Y)服從區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}上的均勻分布，如圖所示．當(dāng)時(shí)(圖中陰影部分)，有cos(x+y)<0，故P{cos(X+Y)<0}=三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、設(shè)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，f(x)=-1．試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：要證f(x)的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值大于或等于8，只要證明在[0，1]上某點(diǎn)處f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值不小于8．由=-1及f(0)=f(1)=0可知，f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值在開(kāi)區(qū)間(0，1)內(nèi)取得，不妨設(shè)f(x0)=-1，則f’(x0)=0．將f(x)在點(diǎn)x0處用泰勒公式展開(kāi)，得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x-x知識(shí)點(diǎn)解析：本題要用泰勒公式證明.15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=，則原式知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求∞一∞型未定式極限問(wèn)題．根據(jù)題目特點(diǎn)，可作變量代換x=，再利用洛必達(dá)法則求解．16、設(shè)x∈(0，1)，證明：(1-x)ex＜標(biāo)準(zhǔn)答案：因x∈(0，1)，不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得ln(1-x)+x＜xln(1-)．令f(x)=xln(1-)-ln(1-x)-x，則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f’’(x)＞0，故f’(x)單調(diào)增加，而f’(0)=0，于是有f’(x)＞f’(0)=0，即f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)增加．又f(0)=0，因此x∈(0，1)時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即xln(1-)-ln(1-x)-x＞0，亦即ln(1-x)+x＜xln(1-)，從而有(1-x知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)小等式的讓明——見(jiàn)到函數(shù)不等式證明問(wèn)題題，就要想到利用單調(diào)性證之，其方法步驟為簡(jiǎn)單移項(xiàng)作函數(shù)，認(rèn)認(rèn)真真求導(dǎo)數(shù)；搞清增減找定點(diǎn)，比較大小得歸宿．注意，移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)前，要先將不等式恒等變形，否則繁瑣．17、在曲面S：2x2+y2+z2=1上求一點(diǎn)，使函數(shù)u=x2+y2+z2在該點(diǎn)沿方向i=j-k的方向?qū)?shù)最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(x，y，z)是曲面S上任意一點(diǎn)，則其中cosα，cosβ，cosγ為方向l的方向余弦．由題設(shè)條件可得故根據(jù)題意，下面求(y-z)在約束條件2x2+y2+z2=1下的最大值點(diǎn)設(shè)L(x，y，z，λ)=(y-z)+λ(2x2+y2+z2-1)，則由①得λ=0或x=0．②+③得λ(y+z)=0．若λ=知識(shí)點(diǎn)解析：本題綜合考查梯度、方向?qū)?shù)以及多元函數(shù)的條件極值問(wèn)題．先由題意求出方向?qū)?shù)，再用拉格朗日乘數(shù)法求相應(yīng)的條件極值即可．18、求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ρ=，得收斂半徑R=3，收斂區(qū)間為(-3，3)．當(dāng)x=-3時(shí)，原級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)x=3時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由萊布尼茨審斂法知該級(jí)數(shù)收斂，故所求收斂域?yàn)?-3，3]設(shè)S(x)=，x∈(-3，3]．當(dāng)x≠0時(shí)，其中故S(x)=[ln(3+x)-ln3]．當(dāng)x=0時(shí)，S(0)=，因此S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)問(wèn)題．這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級(jí)數(shù)，可先求其收斂半徑，定出收斂區(qū)間，再討論端點(diǎn)處的收斂性可得收斂域，然后用間接法即逐項(xiàng)求導(dǎo)、積分等分析運(yùn)算性質(zhì)求解．19、設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的區(qū)間[a，b]內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)x，有f(x)=f(x0)+f’(x)(x-x0)+(x-x0)2標(biāo)準(zhǔn)答案：令R(x)=f(x)-[f(x0)+f’(x0)(x-x0)]，g(x)=(x-x0)2，則R(x)，g(x)在以x，x0為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，故有其中η介于x與x0之間．再在以η，x0為端點(diǎn)的區(qū)間上，對(duì)函數(shù)f’(x)-f’(x0)和2(x-x0)應(yīng)用柯西中值定理知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查微分中值的證明問(wèn)題．是一階泰勒公式的證明，這要構(gòu)造輔助函數(shù)用柯西定理證之．20、設(shè)齊次線性方程組(Ⅰ)為又已知齊次線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為α1=(0，1，1，0)T，α2=(-1，2，2，1)T．試問(wèn)a，b為何值時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由齊次線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系可得(α1，α2)=以x3，x4為自由變量，則上述基礎(chǔ)解系可由以下等價(jià)方程組得到去掉x3，x4兩個(gè)自由變量的恒等式方程，可得以α1，α2為基礎(chǔ)解系的一個(gè)齊次線性方程組為將題設(shè)條件中的方程組(I)與上述①式中的方程組聯(lián)立，得參數(shù)a，b的值只要使得方程組②有非零解，并知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求兩個(gè)齊次線性方程組的非零公共解，其一般方法有聯(lián)立法和代入法．下面以聯(lián)立法解之，所以要先把方程組(Ⅱ)由其基礎(chǔ)解系“還原”出來(lái)．注：由方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系“還原”方程組時(shí)，其結(jié)果形式不唯一．請(qǐng)讀者思考，若以x2，x4或x1，x3為自由變量，方程組(Ⅱ)的形式如何?設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ=，又已知A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征值為λ=1，相應(yīng)的特征向量為α=(1，1，1)T．21、求正交矩陣Q標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可知，A～，從而矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-2，且｜A｜=λ1λ2λ3=-2．又由A*α=α，知AA*α=Aα，即｜A｜α=-2α，可見(jiàn)α3=α=(1，1，1)T是A的屬于特征值λ3=-2的一個(gè)特征向量．設(shè)λ1知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求把實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的正交相似變換矩陣，這只要求得A的特征向量即可．注意，見(jiàn)到矩陣A與一對(duì)角矩陣相似，就可知A的特征值；見(jiàn)到伴隨矩陣A*，就要想到用AA*=A*A=｜A｜E處理，這樣由A*α=α可得A的一個(gè)特征向量，再由實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，從而可求得正交矩陣Q第(Ⅱ)問(wèn)由(A*)-1=可得．22、求二次型xT(A*)-1x的表達(dá)式，并確定其正負(fù)慣性指數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因(A*)-1，，而｜A｜=-2，故只要求得矩陣A即可，這可由A的特征值、特征向量求得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D是由x±y=1與x=0所圍成的三角形區(qū)域．23、求y的概率密度f(wàn)y(y).標(biāo)準(zhǔn)答案：二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=如圖，可得知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度、條件概率密度及求概率問(wèn)題．見(jiàn)到已知聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度問(wèn)題，求關(guān)于“誰(shuí)”的邊緣概率密度就把聯(lián)合概率密度的非零區(qū)域向“誰(shuí)”軸上投影，先定出所求邊緣概率密度的非零區(qū)間，再穿線定上下限．求條件概率密度只需把聯(lián)合概率密度與相應(yīng)的邊緣概率密度作商即可．對(duì)于求概率P(X＞Y}，就想“基本法”與“化二維為一維法”，此處可用“基本法”——“找交集、定類型、重轉(zhuǎn)定”計(jì)算．由于(X，Y)服從均勻分布，故用幾何概型求之較為簡(jiǎn)捷．注：第(Ⅲ)問(wèn)求概率若用“基本法”計(jì)算，雖然要先將積分區(qū)域分塊再計(jì)算也并不復(fù)雜，請(qǐng)讀者練習(xí)．24、求條件概率密度f(wàn)Y｜X(y｜x).標(biāo)準(zhǔn)答案：因fx(x)=故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求P{X>Y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X＞Y}=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x；θ)=其中參數(shù)θ(0<θ<1)未知．X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值．26、求參數(shù)θ的矩陣計(jì)量.標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可知總體X的概率密度為于是令EX=，解得θ的矩估計(jì)量知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題，要先從題設(shè)所給的分布函數(shù)判斷出X是連續(xù)型總體，然后求導(dǎo)得其概率密度，再按矩估計(jì)法的方法步驟“求兩矩作方程，解方程得估計(jì)”求解即可．第(Ⅱ)問(wèn)只要求出數(shù)學(xué)期望，看結(jié)果是否為θ2即可．27、判斷是否為θ2的無(wú)偏估計(jì)量，為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：由方差的計(jì)算公式有因EX2=故DX=EX2-(EX)2=從而即不是θ2的無(wú)偏估計(jì)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，則f(x)有()A、兩個(gè)可去間斷點(diǎn)B、兩個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)C、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點(diǎn)由f(0+0)=f(0－0)=0，得x=0為f(x)的可去間斷點(diǎn)；由f(1－0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，應(yīng)選C2、設(shè)f(x)連續(xù)，且，則下列結(jié)論正確的是()A、f(1)是f(x)的極大值B、f(1)是f(x)的極小值C、(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x－1｜＜δ時(shí)，有，即當(dāng)x∈(1－δ，1)時(shí)，fˊ(x)＜0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時(shí)，fˊ(x)＞0根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選(B)3、函數(shù)f(x)=x3－12x+q的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、零點(diǎn)個(gè)數(shù)與q取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令fˊ(x)=3x2－12=0，得駐點(diǎn)x1=－2，x1=2，fˊˊ(x)=6x，因?yàn)閒ˊˊ(－2)=12＜0，fˊˊ(2)=12＞0，所以x1=－2為極大值點(diǎn)，x2=2為極小值點(diǎn)，極大值和極小值分別為f(－2)=6+q及f(2)=－16+q，且當(dāng)f(2)=－16+q＞0，即q＞16時(shí)，f(x)=x3－12x+q只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)f(2)=－16+q=0，即q=16時(shí)，f(x)=x3－12x+q有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)為x=2；當(dāng)f(－2)=16+q＞0，f(2)=－16+q＜0，即｜q｜＜16時(shí)，f(x)=x3－12x+q有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)f(－2)=16+q=0，即q=－16時(shí)，f(x)=x3－12x+q有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)為x=－2；當(dāng)f(－2)=16+q＜0，即q＜－16時(shí)，f(x)=x3－12x+q只有一個(gè)零點(diǎn)，故選(D)4、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，令Sn=a1+a2+…+an，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，｜A｜=a口，｜B｜=b，則等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)為四階方陣，且α1，α2，α3，α4為非零向量組，設(shè)AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為（1，0，－4，0）T，則方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1，α2，α3B、α2，α3，α4C、α1，α3，α3D、α1+α2，α2+2α4，α4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由r(A)=3得r(A*)=1，則A*X=0的基礎(chǔ)解系由三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成由α1－4α3=0得α1，α3成比例，顯然(A)、(B)、(C)不對(duì)，應(yīng)選(D)7、設(shè)X～N(1，4)，y～N(3，16)，P{Y=aX+b}=1，且ρxy=1，則()A、a=2，b=5B、a=－2，b=－5C、a=－2，b=5D、a=2，b=－5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由E(Y)=aE(X)+b得a+b=3，再由D(Y)=a2D(X)得4a2=16，因?yàn)棣裍Y=－1，所以a＜0，于是a=－2，b=5，應(yīng)選C8、設(shè)X，y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，下列結(jié)論正確的是()A、X+Y～E(2λ)B、X－Y～E(2λ)C、min{X，Y}～E(2λ)D、max{X，Y}～E(2λ)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)y=y(x)為方程yˊˊ(x－1)yˊ+x2y=ex的滿足初始條件的解，則________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由，得y(0)=0，yˊ(0)=0因?yàn)閥=y(x)滿足yˊˊ+(x－1)yˊ+x2y=ex，所以yˊˊ(0)=210、設(shè)z=z(z，y)由φ(x2－z2，ez+2y)=0確定，其中φ連續(xù)可偏導(dǎo)，則_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)y=y(x)由_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、微分方程yyˊˊ=y2yˊ十yˊ2滿足y(0)=1，yˊ(0)=2的特解為_(kāi)_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)A，B為三階矩陣，A～B，λ1=－1，λ2=1為矩陣A的兩個(gè)特征值，又｜B－1｜=，則______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麭－1｜=，所以｜B｜=3，又因?yàn)锳～B，所以A，B有相同的特征值，設(shè)A的另一個(gè)特征值為λ3，由｜A｜=｜B｜=λ1λ2λ3，得λ3=－3，因?yàn)锳－3E的特征值為－4，－2，－6，所以｜A－3E｜=－4814、設(shè)總體X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則服從的分布為_(kāi)_______標(biāo)準(zhǔn)答案：t(1)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤x，y≤1}標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)∈C[a，b]且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，若f(a)＜0，，證明：16、存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分中值定理，=f(c)(b－a)＞0，其中c∈[a，b]，顯然f(c)＞0且c∈(a，b]因?yàn)閒(a)f(c)＜0，所以由零點(diǎn)定理，存在x0∈(a，c)，使得f(x0)=0再由f(x)單調(diào)增加得，當(dāng)x∈[a，x0)時(shí)，f(f)＜0；當(dāng)x∈(x0，b]時(shí)，f(x)＞0令，顯然F(x0)＜0，F(xiàn)(b)＞0，由零點(diǎn)定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、存在η∈(a，6)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x，y)=(x－6)(y+8)，求函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x，y)處的最大的方向?qū)?shù)g(x，y)，并求g(z，y)在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤25)上的最大值與最小值標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x，y)的梯度為gradf(x，y)={y+8，x－6}，其中e為射線對(duì)應(yīng)的單位向量，θ為梯度與射線的夾角，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、計(jì)算其中={x，y，z)，為不過(guò)原點(diǎn)閉曲面∑的外法向量，∑圍成的幾何體為Ω標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、當(dāng)隕石穿過(guò)大氣層向地面高速墜落時(shí)，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實(shí)驗(yàn)證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過(guò)程中始終保持球狀，若它在進(jìn)人大氣層開(kāi)始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問(wèn)此隕石完全燃盡需要多少時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)，問(wèn)a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解，有解時(shí)求出全部解標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β2)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β2)，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12－y22－y32又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T22、求矩陣A；標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然A的特征值為λ1=2，λ2=－1，λ3=－1，｜A｜=2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1=1，μ2=－2，μ3=－2，由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，－1)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2的特征向量令ξ=(x1，x2，x3)T為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=－1，λ3=－1的特征向量，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以αTξ=0，即x1+x2－x3=0，于是λ2=－1，λ3=－1對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求正交矩陣Q，使得經(jīng)過(guò)正交變換X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為24、求常數(shù)k；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求X的邊緣密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求當(dāng)X=x(0≤z≤)下Y的條件密度函數(shù)fY｜X(y｜x)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)獨(dú)立同分布，其方差為σ2，令求：27、D(Y)，D(Z)；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閄1，X2，．．．，Xm+n相互獨(dú)立，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、ρYZ標(biāo)準(zhǔn)答案：Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，若f’(0)存在，則k為()。A、3B、4C、5D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則及變限積分求導(dǎo)法則求之。2、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用級(jí)數(shù)收斂的定義判別之。解一僅(C)入選，因的前n項(xiàng)部分和為Sn＝（ai－ai＋1）＝（a1－a2）＋（a2－a3）＋（a3－a4）＋…＋（an－an＋1）＝a1－an＋1，而＝a1，故僅(C)入選。解二對(duì)選項(xiàng)(A)、(B)、(C)均可舉反例說(shuō)明不成立，因而僅(C)入選。取收斂，下面說(shuō)明選項(xiàng)(A)、(B)、(D)都不成立，事實(shí)上發(fā)散，(A)不成立。3、若P(x，y)，Q(x，y)在單連通域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)G內(nèi)任意簡(jiǎn)單閉曲線L有，則③曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；④P(x，y)dx＋Q(x，y)dy是某個(gè)函數(shù)μ(x，y)的全微分。這四種說(shuō)法中正確的是()。A、①②③B、①③④C、②③④D、②④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用平面上的第二類曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件解因?yàn)閷?duì)任意閉曲線L，等價(jià)于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，也等價(jià)于P(x，y)dx＋Q(x，y)dy是某個(gè)函數(shù)μ(x，y)的全微分，而后者成立的充要條件是在G內(nèi)恒成立，因此①③④正確，僅(B)入選。4、下列積分中，積分值等于0的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]利用第二類曲面積分的奇偶對(duì)稱性的結(jié)論判別之：設(shè)∑關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱，則其中∑1是∑在坐標(biāo)平面xOy的上側(cè)部分。解一由高斯公式得到(Ω：x2＋y2＋z2≤R2)。因Ω關(guān)于平面xOy對(duì)稱，2z是z的奇函數(shù)，故或曲面∑關(guān)于xOy對(duì)稱，z2為z的偶函數(shù)，故，僅(D)入選。解二排除(A)、(C)，因這兩個(gè)廣義積分發(fā)散,又由格林公式得到(D：x2＋y2≤1)＝π·12＝π≠0排除(B)，僅(D)入選。5、設(shè)A是三階矩陣，α1＝[1，2，－2]T，α2＝[2，1，－1]T，α3＝[1，1，t]T是線性非齊次方程組AX＝b的解向量，其中b＝[1，3，－2]T，則()。A、t＝－1，必有r(A)＝1B、t＝－1，必有r(A)＝2C、t≠－1，必有r(A)＝1D、t≠－1，必有r(A)＝2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[解題思路]令B＝[α1，α2，α3]，則AB＝[b，b，b]，r(AB)＝r([b，b，b])＝1。注意到t≠－1時(shí)，r(B)＝3，從而r(AB)＝r(A)＝1，也可由方程組AX＝b解的結(jié)構(gòu)原理直接推出r(A)＝1。解一將已知關(guān)系式Aαi＝b(i＝1，2，3)合并成一個(gè)矩陣等式：A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3]＝[b，b，b]＝，令B＝[α1，α2，α3]＝，則AB＝[b，b，b]。當(dāng)t＝－1時(shí)，因B中第2，3行成比例，故r(B)＝2，這時(shí)由r(AB)＝1只能得到r(A)≥r(AB)＝1，(A)、(B)都不對(duì)，當(dāng)t≠－1時(shí)，因r(B)＝3，故r(AB)＝r(A)＝1，僅(C)入選。解二B＝[α1，α2，α3]＝，當(dāng)t≠－1時(shí)，r(B)＝3，從而α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)。α1－α2，α2－α3是齊次方程AX＝0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則n－r(A)≥2，即3－r(A)≥2，故r(A)≤3－2＝1，但A≠O(若A＝O，則AX＝b無(wú)解與題設(shè)矛盾)，故必有r(A)≥1，所以r(A)＝1，僅(C)成立。6、設(shè)則必有()。A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：解因?yàn)橛葾變到B使用的都是初等行變換，故用對(duì)應(yīng)的初等矩陣P1，P2分別左乘A，于是得到P1(P2A)＝P1P2A＝B，僅(C)入選。7、二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X，Y不相關(guān)，fX(x)，fY(y)分別為X，Y的邊緣密度，則在Y＝y(tǒng)的條件下，X的條件概率密度函數(shù)fX｜Y(x｜y)為()。A、fX(x)B、fY(y)C、fX(x)fY(y)D、fX(x)／fY(y)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解fX｜Y(x｜y)＝＝fX(x)，僅(A)入選。8、設(shè)X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)，且相互獨(dú)立，Z＝X－Y，則P(Z＞0)的值()。A、小于1／2B、大于1／2C、等于1／2D、不確定，與σ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解因X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)，且相互獨(dú)立，則Z＝X－Y～N(1－2，12σ2＋(－1)2σ2)＝N(－1，2σ2)。因而P(Z＜－1)＝1／2，因P(Z＞0)＜P(Z＜－1)，故P(Z＞0)＜1／2，僅(A)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)在點(diǎn)x＝a處可導(dǎo)，則＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：－2f’(a)知識(shí)點(diǎn)解析：解10、以y＝c1xex＋c2ex為通解的二階常系數(shù)齊次線性方程為＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：y"－2y’＋y＝0知識(shí)點(diǎn)解析：解由題設(shè)知，方程以r＝1為二重特征根，從而特征方程為(r－1)2＝0，即r2－2r＋1＝0，于是二階常系數(shù)齊次線性方程應(yīng)為y"－2y’＋y＝0。11、二重積分＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：解由右圖易知12、已知函數(shù)u＝3x2y－2yz＋z3，ν＝4xy－z3，點(diǎn)P(1，－1，1)，u在點(diǎn)P處沿該處gradν方向的方向?qū)?shù)為＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：故gradu｜P＝－6i＋j＋5k。同法可求得gradv｜P＝－4i＋4j－3k，其單位向量記為l0，則l0＝，故13、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n＝100，p＝0．2的二項(xiàng)分布；Y服從參數(shù)為λ＝3的泊松分布，且X與Y相互獨(dú)立，則D(2X－3Y)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：91知識(shí)點(diǎn)解析：解由題設(shè)知，X～B(100，0．2)，Y～π(3)，因此有D(X)＝npq＝100×0．2×(1－0．2)＝16，D(Y)＝λ＝3，故D(2X－3Y)＝4D(X)＋9D(Y)＝4×16＋9×3＝91。14、已知三元二次型XTAX＝x12＋ax22＋x32＋2x1x2＋2ax1x3＋2x2x3的秩為2，則其規(guī)范形為＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：y12－y32知識(shí)點(diǎn)解析：解因，且r(A)＝2，故｜A｜＝0。易求得｜A｜＝－(a＋2)(a－1)2。于是由r(A)＝2知，a＝－2。由｜λE－A｜＝λ(λ－3)(λ＋3)＝0可知A的特征值為－3，0，3。在正交變換下該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為3y12－3y32，故其規(guī)范形為y12－y32。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≤0，證明函數(shù)在(a，b)內(nèi)也有F’(x)≤0。標(biāo)準(zhǔn)答案：證由f(t)在[a，b]上連續(xù)，故∫axf(t)dt在區(qū)間[a，b]內(nèi)可導(dǎo)，于是由定積分中值定理得∫axf(t)dt＝f(ξ)(x－a)，其中ξ在[a，x]上，于是由于f’(x)≤0，故f(x)單調(diào)下降，所以f(x)≤f(ξ)，又a＜x，故F’(x)≤0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、(Ⅰ)試證明當(dāng)0＜x＜π時(shí)，(Ⅱ)求級(jí)數(shù)的和。標(biāo)準(zhǔn)答案：解(Ⅰ)令f(x)＝sinx，將其在(0，π)展成余弦級(jí)數(shù)，因bn＝0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)，試證至少有一點(diǎn)c∈(a，b)，使f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：證由上述證題思路易知，應(yīng)設(shè)輔助函數(shù)F(x)＝∫axf(t)dt∫xbg(t)dt。由f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，可知F’(x)存在，且F’(x)＝f(x)∫xbg(t)dt－g(x)∫axf(t)dt，x∈[a，b]，①又F(a)＝F(b)＝0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)c∈(a，b)，使F’(c)＝0。由式①即得f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)f(r)(r＞0)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并設(shè)滿足求u的一般表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)。20、將A表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；標(biāo)準(zhǔn)答案：用初等矩陣表示上述變換關(guān)系，得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、將A表示成一個(gè)主對(duì)角元為1的下三角矩陣R和一個(gè)上三角矩陣S的乘積。標(biāo)準(zhǔn)答案：其中為主對(duì)角元為1的下三角矩陣，為上三角矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知四元齊次線性方程組(i)的解全是四元方程(ii)x1＋x2＋x3＝0的解。22、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：因方程組(i)的解全是方程(ii)的解，故方程組(i)與方程組(iii)同解，且其系數(shù)矩陣有相同的秩，因而a≠0，這是因?yàn)椋喝鏰＝0，則r(A)＝1，r(B)＝2。當(dāng)a≠0時(shí)，易求得r(A)＝3，這是因?yàn)锳中有子行列式對(duì)B進(jìn)行初等行變換，得到故當(dāng)2a－1＝0即a＝1／2時(shí)，r(B)＝3，此時(shí)方程組(i)與方程組(iii)同解。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求齊次方程組(i)的通解；標(biāo)準(zhǔn)答案：由及基礎(chǔ)解系的簡(jiǎn)便求法，即得方程組(i)的基礎(chǔ)解系為α＝[－1／2，－1／2，1，1]T，其通解為kα，k為任意實(shí)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求齊次方程(ii)的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：注意到方程(ii)為四元方程，即x1＋x2＋x3＋0x4＝0。由即可寫(xiě)出其基礎(chǔ)解系為β1＝[－1，1，0，0]T，β2＝[－1，0，1，0]T，β3＝[0，0，0，1]T，其通解為k1β1＋k2β2＋k3β3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)某種器件使用壽命(單位：小時(shí))服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小時(shí)，在使用中當(dāng)一個(gè)器件損壞后立即更換另一個(gè)新的器件，如此連續(xù)下去，已知每個(gè)器件進(jìn)價(jià)為a元，試求在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件做多少預(yù)算，才可以有95％的把握保證一年夠用(假定一年按2000個(gè)工作小時(shí)計(jì)算)。標(biāo)準(zhǔn)答案：解設(shè)年計(jì)劃購(gòu)進(jìn)n個(gè)此種器件，則預(yù)算應(yīng)為na元，每個(gè)器件使用壽命為Xi(1≤i≤n)，則Xi相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，依題意知λ＝1／20，E(Xi)＝1／λ，D(Xi)＝1／λ2，根據(jù)獨(dú)立分布的中心極限定理，得到解得n≥118，故年計(jì)劃預(yù)算最少為118a元。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自X的一個(gè)樣本，試求參數(shù)p的極大似然估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)答案：解設(shè)x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，Xn的一個(gè)樣本值，X的分布律為P(X＝x)＝px(1－p)1－x(x＝0，1)，故似然函數(shù)為(可以看成在對(duì)應(yīng)樣本觀測(cè)值處的聯(lián)合分布律)，故解得p的極大似然估計(jì)量為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)與g(x)在x=0的某去心鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)都與x為同階無(wú)窮小，則當(dāng)x→0時(shí)()A、f(x)一g(x)必是x的同階無(wú)窮小B、f(x)一g(x)必是x的高階無(wú)窮小C、f(g(x))必是x的同階無(wú)窮小D、f(g(x))必是x的高階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f’(x)＞0，并設(shè)F(x)=∫0x2uf(u)du—x∫0xf(u)du，則()A、F(0)是F(x)的極大值B、F(0)是F(x)的極小值C、曲線y=F(x)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凸的，右側(cè)是凹的D、曲線y=F(x)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凹的，右側(cè)是凸的標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(u)du=xf(x)一∫0xf(u)du，F(xiàn)"(x)=xf’(x)，F(xiàn)’(0)=0，F(xiàn)"(0)=0；當(dāng)X＜0時(shí)F"(x)＜0，當(dāng)X＞0時(shí)F"(x)＞0，故曲線y=F(x)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凸的，右側(cè)是凹的．3、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤R2，R＞0)，常數(shù)λ≠0，則二重積分的值()A、為零B、為正C、為負(fù)D、當(dāng)λ＞0時(shí)為正，當(dāng)λ＜0時(shí)為負(fù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，及輪換對(duì)稱性知：又因?yàn)楸环e函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，所以(eλx一e一λx)dσ=0，從而知I=0，故答案為(A)．4、設(shè)在x=2處條件收斂，則在x=一1處()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與{an}有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：在x=2處條件收斂，故它的收斂半徑為2，而可由前一級(jí)數(shù)平移求積分得到，收斂半徑不變，仍為2．又因?yàn)樵趚=一2處的斂散性未知，所以后一級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)x=一1處，其斂散性要由具體的{an}決定．例如，若在x=2處條件收斂，而在x=一1處發(fā)散．又如，若在x=2處條件收斂，而在x=一1處絕對(duì)收斂．5、已知?jiǎng)tA與B()A、等價(jià)、不相似、合同B、不等價(jià)、不相似、不合同C、等價(jià)、相似、不合同D、等價(jià)、相似、合同標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于r(A)=3，r(B)=3，所以A與B等價(jià)．A與B均為實(shí)對(duì)稱矩陣，若特征值相同，則A與B相似，否則A與B不相似，由于所以A的特征值為λA=1，3，1，B的特征值為λB=2，因此A與B不相似．由于A與B的正負(fù)慣性指數(shù)是相同的，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1，所以A與B合同．綜合得，選擇(A)．6、設(shè)α1，α2，α3是三維向量空間R3中的一組基，則由基α2，α1一α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2一α1的過(guò)渡矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)(α1+α2，α3，α2一α1)=(α2，α1一α2，α1+α3)C，則7、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且都在區(qū)間(一1，1)上服從均勻分布，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X服從二項(xiàng)分布，y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則概率P{X+Y≥1)等于()A、1+e一1B、1一e一1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若∫0xf(t)dt=xe一x，則∫1+∞=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x，y)滿足f"yy(x，y)=2，且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，則f(x，y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x，y)=y2+xy+1．知識(shí)點(diǎn)解析：由f"yy(z，y)=2，知f’y(x，y)=2y+φ(x)．因?yàn)閒’y(x，0)=φ(x)=x，故f’y(x，y)=2y+x，所以f(x，y)=y2+xy+ψ(x)．又f(x，0)=1，從而ψ(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．11、設(shè)y1=ex一e一xsin2x，y2=e一x+e一Xcos2x是某二階常系數(shù)非齊次線性方程的兩個(gè)解，則該方程是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"+2y’+5y=8ex．知識(shí)點(diǎn)解析：由解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)知y2一y1=e一x(cos2x+sin2x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，所以r=一1±2i是對(duì)應(yīng)的特征方程的根，故特征方程為(r+1)2+4=0，即r2+2r+5=0，于是所求方程為y"+2y’+5y=f(x)，又因?yàn)閥1為非齊次方程的特解，代入方程得f(x)=8ex，故所求方程為y"+2y’+5y’=8ex．12、設(shè)L是正方形|x|+|y|=1的正向邊界曲線，則積分I=(x2一y)dx+(x+y2)dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由Green公式知其中區(qū)域D為|x|+|y|≤1．13、設(shè)A是n階矩陣，|A|=2，若矩陣A+E不可逆，則A*必有特征值________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查特征值的求法與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．由矩陣A+E不可逆，知|A+E|=0，于是λ=一1是矩陣A的特征值．又|A|=2，所以A*必有特征值一2．14、設(shè)X～N(0，1)，Y=Xn(n為正整數(shù))，則ρXY=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)X～N(0，1)時(shí)，利用分部積分法或者r函數(shù)公式得到下面的結(jié)論三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x，y)=3x+4y一ax2一2ay2一2bxy，試問(wèn)參數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x，y)有唯一的極大值?(x，y)有唯一的極小值?標(biāo)準(zhǔn)答案：由極值的必要條件，得方程組當(dāng)8a2一4b2≠0時(shí)，f(x，y)有唯一駐點(diǎn)：當(dāng)AC—B2=8a2一4b2＞0，即2a2一b2＞0時(shí)，f(x，y)有極值．當(dāng)A=一2a＞0，即a＜O時(shí)，f(x，y)有極小值；當(dāng)A=一2a(0，即a＞O時(shí)，f(x，y)有極大值．綜上所述，當(dāng)2a2一b2＞0，且a知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)曲線y=y(x)由參數(shù)方程確定，(Ⅰ)討論該曲線的凹凸性；(Ⅱ)求該曲線在t=0處的曲率圓的直角坐標(biāo)方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)一1＜t＜1時(shí)，y"＞0，曲線為凹；當(dāng)t＞1時(shí)，y"＜0，曲線為凸．(Ⅱ)在t=0處，y’=0，于是曲率曲率半徑R=4．曲率中心坐標(biāo)為(0，4)，曲率圓的方程為x2+(y一4)2=16．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)y=f(x)在[0，+∞)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f’(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞)．又設(shè)x=φ(y)是y=f(x)的反函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0．證明：∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=φ(b)時(shí)上式取等號(hào)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)第二個(gè)積分做積分變量變換，并由分部積分，有∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy=∫0af(x)dx+∫0φ(b)φ(f(x))df(x)=∫0af(x)dx+∫0φ(b)xdf(x)=∫0af知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、將函數(shù)f(x)=2+|x|(一1≤x≤1)展開(kāi)為以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)=2+|x|為偶函數(shù)，則bn=0，n=1，2，…a0=2∫01(2+x)dx=5，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、計(jì)算曲面積分其中∑為下半球面z=的上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)三維向量已知向量組α1，α2，α3與β1，β2，β3是等價(jià)的．(Ⅰ)求a，b，c．(Ⅱ)求向量組α1，α2，α3的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將β1用α1，α2，α3線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于向量組α1，α2，α3與β1，β2，β3等價(jià)，可知向量β1，β2，β3都能由向量組α1，α2，α3線性表示，也即線性方程組(α1，α2，α3)x=βi知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)矩陣有一個(gè)特征值是3．(Ⅰ)求y的值；(Ⅱ)求正交矩陣P，使(AP)TAP為對(duì)角矩陣；(Ⅲ)判斷矩陣A2是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)3是A的特征值，故|3E一A|=8(3一y一1)=0，解出y=2．=(λ一1)3(λ一9)=0．A2的特征值為λ1=λ2=λ3=λ4=9．當(dāng)λ=1時(shí)，(E—A2)x=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1，0，0，0)T，ξ2=(0，1，0，0)T，ξ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布記U=max{X，Y)，V=min{X，Y)．(Ⅰ)求Z=|X一Y|的概率密度f(wàn)Z(z)；(Ⅱ)求E(U)，E(V)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用二維正態(tài)分布的性質(zhì)知，X—Y服從一維正態(tài)分布．E(X—Y)=E(X)一E(Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2Cov(X，Y)設(shè)Z=|X—Y|的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P{Z≤z)=P{|X一Y|≤z}當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X～N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中μ和σ2是未知參數(shù)．(Ⅰ)求參數(shù)μ的最大似然估計(jì)量參數(shù)σ2的最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)討論是否具有無(wú)偏性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)X的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)y=y(x)是由方程y2+xy+x2－x=0確定的滿足y(1)=－1的連續(xù)函數(shù)，則=_______．A、－2B、3C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由隱函數(shù)存在定理知，由方程y2十xy+x2－x=0確定的滿足y(1)=－1的連續(xù)函數(shù)在x=1鄰域必有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，將方程對(duì)x求導(dǎo)得2yy’+y+xy’+2x－1=0，解出y’(x)=．于是y’(1)=0選(C)．2、定積分的值等于A、πB、π／2C、π／3D、π／4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)選(D)．3、下列等式或不等式中正確的共有A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：要逐一分析．對(duì)于①：由可知①正確．對(duì)于②：因?yàn)閍rctan在點(diǎn)x=0處無(wú)定義，不能在[－1，1]上用牛頓一萊布尼茲公式，因此②不正確．事實(shí)上故④不正確．綜上分析，應(yīng)選(B)．4、設(shè)z=z(x，y)由φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0所確定，其中φ對(duì)所有變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，a，b，c為非零常數(shù)，且，則=_______．A、2cB、cC、3cD、4c標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)得由①×a+②×b，可得5、設(shè)A是3階矩陣，其特征值為1，－1，－2，則下列矩陣中屬于可逆矩陣的是A、A+EB、A－EC、A+2ED、2A+E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜=∏λi，故A可逆A的特征值不為0．由A的特征值為1，－1，－2，可知2A+E的特征值為3，－1，－3．所以2A+E可逆．故選(D)．6、n維向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs和向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βt等價(jià)的充分必要條件是A、秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t．B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．C、向量組(Ⅰ)的極大無(wú)關(guān)組與向量組(Ⅱ)的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)．D、向量組(Ⅰ)線性無(wú)關(guān)，向量組(Ⅱ)線性無(wú)關(guān)且s=t．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：向量組等價(jià)的必要條件是秩相等，等價(jià)與向量的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．例如：向量組(1，0，0)，(2，0，0)與向量組(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它們不等價(jià)；向量組(1，0，0)，(2，0，0)與向量組(3，0，0)等價(jià)，但向量個(gè)數(shù)不同，故(A)不正確．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n是向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià)的充分條件，不必要．例如，向量組(1，0，0)，(0，1，0)與向量組(2，0，0)，(0，2，0)等價(jià)，但秩不為n．故(B)不正確．向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅰ)的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，向量組(Ⅱ)與向量組(Ⅱ)的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)．如果向量組(Ⅰ)的極大無(wú)關(guān)組與向量組(Ⅱ)的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，由等價(jià)的傳遞性自然有向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià)，反之亦對(duì)．故(C)正確．應(yīng)選(C)．注意，等價(jià)與向量組的相關(guān)、無(wú)關(guān)沒(méi)有必然的聯(lián)系，故(D)不正確．7、已知隨機(jī)變量，且X1與X2獨(dú)立．記A={X1=1}，B={X2=1}，C1={X1X2=1}，C2={X1X2=－1}，則A、A，B，C1相互獨(dú)立，A，B，C2相互獨(dú)立B、A，B，C1相互獨(dú)立，A，B，C2兩兩獨(dú)立C、A，B，C1兩兩獨(dú)立，A，B，C2相互獨(dú)立D、A，B，C1兩兩獨(dú)立，A，B，C2兩兩獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件計(jì)算得P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0．5，P(A)P(B)P(C1)=0．125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0．25，P(ABC1)=0．25，P(ABC2)=0，由此驗(yàn)證知(D)正確．應(yīng)選(D)．8、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總N(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值和方差分別為，S2，則服從自由度為n的χ2分布的隨機(jī)變量是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因X～N(μ，σ2)，所以～χ2(n－1)，又因與S2獨(dú)立，根據(jù)χ2分布的可加性，只需4個(gè)選項(xiàng)中的第1個(gè)加項(xiàng)服從χ2(1)分布即可．依題意，有應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)在x=0連續(xù)且滿足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，則F’(0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4e知識(shí)點(diǎn)解析：由g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)及g(x)=1+2x+0(x)(x→0)g(0)==1由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及變限積分求導(dǎo)法10、微分方程2x3Y’=y(2x2－Y2)的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：=Cx，其中C≠0為常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：這是齊次方程．原方程變形為分離變量得積分得=ln｜x｜+C1，即=ln｜x+C1．因此，通解為=Cx，其中C≠0為常數(shù)11、函數(shù)u=xyz2在條件x2+y2+z2=4(x>0，y>0，z>O)下的最大值是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：用拉格朗日乘子法求解．令F(x，y，z)=xyz2+λ(x2+y2+z2－4)，解方程組=yz2+2λx=(xyz2+2λx2)=0，①=xz2+2λy=(xyz2+2λy2)=0，②=2xyz+2λz=(2xyz2+2λz2)=0，③=x2+y2+z2－4=0，④由①，②，③得y=x，z=，代入④得x=1，y=1，z=因存在最大值，又駐點(diǎn)唯一，所以最大值為u=xyz2=2．填2．12、設(shè)函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)為其中an=，則S(－9)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2(1+e)知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)應(yīng)為偶函數(shù)，周期T=4(l=2)，且(*)將題設(shè)中的an表達(dá)式改寫(xiě)，即于是S(－9)=S(－9+8)=S(－1)=S(1)=[f(1－0)+f(1+0)]=1／2(1+e)13、設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立同分N(μ，σ2)，其聯(lián)合密度函數(shù)f(x，y)在(2，2)處有駐點(diǎn)，且f(0，0)=，則(X，Y)服從的分布是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：N(2，2；2，2；0)知識(shí)點(diǎn)解析：由于X，Y獨(dú)立同分布，故f(x，y)=fX(x)．fY(y)=而f(x，y)在(2，2)處有駐點(diǎn)，可知μ=2．又即=2e2．得σ2=2所以(X，Y)服從正態(tài)分布N(2，2；2，2；0)三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、已知曲線在直角坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出：x=t+e－t，y=2t+e－2t(t≥0)．(Ⅰ)證明該參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)，x∈[1，+∞)．(Ⅱ)證明y=y(x)在[1，+∞)單調(diào)上升且是凸的．(Ⅲ)求y=y(x)的漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閤’t=1－e－t>0(t>0)，x’t(0)=0x=t+e－t在[0，+∞)單調(diào)上升，值域?yàn)閇1，+∞)．x=t+e－t在[0，+∞)存在反函數(shù)，記為t=t(x)，它在[1，+∞)連續(xù)(單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù))．再由連續(xù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性y=2t(x)+e－2t(x)y(x)在[1，+∞)連續(xù)．(Ⅱ)由參數(shù)式求導(dǎo)法于是y=y(x)在[1，+∞)單調(diào)上升．又因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的．(Ⅲ)x→+∞t→+∞又因y=y(x)在[1，+∞)連續(xù)，所以y=y(x)只有漸近線y=2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[0，2]內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(1)=0，證明：(Ⅰ)(Ⅱ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這里用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示定積分值，一個(gè)自然的想法是用分部積分法．按要證的結(jié)論(也為了利用條件f(1)=0)，先將[0，2]上的積分表成[0，1]上的積分與[1，2]上的積分之和．(Ⅱ)用題(Ⅰ)的結(jié)論，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x，y)，φ(x，y)均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)M0(x0，y0)是函數(shù)z=f(x，y)在條件φ(x，y)=0下的極值點(diǎn)，又(x0，y0)≠0，求證：(Ⅰ)(Ⅱ)曲面z=f(x，y)與柱面φ(x，y)=0的交線Γ在點(diǎn)P0(x0，y0，z0)(z0=x0，y0))處的切線與xy平面平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)條件方程φ(x，y)=0在點(diǎn)M0鄰域確定隱函數(shù)y=y(x)，且滿足y(x0)=y0．M0點(diǎn)是z=f(x，y)在條件φ(x，y)=0下的極值點(diǎn)z=f[x，y(x)]以x=x0為極值點(diǎn)．它的必要條件是由φ[x，y(x)]=0及隱函數(shù)求導(dǎo)法得φ’x+φ’y．y’(x)=0，即y’(x)=代入(*)得(Ⅱ)空間曲線Γ：在P0(x0，y0，z0)處的切線的方向向量(切向量)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x，y)在全平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面與路徑無(wú)關(guān)，且求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面與路徑無(wú)關(guān)積分得f(x，y)=siny+C(x)．(Ⅱ)求f(x，y)轉(zhuǎn)化為求C(x)．取特殊路徑如圖所示，由于因此f(x，y)=siny+2x－sinx2－2x2cosx2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤1上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且又Cr是以原點(diǎn)為心，半徑為r的圓周，取逆時(shí)針?lè)较?，求?biāo)準(zhǔn)答案：記Cr圍成的圓域?yàn)镈r，從線積分的形式看，可在Dr上用格林公式，將此線積分化為二重積分，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知A是2×4矩陣，齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，－1，3)T，又知齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，－3，1，a)T，(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)如果齊次線性方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，則矩陣AT的列向量(即矩陣A的行向量)是齊次線性方程組CTx=0的解．對(duì)CT作初等行變換，有得到CTx=0的基礎(chǔ)解系為α1=(3，－1，1，0)T，α2=(－5，1，0，1)T．所以矩陣A=(Ⅱ)設(shè)齊次線性方程組Ax=0與Bx=0的非零公共解為γ，則γ既可由η1，η2線性表出，也可由β1，β2線性表出，故可設(shè)γ=x1η1+x2η2=－x3β1－x4β2，于是x1η1+x2η2+x3β1+xβ2=0．對(duì)(η1，η2，β1，β2)作初等行變換，有(η1，η2，β1，β2)=γ≠0x1，x2，x3，x4不全為0[*秩r(η1，η2，β1，β2)<4a=0．當(dāng)a=0時(shí)，解出x4=t，x3=－t，x2=－t，x1=2t．因此Ax=0與Bx=0的公共解為γ=2tη1－tη2=t(1，4，1，1)T，其中t為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知A是3階矩陣，α1，α2，α3是3維線性無(wú)關(guān)列向量，且Aα1=3α1+3α2－2α3，Aα2=－α2，Aα3=8α1+6α2－5α3．(Ⅰ)寫(xiě)出與A相似的矩陣B；(Ⅱ)求A的特征值和特征向量；(Ⅲ)求秩r(A+E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于A(α1，α2，α3)=(3α1+3α2－2α3，－α2，8α1+6α2－5α3)=(α1，α2，α3)令P=(α1，α2，α3)，因α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故P可逆．，則有P－1AP=B，即A與B相似．(Ⅱ)可知矩陣B的特征值為－1，－1，－1，故矩陣A的特征值為－1，－1，－1．對(duì)于矩陣B，由－E－B=，得特征向量(0，1，0)T，(－2，0，1)T，那么由Bα=λα即(P－1AP)α=λα，得A(Pα)=A(Pα)．所以=(α1，α2，α3)=α2，=(α1，α2，α3)=－2α1+α3是A的特征向量，于是A屬于特征值－1的所有特征向量是k1α2+k2(－2α1+α3)，其中k1，k2不全為0．(Ⅲ)由A～B有A+E～B+E，故r(A+E)=r(B+E)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知(X，Y)為一個(gè)二維隨機(jī)變量，X1=X+2Y，X2=X－2Y．(X1，X2)的概率密度為f(x1，x2)=(Ⅰ)分別求出X和Y的密度函數(shù)；(Ⅱ)求X和Y的相關(guān)系數(shù)，并由此寫(xiě)出(X，Y)的聯(lián)合密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由(X1，X2)的聯(lián)合密度可知X1與X2相互獨(dú)立，且X1～N(4，3)，X2～N(2，1)由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，X1，X2的線性組合仍服從正態(tài)分布，而由X1=X+2Y，X2=X－2Y根據(jù)期望和方差的性質(zhì)有(Ⅱ)由X1=X+2Y可知，DX1=DX+4DY+4cov(X，Y)由二維正態(tài)分布密度函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量X在[0，2]上服從均勻分布，Y服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布，且X，Y相互獨(dú)立．(Ⅰ)求關(guān)于a的方程a2+Xa+Y=0有實(shí)根的概率(答案可用符號(hào)表示，不必計(jì)算出具體值)．(Ⅱ)求P{X+2Y≤3}．標(biāo)準(zhǔn)答案：且X，Y相互獨(dú)立，故方程a2+Xa+Y=0有實(shí)根，則需要X2－4Y≥0，即Y≤故方程有實(shí)根的概率為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則f(x)在x=0處A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f’(0)≠0D、可導(dǎo)且f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性問(wèn)題——討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性、可導(dǎo)性問(wèn)題，必須用相應(yīng)的定義求解．解：顯然f(0)=0．因故f(x)在x=0處連續(xù)．又可見(jiàn)f(x)在x=0處不可導(dǎo)．2、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則在x的變化區(qū)間(0，1)內(nèi)A、函數(shù)y(x)單調(diào)減小，曲線y=y(x)是凹的B、函數(shù)y(x)單調(diào)減小，曲線y=y(x)是凸的C、函數(shù)y(x)單調(diào)增加，曲線y=y(x)是凹的D、函數(shù)y(x)單調(diào)增加，曲線y=y(x)是凸的標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查由參數(shù)方程確定的函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性問(wèn)題，只要求出，由它們?cè)?0，1)內(nèi)的符號(hào)即可判定．解：當(dāng)z∈(0，1)時(shí)，t∈(0，)，則故在區(qū)間(0，1)內(nèi)，函數(shù)y(x)單調(diào)減小，曲線y=y(x)是凹的．3、累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr等于A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查將二重積分的極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的累次積分問(wèn)題，按二重積分交換次序的方法步驟“找邊界、畫(huà)草圖、換次序”求解即可．解：由題設(shè)所給極坐標(biāo)累次積分可畫(huà)出積分區(qū)域D如圖所示，其邊界曲線分別為(x+1)2+y2=1，y=-x，于是I=4、設(shè)數(shù)列{un}，{vn}滿足m＜＜M，其中m，M是大于零的常數(shù)，vn≠0(n=1，2…)．考慮以下命題：①若級(jí)數(shù)un發(fā)散，則vn必發(fā)散；②若級(jí)數(shù)vn收斂，則un必收斂；③級(jí)數(shù)un與vn同時(shí)收斂或發(fā)散；④當(dāng)級(jí)數(shù)vn=1時(shí)，級(jí)數(shù)un必收斂，且其和必介于m與M之間，其中正確的個(gè)數(shù)是A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查抽象型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，可由題設(shè)條件直接分析推導(dǎo)，也可舉反例排除，此處用前者．解：由題設(shè)條件m＜＜M，m>0，可知un與vn同號(hào)，不妨設(shè)un＞0，vn＞0，于是有mun＜un，un＜Mvn根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)必發(fā)散，從而級(jí)數(shù)發(fā)散；若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必收斂，從而級(jí)數(shù)也收斂．同樣，若級(jí)數(shù)收斂，則收斂，從而收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)散，則發(fā)散，從而級(jí)數(shù)發(fā)散，可見(jiàn)①，②，③正確．當(dāng)級(jí)數(shù)=1時(shí)，由條件m＜＜M得mvn＜un＜Mvn(不妨設(shè)un，vn＞0)，進(jìn)而得由于級(jí)數(shù)收斂時(shí)，必收斂，故④也正確．5、設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，且m>n，若AB=E，其中E是n階單位矩陣，則必有A、矩陣A的列向量組線性相關(guān)，矩陣B的行向量組線性相關(guān)．B、矩陣A的列向量組線性相關(guān)，矩陣B的列向量組線性相關(guān)．C、矩陣A的行向量組線性