考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共272題）

考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共9套）（共272題）考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列結(jié)論中正確的是A、若數(shù)列{un}單調(diào)有界，則級(jí)數(shù)收斂．B、若級(jí)數(shù)C、若級(jí)數(shù)收斂，則數(shù)列{un}單調(diào)有界．D、若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)部分和數(shù)列{Sn}單調(diào)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂的概念知級(jí)數(shù)收斂就是其部分和數(shù)列{Sn}收斂．?dāng)?shù)列{un}單調(diào)有界只說(shuō)明存在；由{Sn}單調(diào)有界必存在極限即可判定級(jí)數(shù)收斂，故選(B)．而由級(jí)數(shù)收斂，雖然可以確定數(shù)列{Sn}和{un}收斂，但{Sn}和{un}未必是單調(diào)的.2、現(xiàn)有命題其中真命題的序號(hào)是A、①與②．B、②與③．C、③與④．D、①與④．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=(-1)n-1(n=1，2，3，…)，于是發(fā)散．可見(jiàn)命題①不正確．或把去掉括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)．由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5：收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)之后所得級(jí)數(shù)仍收斂，且收斂于原級(jí)數(shù)的和；但若加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散；而當(dāng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂時(shí)，則原級(jí)數(shù)的斂散性不能確定，即原級(jí)數(shù)未必收斂．故命題①不是真命題．設(shè)的部分和Tn=Sn+1000-S1000，(n=1，2，…)，從而收斂．設(shè)，由極限的保號(hào)性質(zhì)可知，存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)成立，這表明當(dāng)n＞N時(shí)un同號(hào)且后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值大于1．無(wú)妨設(shè)uN+1＞0，于是有0＜uN+1＜uN+2＜…＜un＜…(n＞N)，從而有負(fù)項(xiàng)，可類(lèi)似證明同樣結(jié)論成立．可見(jiàn)命題②與③都是真命題．設(shè)un=1，vn=-1(n=1，2，3…)，于是都發(fā)散．可見(jiàn)命題④不是真命題．故應(yīng)選(B)．3、若級(jí)數(shù)當(dāng)x＞0時(shí)發(fā)散，而當(dāng)x=0時(shí)收斂，則常數(shù)a=A、1．B、-1．C、2．D、-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題是一個(gè)具體的冪級(jí)數(shù)，可直接求出該級(jí)數(shù)的收斂域，再根據(jù)題設(shè)條件確定a的取值．由知收斂半徑為1，從而收斂區(qū)間為｜x-a｜＜1，即a-1＜x＜a+1．又當(dāng)x-a=1即x=a+1時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，收斂；?dāng)x-a=-1即x=a-1時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，發(fā)散．因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閍-1＜x≤a+1．于是，由題設(shè)x=0時(shí)級(jí)數(shù)收斂，x＞0時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散可知，x=0是收斂區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，且位于收斂域內(nèi)．因此只有a+1=0，從而a=-1．故選(B).4、設(shè)常數(shù)λ＞0且級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、收斂性與A有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用不等式2｜ab｜≤a2+b2可得均收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即(C)正確．故選(C)．5、設(shè)un=，則級(jí)數(shù)A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，所以是收斂的．而發(fā)散．這就說(shuō)明(C)正確．6、設(shè)a＞0為常數(shù)，則級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用分解法．分解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)條件收斂．選(B)．7、設(shè)常數(shù)a＞2，則級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于設(shè)常數(shù)p滿(mǎn)足1-p＜＜α-1，則有由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即(C)正確．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、已知級(jí)數(shù)收斂，并求此級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由級(jí)數(shù)收斂則它的任何加括號(hào)級(jí)數(shù)也收斂的性質(zhì)及知，級(jí)數(shù)收斂，其和數(shù)為2，且an→0．又由于，從而設(shè)的部分和為Sn，則Sn=a1+an+…+a2n-1+a2n=(a1+an)+…+(a2n-1+a2n)是，注意到S2n+1=S2n+a2n+1，因此收斂且其和為8．知識(shí)點(diǎn)解析：注意到的一個(gè)加括號(hào)級(jí)數(shù)，由題設(shè)知級(jí)數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，從而可以由級(jí)數(shù)的性質(zhì)通過(guò)運(yùn)算來(lái)判定收斂并求出其和．9、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)a＞1時(shí)，1+an＞an，因此當(dāng)0＜a≤1時(shí)，1+an≤2，因此，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知發(fā)散．(Ⅱ)注意到xlnn=elnnlnx=nlnx，這樣原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為p一級(jí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、判定下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比值判別法．因，故原級(jí)數(shù)收斂．(Ⅱ)利用比較判別法的一般形式．由于發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．(Ⅲ)利用比較判別法的極限形式．由于，而級(jí)數(shù)也發(fā)散．(Ⅳ)利用比較判別法的一般形式．由不等式ln(1+x)≤x(x＞0)可得(Ⅴ)利用比較判別法的極限形式．取，那么，由(Ⅵ)注意到當(dāng)n→∞時(shí)，由洛必達(dá)法則可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于收斂，所以此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．(Ⅱ)由于當(dāng)n充分大時(shí)有，所以此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且此時(shí)還有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因(Ⅱ)由于的收斂半徑R=+∞，即收斂域D為(-∞，+∞)．(Ⅲ)該冪級(jí)數(shù)缺偶次方項(xiàng)，即a2n=0，故不能用比值法來(lái)求其收斂半徑．此時(shí)，可將x看成數(shù)，把原冪級(jí)數(shù)當(dāng)作一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)處理．由于故當(dāng)4｜x｜2＜1即｜x｜＜時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)4｜x｜2＞1即，｜x｜＞時(shí)通項(xiàng)不趨于0，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑R=，發(fā)散．故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求及arctanx的麥克勞林級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用公式，并以x2代替其中的x，則有由于arctanx在[-1，1]上連續(xù)，冪級(jí)數(shù)在[-1，1]上收斂，故當(dāng)x=±1時(shí)上述展開(kāi)式也成立．即arctanx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令S1(x)=，則易知S1(x)的收斂域?yàn)?-1，1)，且S(x)=xS1(x)．為求其和函數(shù)S(x)首先求S1(x)，在其收斂區(qū)間(-1，1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)積分得(Ⅱ)容易求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1)．為求其和函數(shù)首先在收斂區(qū)間(-1，1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，得又因?yàn)镾(0)=0，因此S(x)=S(x)-S(0)==-ln(1-x)(-1＜x＜1)．注意和函數(shù)S(x)與函數(shù)-ln(1-x)都在[-1，1)上連續(xù)，它們又在(-1，1)內(nèi)恒等，于是由連續(xù)性可知S(x)=-ln(1-x)也在x=-1處成立，即S(x)=-ln(1-x)(-1≤x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比值判別法．(Ⅰ)由于，所以，當(dāng)p＜e時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p＞e時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時(shí)，比值判別法失效．注意到數(shù)列是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時(shí)，，即{un}單調(diào)遞增不是無(wú)窮小量，所以該級(jí)數(shù)也是發(fā)散的．從而，級(jí)數(shù)當(dāng)p＜e時(shí)收斂，p≥e時(shí)發(fā)散．(Ⅱ)，因此，當(dāng)β＜1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)β＞1時(shí)發(fā)散．若β=1，則原級(jí)數(shù)為，因此，當(dāng)α＞1時(shí)收斂，α≤1時(shí)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比較判別法的極限形式，由于級(jí)數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時(shí)所以原級(jí)數(shù)也發(fā)散．(Ⅱ)仍利用比較判別法的極限形式．先改寫(xiě)用泰勒公式確定的階．由于(Ⅲ)注意到也收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：(Ⅰ)，其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)直接利用定義來(lái)判別其收斂性．由可知=4e-1，所以原級(jí)數(shù)收斂，且其和為4e-1．(Ⅱ)首先因?yàn)閧xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以0≤1-現(xiàn)考察原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件知原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、考察級(jí)數(shù)，p為常數(shù)．(Ⅰ)證明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)證明：級(jí)數(shù)當(dāng)p＞2時(shí)收斂，當(dāng)p≤2時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將(Ⅱ)容易驗(yàn)證比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來(lái)討論它的斂散性．題(Ⅰ)已給出了{(lán)an}上下界的估計(jì)，由當(dāng)p＞2時(shí)收斂，當(dāng)p≤2時(shí)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)p≤0時(shí)，有≥(ln3)-p≥1(n≥3)成立，即級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不是無(wú)窮小量，故級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＞0時(shí)，令發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散．綜合即知：無(wú)論常數(shù)p取何值，題設(shè)的級(jí)數(shù)總是發(fā)散的．(Ⅱ)因(lnn)lnn=elnn.ln(lnn)=nln(lnn)＞n2收斂，故級(jí)數(shù)收斂．(Ⅲ)當(dāng)p＞1時(shí)，由于n≥3時(shí)有收斂，故級(jí)數(shù)收斂．當(dāng)p＜1時(shí)，因發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、討論級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，x(1-x)sin2nx≥0，從而un≥0．故為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．又sin2nx≤x2n(x∈[0，1])，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．原級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，易知的單調(diào)性，令f(x)=可知當(dāng)x充分大時(shí)g(x)單調(diào)增加，從而f(x)單調(diào)增加．故當(dāng)n充分大時(shí)單調(diào)減少．這說(shuō)明級(jí)數(shù)滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，所以該級(jí)數(shù)收斂，并且是條件收斂的．(Ⅱ)由于發(fā)散，這說(shuō)明原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)滿(mǎn)足知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)．對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)首先要討論它是否絕對(duì)收斂，為此采取比較判別法的極限形式，由于un滿(mǎn)足可見(jiàn)級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂．又因級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的絕對(duì)值不是單調(diào)減少的，從而不能用萊布尼茨判別法來(lái)判別這個(gè)級(jí)數(shù)的條件收斂性，必須用其他方法來(lái)討論它是否條件收斂．以下介紹兩種方法．23、判斷如下命題是否正確：設(shè)無(wú)窮小un～vn(n→∞)，若級(jí)數(shù)也收斂．證明你的判斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較判別法的極限形式就是：若知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)有相同的收斂半徑，可以用求收斂半徑公式即(5．1)式計(jì)算收斂半徑，首先計(jì)算所以R=1．再考察冪級(jí)數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)x=±l處的斂散性．當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)從而滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，故該級(jí)數(shù)收斂．這樣即得的收斂域?yàn)閇-1，1)．(Ⅱ)由于，所以其收斂半徑為2．又由于本題是關(guān)于x+1的冪級(jí)數(shù)，所以收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)為x=-3與x=1．當(dāng)x=-3時(shí)，原級(jí)數(shù)為是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，而且容易看出它滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件，所以是收斂的．這表明冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-3，1]．(Ⅲ)有相同的收斂半徑R=3．因而其收斂區(qū)間為(-2，4)．(Ⅳ)考瘵，由題設(shè)t=-3時(shí)它收斂知收斂半徑R≥3，又t=3時(shí)其發(fā)散知R≤3．因此R=3，由此可知的收斂域是[-3，3)，故原級(jí)數(shù)的收斂域是[0，6)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于均發(fā)散，所以其收斂域?yàn)?-1，1)．為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，使其能夠通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等手段變成幾何級(jí)數(shù)．設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，上面的運(yùn)算不能進(jìn)行，然而從原級(jí)數(shù)可直接得出S(0)=a0=1．綜合得冪級(jí)數(shù)容易看出．這就說(shuō)明S(x)在x=0處還是連續(xù)的，這一點(diǎn)也正是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì)．(Ⅱ)利用同樣的方法容易求得級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、將下列函數(shù)展成麥克勞林級(jí)數(shù)并指出展開(kāi)式成立的區(qū)間：(I)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)==ln(1-x3)-ln(1-x)，利用公式(5．11)，并分別以(-x3)與(-x)代替其中的x，就有(Ⅱ)由于，利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，就有注意函數(shù)在點(diǎn)x=-1處也收斂，從而上式在端點(diǎn)x=-1處也成立，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：(Ⅰ)，在x=1處；(Ⅱ)ln(2x2+x-3)，在x=3處．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由于ln(2x2+x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1)，對(duì)于右端兩項(xiàng)應(yīng)用公式(5．11)，得知識(shí)點(diǎn)解析：使用間接法在指定點(diǎn)x0處作泰勒展開(kāi)，就要用x-x0，或者x-x0的倍數(shù)與方冪等代替原來(lái)的x．28、將f(x)=展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，并求f(n)(0)，其中n=1，2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：于是xn的系數(shù)，由此可知當(dāng)n≥2時(shí)有此外還有f’(0)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、將下列函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于(Ⅲ)被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為逐項(xiàng)積分即得知識(shí)點(diǎn)解析：在后兩個(gè)小題中除了作冪級(jí)數(shù)展開(kāi)之外還涉及分析運(yùn)算：一個(gè)含有求導(dǎo)，一個(gè)含有積分其實(shí)在第(Ⅰ)小題中由于分母含有(1-x)2，也要借助于求導(dǎo)．像這樣的題目，到底是應(yīng)該先展開(kāi)后做分析運(yùn)算，還是應(yīng)該先做分析運(yùn)算后展開(kāi)呢?一般來(lái)說(shuō)應(yīng)該先展開(kāi)，因?yàn)閷?duì)展開(kāi)式的分析運(yùn)算就是逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分，比較簡(jiǎn)便．而且某些題目也必須先展開(kāi)，第(Ⅲ)小題就是如此．30、將函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并求其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=arctanx，f’’(x)=，將f’’(x)展開(kāi)，有從而當(dāng)｜x｜＜1時(shí)有f’(x)=當(dāng)x=±1時(shí)，右邊級(jí)數(shù)收斂，又f(x)連續(xù)，所以收斂域?yàn)?1≤x≤1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以=+∞，令S’n=因?yàn)?，所以選(B)．2、設(shè)收斂，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)不對(duì)，如收斂，但發(fā)散；(B)不對(duì)，如收斂，也收斂；(C)不對(duì)，如收斂，但發(fā)散，選(D)．3、設(shè)an＞0(n=1，2，…)且收斂，又0＜k＜，則級(jí)數(shù)()．A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與k有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令un=(一1)n因?yàn)閨un|=a2n～ka2n，而an收斂，所以ka2n收斂，于是un絕對(duì)收斂，選(A)．4、下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：(A)正確，因?yàn)?≤(un±υn)2≤2(un2+υn2)，而收斂，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法得(un±υn)2收斂；(B)不對(duì)，如un=unυn=un收斂，而顯然un≤υn(n=1，2，…)且發(fā)散．5、設(shè)a為任意常數(shù)，則級(jí)數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性與常數(shù)a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閱握{(diào)減少且以零為極限，所以發(fā)散，所以條件收斂，選(B)．6、設(shè)k＞0，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性與k的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎际諗?，所以絕對(duì)收斂，正確答案為(C)．7、設(shè)an(x一1)n在x=一1處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=2處()．A、條件收斂B、絕對(duì)收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n(x一1)n在x=一1處收斂，即an(一2)n收斂，所以antn的收斂半徑R≥2，故當(dāng)x=2時(shí)，|2一1|＜R，所以級(jí)數(shù)n(x一1)n在x=2處絕對(duì)收斂，選(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______，和函數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2≤x＜2)．知識(shí)點(diǎn)解析：由得收斂半徑為R=2，當(dāng)x=一2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一2，2)，令S(x)=則S(x)=(一2≤x＜2)．9、級(jí)數(shù)在一1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為_(kāi)_______．．標(biāo)準(zhǔn)答案：xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：而=一ln(1一x2)(一1＜x＜1)，一x2=一ln(1一x2)一x2(一1＜x＜1)，所以=xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．10、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)f(x)=S0=∫02f(x)e一xdx，S1=∫24f(x一2)e一xdx，…，Sn=∫2n2n+2+2f(x一2n)e一xdx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：S0=∫02f(x)e一xdx=∫01xe一xdx+∫12(2一x)e一xdx=令t=x一2，則S1=e一2∫02f(t)e一tdt=e一2S0，令t=x一2n，則Sn=e一2n∫02f(t)e一tdt=e一2nnS0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭钦?xiàng)級(jí)數(shù)，又收斂，根據(jù)比較審斂法的極限形式，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榘l(fā)散，由比較審斂法的極限形式得級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂？標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)為發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，令Sn=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然{Sn}n=1∞，單調(diào)增加，因?yàn)榧?jí)數(shù)an發(fā)散，所以Sn=+∞．對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)單調(diào)減少，且收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若級(jí)數(shù)收斂，判斷其是絕對(duì)收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)．證明：18、若收斂；標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=1，由=0，根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，＜1，即0≤an＜bn，由收斂得收斂(收斂級(jí)數(shù)去掉有限項(xiàng)不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂，從而an收斂(收斂級(jí)數(shù)添加有限項(xiàng)不改變斂散性)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、若發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)(1)，當(dāng)n＞N時(shí)，有0≤an＜bn，因?yàn)榘l(fā)散，所以發(fā)散，由比較審斂法，發(fā)散，進(jìn)一步得bn發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x一1=t，顯然級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，又當(dāng)t=±1時(shí)，由絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[一1，1]，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，2]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=4，當(dāng)x=±4時(shí)，因?yàn)?±4)n一1→∞(n→∞)，所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一4，4)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=+∞，收斂區(qū)間為(一∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：則收斂半徑為R=2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、驗(yàn)證y=x+滿(mǎn)足微分方程(1一x)y’+y=1+x．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級(jí)數(shù)y=x+的收斂域?yàn)閇一1，1]．即級(jí)數(shù)滿(mǎn)足微分方程(1一x)y’+y=1+x(一1≤x≤1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、將f(x)=展開(kāi)成x一2的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)的和函數(shù)是()A、ln(1－x)B、C、ln(x－1)D、－ln(x／－1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)S(x)=(｜x｜＜1)，則S(0)=0．因．故S(x)=∫0xSˊ(x)dx+S(0)=∫0xdx+0=－ln(1－x)=1n．2、設(shè)un=(－1)nln(1+)，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．因｜un｜==｜un+1｜，且=0，則由萊布尼茨定理，收斂．因發(fā)散．3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)的收斂域?yàn)?)A、(－1，1)B、(－1，0)C、[－1，0]D、[－1，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因．令y=x+，原級(jí)數(shù)為，而ρ==2，故R=．又因y=發(fā)散．而y=時(shí)，收斂，從而的收斂域?yàn)椋忠騳=x+，所以[－1，0)為原級(jí)數(shù)的收斂域．4、函數(shù)f(x)=展開(kāi)為(x－1)的冪級(jí)數(shù)，則其收斂半徑R等于()A、B、2C、4D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因(1+x)m=1+mx+…+xn+…，其中－1＜x＜1，故－1＜＜1，有－2＜x－1＜2，所以R=2．5、已知級(jí)數(shù)(1)，則()A、級(jí)數(shù)(1)收斂，級(jí)數(shù)(2)發(fā)散B、級(jí)數(shù)(1)發(fā)散，級(jí)數(shù)(2)收斂C、兩級(jí)數(shù)都收斂D、兩級(jí)數(shù)都發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=1－，則{u2n}為單調(diào)增數(shù)列，故≠0，從而級(jí)數(shù)(1)發(fā)散，由級(jí)數(shù)發(fā)散的定義可知，級(jí)數(shù)(2)一般項(xiàng)極限不為零，故發(fā)散．6、當(dāng)級(jí)數(shù)都收斂時(shí)，級(jí)數(shù)()A、一定條件收斂B、一定絕對(duì)收斂C、一定發(fā)散D、可能收斂，也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且收斂，又｜anbn｜=由比較審斂法，｜anbn｜收斂，即anbn絕對(duì)收斂．7、級(jí)數(shù)(a為常數(shù))()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)a=0時(shí)，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)n＞3時(shí)滿(mǎn)足萊布尼茨定理，所以收斂．當(dāng)a=1時(shí)，不趨于零，發(fā)散，所以，斂散性與a有關(guān)．8、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)=0=>存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，an2≤an，由比較審斂法，an2必收斂．9、設(shè)數(shù)列｛an｝單調(diào)減少，(n=1，2，…)無(wú)界，則冪級(jí)數(shù)an(x－1)n的收斂域?yàn)?)A、(－1，1]B、[－1，1)C、[0，2)D、(0，2]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法和冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、收斂域的概念，是一道綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考題．因數(shù)列｛an｝單調(diào)減少，且=0，故根據(jù)萊布尼茨判別法知，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(－1)nan收斂，即冪級(jí)數(shù)an(x－1)n在x=0處條件收斂；又Sn=ak(n=1，2，…)無(wú)界，所以?xún)缂?jí)數(shù)an(x－1)n在x=2處發(fā)散；綜上，冪級(jí)數(shù)an(x－1)n的收斂域?yàn)閇0，2)，故答案應(yīng)選(C)．10、設(shè)un≠0(n=1，2，…)，且()A、發(fā)散B、絕對(duì)收斂C、條件收斂D、斂散性由所給條件無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由=0．所考查級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不能保證的單調(diào)性，不滿(mǎn)足萊布尼茨定理的條件，于是按定義考查部分和故原級(jí)數(shù)收斂．再考查取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散．二、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)11、求(a為常數(shù)，0＜｜a｜＜e)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用級(jí)數(shù)的收斂，求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂．若收斂，則=0．對(duì)于級(jí)數(shù)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)un=，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、判別下列級(jí)數(shù)的斂性(k＞1，a＞1)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)椋?，所以該級(jí)數(shù)收斂．(2)因?yàn)?0＜1，所以該級(jí)數(shù)收斂．(3)因?yàn)椋?，所以該級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：易知當(dāng)n充分大時(shí)，單調(diào)遞減且此數(shù)列收斂于0，由萊布尼茨判別法知，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：0≤un=，故原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，由于，表明級(jí)數(shù)發(fā)散；而級(jí)數(shù)(條件)收斂，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：un=設(shè)f(x)=＜0，f(x)單調(diào)減少，因此級(jí)數(shù)滿(mǎn)足萊布尼茨判別法條件，是條件收斂的．但級(jí)數(shù)發(fā)散．因?yàn)槭諗考?jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知fn(x)滿(mǎn)足fˊn(x)=fn(x)+xn－1ex(n為正整數(shù))，且fn(1)=，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知，函數(shù)fn(x)滿(mǎn)足一階線性非齊次微分方程fˊn(x)－fn(x)=xn－1ex，其通解為fn(x)=ex(+C)．由條件fn(1)=得C=0，所以，fn(x)=ex，于是記S(x)=，容易求出其收斂域?yàn)閇－1，1)，且S(0)=0，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，求導(dǎo)得Sˊ(x)=于是得S(x)=S(0)+∫0xSˊ(t)dt=∫0xdt=－ln(1－x)．由S(x)=－ln(1－x)在x=－1點(diǎn)的連續(xù)性知，上述和函數(shù)在x=－1點(diǎn)也成立．于是，當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，有fn(x)=exS(x)=－exln(1－x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)有兩條拋物線y=nx2+和y=(n+1)x2+，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an．求：(1)這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn．(2)級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)解方程nx2+=(n+1)x2+，得兩條拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an=．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得(2)因?yàn)椋琻=1，2，…，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、將函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=由已知展開(kāi)式知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：=｜x｜3，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)x=－1時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散．所以，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－1，1]．記S(x)=，φ(x)=xS(x)=，一1＜x≤1，則φ(0)=0，S(0)=1，且φˊ(x)=，－1＜x＜1．因?yàn)橛谑橇顇=1，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，試求的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=nπ－t，則an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．記S(x)=∑，n2xn，－1＜x＜1，因?yàn)椋?＜x＜1，逐項(xiàng)求導(dǎo)，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．再次逐項(xiàng)求導(dǎo)，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：又y(0)=1，yˊ(0)=0．于是得到如下微分方程：特征方程為r2－1=0，r=±1，得通解：y=C1ex+C2e－x．求導(dǎo)，得yˊ=C1ex－C2e－x．將初值條件代入，解得C1=C2=．故(ex+e－x)，｜x｜＜+∞．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?0，所以該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－∞，+∞)．由S(x)=逐項(xiàng)求導(dǎo)4次，依次得整理得S(4)(x)－S(x)=0．解此四階常系數(shù)齊次線性微分方程得S(x)=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx．代入初值條件S(0)=1，Sˊ(0)=Sˊˊ(0)=Sˊˊˊ(0)=0，得C1=C2=，C3=，C4=0．所以S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然，0＜收斂，由比較審斂法得收斂．(2)因收斂，則由比較審斂法得收斂．(3)因又因發(fā)散，則由比較審斂法得發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．試證：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)un收斂，且有收斂．(2)un單調(diào)減少=>un+1≤un=>un+12≤unun+1=>un+1≤收斂．(3)(4)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、證明：級(jí)數(shù)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不滿(mǎn)足萊布尼茨判別法的(2)，故萊布尼茨判別法失效．因?yàn)椋黸｜=，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知，發(fā)散，又因?yàn)镾2n=由于上式每個(gè)括號(hào)都小于0，所以｛S2n｝單調(diào)遞減，再由S2n＞知｛S2n｝單調(diào)遞減有下界，故｛S2n｝收斂，記=S，易知=0，則=S+0=S．所以，原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列｛Sn｝收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，所以，原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)u1=2，un+1=(n=1，2，…)．證明：級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由算術(shù)平均值不小于其幾何平均值得un+1==1，即數(shù)列{un}有下界1，由此又得un+1－un=(1－un2)≤0，即{un}單調(diào)減少，則根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知極必存在，由{un}單調(diào)減少知所考慮的級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有0≤≤un－un+1．因Sn=(uk－uk+1)=u1－un，存在，故極限存在，則由級(jí)數(shù)斂散性的定義知級(jí)數(shù)收斂．于是，由比較審斂法得原正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、試判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un=，且當(dāng)n≥2時(shí)有0＜，因此sin＞0，則題給的級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，它可以改寫(xiě)為因｜un｜=，且當(dāng)n≥2時(shí)發(fā)散，由比較審斂法知發(fā)散，又因=1，則由極限形式的比較審斂法知發(fā)散，即題給的級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂．顯然，數(shù)列｛｜un｜｝滿(mǎn)足=0，設(shè)函數(shù)f(x)=sin，則在x≥2時(shí)，fˊ(x)=＜0，故f(x)在[2，+∞)內(nèi)單調(diào)減少，從而數(shù)列｛｜un｜｝單調(diào)減少，于是，題給的級(jí)數(shù)滿(mǎn)足萊布尼茨定理的條件，故它是收斂的，且是條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)=b．(1)求證：若b＞1，則收斂；若b＜1，則發(fā)散；(2)當(dāng)b=1時(shí)，試舉出可能收斂也可能發(fā)散的例子．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)b＞1，任取ε＞0，使得b－e＞1，因?yàn)镹，當(dāng)n≥N時(shí)，因b－ε＞1，所以收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂．又假設(shè)b＜1，任取ε＞0，使得b+ε＜1，因?yàn)镹，當(dāng)n≥N時(shí)，因b+ε＜1，所以發(fā)散，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知發(fā)散．(2)級(jí)數(shù)發(fā)散，這時(shí)b==1；級(jí)數(shù)根據(jù)積分審斂法易知其收斂，這時(shí)令x=lnn，n→+∞=>x→+∞，則有所以有b==1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、根據(jù)阿貝爾定理，已知(x－x0)n在某點(diǎn)x1(x1≠x0)的斂散性，證明該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可分為以下三種情況：(1)若在x1處收斂，則收斂半徑R≥｜x1－x0｜；(2)若在x1處發(fā)散，則收斂半徑R≤｜x1－x0｜；(3)若在x1處條件收斂，則收斂半徑R=｜x1－x0｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)阿貝爾定理，(1)(2)是顯然的．對(duì)于(3)，因冪級(jí)數(shù)an(x－x0)n在點(diǎn)x1處收斂，則R≥｜x1－x0｜；另一方面，因冪級(jí)數(shù)an(x－x0)n在點(diǎn)x1處條件收斂，則R≤｜x1－x0｜．因若不然，則該點(diǎn)是絕對(duì)收斂，而不是條件收斂，這與題設(shè)矛盾．于是，綜合上述兩方面得該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=｜x1－x0｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，在x=2b處發(fā)散，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R與收斂域，并分別求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x－b，收斂中心x0=b的冪級(jí)數(shù)an(x－b)n化為收斂中心t0=0的冪級(jí)數(shù)antn．根據(jù)阿貝爾定理可以得到如下結(jié)論：因?yàn)閍n(x－b)n在x=0處收斂，所以antn在t=－b處收斂，從而當(dāng)｜t｜＜｜－b｜=｜b｜時(shí)，冪級(jí)數(shù)antn絕對(duì)收斂．由于an(x－b)n在x=2b處發(fā)散，故antn在t=b處發(fā)散，進(jìn)而當(dāng)｜t｜＞｜b｜時(shí)，冪級(jí)數(shù)antn發(fā)散．由上述兩方面，根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義即知anxn的收斂半徑R=｜b｜，其收斂域?yàn)椋黚｜≤x＜｜b｜．注意到冪級(jí)數(shù)分別經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分所得，根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變的性質(zhì)，即知它們的收斂半徑都是R=｜b｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、將y=sinx展開(kāi)為(x－)的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、將f(x)=展開(kāi)為(x+1)的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果此題這樣做：f(x)=是行不通的．改用“先積后導(dǎo)”的方法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)f(x)=(1)將f(x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)；(2)分別判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)把f(x)作初等變換，并利用幾何級(jí)數(shù)，｜x｜＜1，則f(x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)(2)根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導(dǎo)數(shù)則所考慮的都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．取vn=收斂．因故由極限形式的比較審斂法得收斂．注意到發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)an=，n=1，2…．證明：級(jí)數(shù)收斂，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭諗浚适諗浚疄榍蟮暮?，作S(x)=，x∈[－1，1)，從而，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、(1)證明(2)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)由于由待定系數(shù)法得，，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、求級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和，涉及逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)的恒等變形，是常規(guī)考題．本題要求給出冪級(jí)數(shù)，其收斂區(qū)間為(－∞，+∞)，并記其和函數(shù)逐項(xiàng)積分得所以?xún)蛇吳髮?dǎo)得S(x)=，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、(1)求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)e－x－2x－nxln2ln3S(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un(x)=ne－ux，un+1(x)=(n+1)e－(n+1)x，故，當(dāng)＜1，即x＞0時(shí)，un(x)收斂；當(dāng)x＜0時(shí)，un(x)發(fā)散；當(dāng)x=0時(shí)，該級(jí)數(shù)成為1+2+…+n+…，顯然是發(fā)散的，所以該級(jí)數(shù)當(dāng)x＞0時(shí)收斂于S(x)．(2)S(x)=e－x+2e－2x+…+ne－nx…t+2t2+…+ntn+…=t(1+2t+…+ntn－1+…)=t(t+t2+…+tn+…)ˊ=]，x＞0．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析40、設(shè)數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．證明：在｜x｜＜時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函數(shù)與系數(shù)an．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然，｛an｝是正項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a3=22，假設(shè)an＜2n－2，則有an+1=an+an－1＜2an＜2n－1，故由歸納法得ann－2．于是，所考慮的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)有｜anxn－1｜＜(2x)n－1．因級(jí)數(shù)(2x)n－1在｜2x｜＜1時(shí)收斂，故由比較審斂法知，級(jí)數(shù)anxn－1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜時(shí)絕對(duì)收斂．(2)原冪級(jí)數(shù)化為移項(xiàng)后得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為(3)將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，有而又是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，經(jīng)比較系數(shù)得原冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析41、設(shè)(1)求y(0)，yˊ(0)，并證明：(1－x2)yˊˊ－xyˊ=4；(2)求的和函數(shù)及級(jí)數(shù)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由y(x)=(2x)2n，得y(0)=0；又yˊ(x)=，于是yˊ(0)=0，yˊˊ(x)=以下證明微分方程成立：(2)下面求解微分方程(1－x2)yˊˊ－xyˊ=4．首先，應(yīng)該可以想到本題用“二階可降階”的方法，令yˊ=p，考生可以自練．但是本題更好的做法如下：微分方程兩邊同乘以(想想看這個(gè)是怎么推導(dǎo)出來(lái)的)，則有于是有=4arcsinx+C．根據(jù)yˊ(0)=0=>C=0，即兩邊再積分，得=2arcsin2x+C，故y(x)=2arcsin2x+C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若an(x－1)n在x=－1處收斂，則在x=2處是()A、條件收斂B、絕對(duì)收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由an(x－1)n在x=－1處收斂，則收斂半徑R≥｜－1－1｜=2．而x=2，即｜2－1｜=1＜R，所以x=2在收斂區(qū)間內(nèi)，即原級(jí)數(shù)在x=2處絕對(duì)收斂，故應(yīng)選(B)．2、已知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)條件收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=(－1)nn，則當(dāng)n→∞時(shí)，｜un｜～的斂散性相同，故α－．而由條件收斂可知0＜3－α≤1，即2≤α＜3．若使兩個(gè)結(jié)論都成立，只有＜α＜3，故選(D)．3、設(shè)an=(n=1，2，3，…)，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n=cosnπ，所以級(jí)數(shù)是滿(mǎn)足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因此收斂，因?yàn)閍n2=ln2(1+)在n→∞時(shí)與是等價(jià)無(wú)窮小，且調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散，故選(C)．4、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閣n＜un＜vn，所以0＜un－wn＜vn－wn．又因?yàn)槭諗?，所?un－wn)收斂，因而(un－wn)收斂．故收斂．因?yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B)，(C)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上，顯然不對(duì)．例如取級(jí)數(shù)可以說(shuō)明(B)不對(duì)，取級(jí)數(shù)就可以說(shuō)明(C)不對(duì)．選(D)．5、下列命題中錯(cuò)誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知命題(A)正確．由反證法可知命題(B)正確．若設(shè)，這兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散，但是=0收斂，可知命題(C)正確，但命題(D)錯(cuò)誤．6、對(duì)于級(jí)數(shù)，其中un＞0(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因｜(－1)n－1un｜=｜un｜=un，由un收斂知(－1)n－1un絕對(duì)收斂，命題(B)正確．(A)錯(cuò)誤：如；(C)，(D)錯(cuò)誤：如7、下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)anxn在收斂域(－R，R)上的和函數(shù)性質(zhì)可知，命題(C)正確．(A)錯(cuò)誤：如，收斂域?yàn)?－1，1]，但在x=1處，條件收斂．(B)錯(cuò)誤：因?yàn)榭赡躌=0或R=+∞．(D)錯(cuò)誤：由冪級(jí)數(shù)的定義可知不是冪級(jí)數(shù)．8、設(shè)0≤un≤，則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因0≤un≤，有un2≤收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，故絕對(duì)收斂．從而收斂，故選(D)．(A)，(C)錯(cuò)：如．(B)錯(cuò)：如9、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因0＜1－收斂，因此絕對(duì)收斂．10、級(jí)數(shù)()A、收斂B、發(fā)散C、條件收斂D、絕對(duì)收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=(－1)n－1ln(1+)．對(duì)于發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式可知｜un｜發(fā)散．而為交錯(cuò)級(jí)數(shù)．因｜un+1｜==｜un｜(或因當(dāng)x＞0時(shí)，＜0)，因此｛｜un｜｝即｛ln(1+)｝是單調(diào)遞減數(shù)列，且極限顯然為0．由萊布尼茨定理知，收斂且為條件收斂．二、填空題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設(shè)a為正常數(shù)，則的斂散性為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：因絕對(duì)收斂，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．12、設(shè)a為常數(shù)，若級(jí)數(shù)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)(un－a)收斂，所以(un－a)=0，從而=a．13、級(jí)數(shù)的和為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，其公比q滿(mǎn)足｜q｜==1．故收斂且和為14、級(jí)數(shù)的收斂域是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椴蝗表?xiàng)的x的冪級(jí)數(shù)，又因ρ==1，故R=1．在x=1處，收斂；在x=－1處，發(fā)散．故的收斂域?yàn)?－1，1]．15、函數(shù)f(x)=展開(kāi)成的(x－1)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1)n(x－1)n，0＜x＜2知識(shí)點(diǎn)解析：因(－1)n.xn，－1＜x＜1．故(－1)n(x－1)n，－1＜x－1＜1，即0＜x＜2．16、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：將已給級(jí)數(shù)每相鄰二項(xiàng)加括號(hào)得新級(jí)數(shù)因發(fā)散，由于加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)必發(fā)散．17、冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間(－a，a)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記S(x)=，x∈(－a，a)．因，故S(x)=18、函數(shù)f(x)=ln(3+x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3+，－3＜x≤3知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=ln(3+x)=ln[3(1+)]=ln3+1n(1+)．因ln(1+x)=xn+1(－1＜x≤1)，故f(x)=ln3+ln(1+)=ln3+－1＜≤1，即－3＜x≤3．19、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：令y=x－2，則為不缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，an==1，故R=1．當(dāng)y=1時(shí)，發(fā)散(p級(jí)數(shù)，p=＜1)，當(dāng)y=－1時(shí)，為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．因此的收斂域?yàn)閇－1，1)．可知－1≤x－2＜1，即1≤x＜3時(shí)，原級(jí)數(shù)(x－2)n收斂．20、設(shè)的斂散性為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：由收斂，知=0，故=∞(≠0)，從而發(fā)散．21、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列｛Sn｝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：有界(或有上界)知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于｛Sn｝收斂．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，｛Sn｝為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列｛Sn｝收斂等價(jià)于｛Sn｝有界(或有上界)．22、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[－1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，不能通過(guò)求R，可用比值審斂法求收斂半徑尺．具體為：=x2．當(dāng)｜x2｜＜1，即｜x｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)｜x2｜＞1，即｜x｜＞1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故R=1．當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x=－1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，從而收斂區(qū)間為[－1，1]．23、ex展開(kāi)成(x－3)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e3(其中－∞＜x＜+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：ex=e3+(x－3)=e3.ex－3，因ex=+…(－∞＜x＜+∞)．從而ex=e3.ex－3=e3(x－3)n(－∞＜x－3＜+∞即－∞＜x＜+∞)．24、級(jí)數(shù)，當(dāng)________時(shí)絕對(duì)收斂；當(dāng)_________時(shí)條件收斂；當(dāng)_________時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=(－1)n－1當(dāng)p＞1時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)0＜p≤1時(shí)，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)且｜un｜==un+1，=0．故由萊布尼茨定理收斂且為條件收斂；當(dāng)p≤0時(shí)，≠0，則級(jí)數(shù)發(fā)散．25、若在x=－3處為條件收斂，則其收斂半徑R=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因anxn在x=－3收斂，故由阿貝爾定理，｜x｜＜3時(shí)，anxn絕對(duì)收斂．又因anxn在x=－3條件收斂，故｜x｜＞3時(shí)，anxn發(fā)散．如若不然，必存在x1，使｜x1｜＞3且有在x=x1處anxn收斂．由阿貝爾定理便可推出｜x｜＜｜x1｜時(shí)，特別是x=－3時(shí)anxn絕對(duì)收斂．這與題設(shè)在x=－3處條件收斂相矛盾．綜上，由收斂半徑的定義便有R=3．26、函數(shù)f(x)=cosx展開(kāi)成(x+)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，－∞＜x＜+∞知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=cosx=因cosx=，－∞＜x＜+∞，sinx=，－∞＜x＜+∞．有f(x)27、冪級(jí)數(shù)在收斂域(－1，1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)S(x)=(－1)n－1nxn－1，x∈(－1，1)．因，故s(x)=[∫0xS(x)dx)]ˊ=考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)常數(shù)λ＞0，而級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、收斂性與λ有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、下述各選項(xiàng)正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為的收斂半徑為A、5．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以，應(yīng)選A．5、設(shè)則下列命題正確的是A、若都收斂．B、若絕對(duì)收斂，則都收斂．C、若條件收斂，則的斂散性都不定．D、若絕對(duì)收斂，則的斂散性都不定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：都收斂，故應(yīng)選B．6、設(shè)有以下命題：則以上命題中正確的是A、①②B、②③C、③④D、①④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)收斂，則下列結(jié)論正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：8、若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè){un}是數(shù)列，則下列命題正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)仍收斂，故應(yīng)選A．10、已知級(jí)數(shù)條件收斂，則A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè){an}為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若存在常數(shù)p＞1，使由于an＞0，且收斂，故應(yīng)選D．12、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲準(zhǔn)則知，級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，選C．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)13、冪級(jí)數(shù)的收斂域是___________.標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為14、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，4)．知識(shí)點(diǎn)解析：15、級(jí)數(shù)的和為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)16、若級(jí)數(shù)均發(fā)散，則級(jí)數(shù)必發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：“非”．知識(shí)點(diǎn)解析：17、將函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：則原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)級(jí)數(shù)均收斂，求證，絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由不等式2ab≤a2+b2可知，應(yīng)考慮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：20、已知函數(shù)試計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、將函數(shù)y=ln(1一x一2x2)展成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：其收斂域?yàn)?一1，1]：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、從點(diǎn)P1(1，0)作x軸的垂線，交拋物線y=x2于點(diǎn)Q1(1，1)；再?gòu)腝1作這條拋物線的切線與x軸交于P2．然后又從P2作x軸的垂線，交拋物線于Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列的點(diǎn)P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn；…undefinedundefined標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由y=x2得，y’=2x，對(duì)于任意a(0＜a≤1)，拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為y一a2=2a(x一a)且該切線與x軸的交點(diǎn)為可見(jiàn)(2)由于可見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)有兩條拋物線記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an(1)求兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(2)求級(jí)數(shù)的和標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：解則25、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、已知fn(x)滿(mǎn)足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n為正整數(shù))，且求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由原題可知fn’(x)一fn(x)=xn-1ex由一階線性方程通解公式可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(x)=0，得x=0，顯然經(jīng)過(guò)x=0點(diǎn)時(shí)f’(x)由正變負(fù)，則f(x)在x=0處取極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)．求：(I)S(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；(Ⅱ)S(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(一1，1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、將函數(shù)展開(kāi)成x-1的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)銀行存款的年利事為r=0．05，并依年復(fù)利計(jì)算．某基金會(huì)希望通過(guò)存款A(yù)萬(wàn)元實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元，第二年提取28萬(wàn)元，…，第n年提取(10+9n)萬(wàn)元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問(wèn)A至少應(yīng)為多少萬(wàn)元?標(biāo)準(zhǔn)答案：由以上分析知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：34、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：時(shí)原級(jí)數(shù)顯然發(fā)散，則其收斂域?yàn)?一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?≤收斂，所以收斂，于是絕對(duì)收斂，選(C)．2、若級(jí)數(shù)收斂(un＞0)，則下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令Sn=u1+u2+…+un，因?yàn)閡n收斂，所以Sn存在且un=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(u2+u3)=2Sn一u1+un+1，于是Sn一u1存在，選(C)，(A)、(B)、(D)都不對(duì)．3、設(shè)un=(一1)n，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法,un收斂，而un2=1n2發(fā)散，選(C)．4、下列說(shuō)法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令un=都發(fā)散，但(un+υn)收斂，(A)不對(duì)；令un=υn=，顯然υn都發(fā)散，但unυn收斂，(B)不對(duì)；5、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選(D)．取un=收斂，(A)不對(duì)；取un=收斂，(B)不對(duì)；取un=υn=發(fā)散，(C)不對(duì)；因?yàn)?0，從而存在M＞0，使得|un|≤M，于是|unυn|≤Mυn，因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)υn收斂，根據(jù)比較審斂法，|unυn|收斂，即unυn絕對(duì)收斂．6、級(jí)數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閱握{(diào)減少且以零為極限，由Leibniz審斂法，級(jí)數(shù)收斂，而條件收斂，正確答案為(B)．7、設(shè)=2，則級(jí)數(shù)的收斂半徑為()．A、1B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：=2|x|2，當(dāng)|x|＜絕對(duì)收斂；當(dāng)|x|＞時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故其收斂半徑為選(D)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、設(shè)(一1)n一1an=2，a2n一1=5，則a2n=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：8．知識(shí)點(diǎn)解析：(—1)n一1an=8．9、函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，4)．知識(shí)點(diǎn)解析：令x一2=t，對(duì)級(jí)數(shù)所以收斂半徑為R=2，當(dāng)t=±2時(shí)，的收斂域?yàn)?一2，2)，于是原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0，4)．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、判別級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)slnx≤x，所以0≤收斂，根據(jù)比較審斂法，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由0≤收斂，由比較審斂法得級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭諗浚R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：為單調(diào)減少的數(shù)列，又收斂．因?yàn)榘l(fā)散，故級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明收斂，并說(shuō)明反之不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤(un+un+1)，而(un+un+1)收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，反之不一定成立，如級(jí)數(shù)1+0+1+0+…發(fā)散，因?yàn)閡nun+1=0(n=1，2，…)，所以收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，證明下列級(jí)數(shù)收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)槭諗浚?2)因?yàn)槭諗浚R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=當(dāng)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=4，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=當(dāng)收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗許(x)=∫0xS’(x)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級(jí)數(shù)n(n+1)xn的收斂半徑為R=1，收斂區(qū)間為(一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求冪級(jí)數(shù)(2n+1)xn的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1得該級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，因?yàn)楫?dāng)x=±1時(shí)，(2n+1)(±1)n發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1)．將x2換成x得S(x)=(一1＜x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S’(x)==0，得唯一駐點(diǎn)x=0，當(dāng)x＜0時(shí)，S’(x)＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，S’(x)＜0，則x=0為S(x)的極大值點(diǎn)，極大值為S(0)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、將f(x)=arctanx展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)=(一1)nx2n(一1＜x＜1)，f(0)=0，得f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x由逐項(xiàng)可積性得顯然x=±1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、將f(x)=展開(kāi)x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有冪級(jí)數(shù)2+25、求該冪級(jí)數(shù)的收斂域；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?0，所以收斂半徑為R=+∞，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、證明此冪級(jí)數(shù)滿(mǎn)足微分方程y"一y=一1;標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2+則f’(x)==1+f(x)一2，故該冪級(jí)數(shù)滿(mǎn)足微分方程y"一y=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f"(x)一f(x)=一1得f(x)=C1e一x+C2ex+1，再由f(0)=2，f’(0)=0得C1=，C2=，所以f(x)=chx+1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為()A、5．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)極限都存在，則由題設(shè)條件可知2、an和bb符合下列哪一個(gè)條件可由發(fā)散?()A、an≤bn．B、|an|≤bn．C、an≤|bn|．D、|an|≤|bn|．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：反證法．如果收斂與題設(shè)矛盾，故選B．3、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由必發(fā)散，故選D．4、級(jí)數(shù)的極限值等于()A、0．B、1．C、2．D、e．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，可以將的部分和，根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知，由于級(jí)數(shù)也收斂．收斂級(jí)數(shù)的部分和是有界的，因此極限應(yīng)選A．5、如果級(jí)數(shù)A、都收斂．B、都發(fā)散．C、斂散性不同．D、同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于an=(an+bn)一bn，且必發(fā)散，故選D．6、設(shè)a是常數(shù)，則級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)an＞0時(shí)，級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于該級(jí)數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，從而可知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn=a1+a2+…+an有上界，則級(jí)數(shù)必收斂，故選D．8、已知等于()A、3．B、7．C、8．D、9．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：9、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的()A、充要條件．B、充分條件．C、必要條件．D、既非充分條件，又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)．則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，而單調(diào)遞減趨于零，由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)11、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6)知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為則有因此，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1．當(dāng)x=4時(shí)，原級(jí)數(shù)為故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是[4，6)．12、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在原級(jí)數(shù)中令，原級(jí)數(shù)可化為的收斂半徑和收斂區(qū)域即可．因此，的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(一1，1)．13、已知冪級(jí)數(shù)在x=1處條件收斂，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_____標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由題干已知冪級(jí)數(shù)在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，其收斂半徑為1，因此冪級(jí)數(shù)收斂半徑也為1．14、級(jí)數(shù)的和為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由麥克勞林公式易知ln(1+x)=則15、設(shè)a1=1，的和為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：2020知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為Sn=(a2—a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1—a1=an+1一1．16、級(jí)數(shù)的和為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令S(x)=(|x|＜1)，那么有17、f(x)=在x=一1處的泰勒展開(kāi)式為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：18、將函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)已知函數(shù)從0到x求積分，有對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)x2＜1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)x2＞1．時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、將函數(shù)f(x)=展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)冪級(jí)數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿(mǎn)足y”一2xy’一4y=0，y(0)=0，y’(0)=1．(1)證明：，n=1，2，…；(2)求y(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：故有(n+2)(n+1)an+2—2nan一4an=0，即(2)由初始條件y(0)=0，y’(0)=1，知an=0，a1=1．于是根據(jù)遞推關(guān)系式有a2n=0,故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)an為曲線y=xn與y=xn+1(n=1，2，…)所圍成區(qū)域的面積，記S1=求S1與S2的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，y=xn與y=xn+1在點(diǎn)x=0和x=1處相交，所以故S2=1一ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗援?dāng)x2＜1，即一1＜x＜1時(shí)，原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．當(dāng)x=±1時(shí)，級(jí)數(shù)為顯然收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]．因?yàn)橛謋(0)=0，所以f(x)=∫0xf’(t)dt+f(0)=arctanx．從而S(x)=xarctanx，x∈[一1，1]．即，收斂域x∈[一1，1]，和函數(shù)S(x)=xarctanx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所以x∈(一1，1)為函數(shù)的收斂域．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足條件：a0=3，a1=1，an-2一n(n—1)an=0(n≥2)．S(x)是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．(1)證明：S”(x)一S(x)=0；(2)求S(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)證明：由題意得因?yàn)橛梢阎獥l件得an=(n+1)(n+2)an+2,(n=0，1，2，…)，所以S”(x)=S(x)，即S”(x)一S(x)=0．(2)S”(x)一S(x)=0為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為λ2一1=0，從而λ=±1，于是S(x)=C1e-x+C2ex，由S(0)=a0=3，S’(0)=a1=1，得所以S(x)=e-x+2ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又設(shè)，試討論級(jí)數(shù)是條件收斂，絕對(duì)收斂，還是發(fā)散?標(biāo)準(zhǔn)答案：由且在x=0處f(x)連續(xù)，有由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，所以當(dāng)x＞0且x足夠小時(shí),f’(x)＞0，由拉格朗日中值定理，有所以收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)un=∫01x(1一x)sin2nxdx，討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x(1一x)sin2nx≥0，所以u(píng)n≥0，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又因sin2nx≤x2n，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)是它的部分和．(1)證明收斂；(2)判斷級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并給予證明．標(biāo)準(zhǔn)答案：因正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn單調(diào)上升，將上式放縮知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其在收斂域內(nèi)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于．所以|x一1|＜1，即0＜x＜2，當(dāng)x=0和x=2時(shí)冪級(jí)數(shù)變?yōu)椋l(fā)散，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0，2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，再由收斂級(jí)數(shù)的和仍收斂可知，級(jí)數(shù)收斂，故選D．2、如果級(jí)數(shù)都發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于(|an|+|bn|)必發(fā)散，故選D．3、已知級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于去掉了前k項(xiàng)，則其斂散性相同，故(an+an+k)必收斂，應(yīng)選D．4、設(shè)an＞0(n=1，2，…)，且A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、斂散性與λ有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用比較法．因?yàn)槎烧?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，再由比較法極限形式知，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故選A．5、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于中至少有一個(gè)不成立，則級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散，故選C．6、設(shè)(n=1，2，…)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由收斂及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂，從而絕對(duì)收斂，故選D．7、級(jí)數(shù)(α＞0，β＞0)的斂散性()A、僅與β取值有關(guān)．B、僅與α取值有關(guān)．C、與α和β的取值都有關(guān)．D、與α和β的取值都無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于(1)當(dāng)0＜β＜1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．(2)當(dāng)β＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．(3)當(dāng)β=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為當(dāng)α＞1時(shí)收斂，當(dāng)α≤1時(shí)發(fā)散，故選C．8、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、收斂性與λ有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取顯然滿(mǎn)足題設(shè)條件．而此時(shí)于是由比較判別法知，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故選C．9、設(shè)則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若收斂，由級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的性質(zhì)知收斂．而pn=，再由收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，都收斂，故選B．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：首先設(shè)則當(dāng)滿(mǎn)足條件該冪級(jí)數(shù)是收斂的．因此，此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是11、若數(shù)列{an}收斂，則級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂知識(shí)點(diǎn)解析：由題干知，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，因?yàn)閿?shù)列{an}收斂，所以{Sn}收斂．因此，級(jí)數(shù)收斂．12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，有令上式的結(jié)論中的x=1，則有13、若數(shù)列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…發(fā)散，則級(jí)數(shù)=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)級(jí)數(shù)性質(zhì)可知，收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍然收斂．假設(shè)收斂，則級(jí)數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾，故發(fā)散．14、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2，4)知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)對(duì)原冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，得其收斂半徑不變，因此有其收斂區(qū)間為|x一1|＜3，即(一2，4)．15、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閯t收斂半徑R=1．當(dāng)x=一1時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散．因此收斂域?yàn)閇一1，1)．16、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有17、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有由于該冪級(jí)數(shù)缺奇數(shù)項(xiàng)，則18、已知冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，在x=一4處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)____．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，5]知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知，的收斂域?yàn)?一2，2]．所以的收斂域?yàn)?1，5]．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(一1，1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則S(x)=S1(x)一S2(x)，x∈(一1，1)．由于又由于S1(0)=0，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)a1=2，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：對(duì)任意的非負(fù)數(shù)x，y必有x+y≥易知因此{(lán)an}單調(diào)遞減且有下界，故極限存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由于則根據(jù)夾逼定理可知，原式=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且是否收斂?并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減，因此極限存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0．又因?yàn)槭前l(fā)散的，根據(jù)萊布尼茨交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法可知a＞0(否則級(jí)數(shù)是收斂的)．已知正項(xiàng)級(jí)數(shù){an}單調(diào)遞減，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、(2)證明對(duì)任意的常數(shù)λ＞0，級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)橛钟刹糠趾蛿?shù)列(2)先估計(jì)an的值，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=3，相應(yīng)的收斂區(qū)間為(一3，3)．當(dāng)x=3時(shí)，因?yàn)榍野l(fā)散，所以原級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=3處發(fā)散；當(dāng)x=一3時(shí)，由于且都收斂．所以原級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=-3處收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所