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考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷1(共8套)(共252題)考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題,每題1.0分,共8分。)1、設(shè)函數(shù)u=u(x,y)滿(mǎn)足u有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則u11’’(x,2x)=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:等式u(x,2x)=x兩邊對(duì)x求導(dǎo)得u1’+2u2’=1,兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得u11’’+2u12’’+2u21’’+4u22’’=0,①等式u1’(x,2x)=x2兩邊對(duì)x求導(dǎo)得u11’’+2u12’’=2x,②將②式及u12’’=u21’’,u11’’=u22’’代入①式中得2、利用變量替換u=x,,可將方程化成新方程()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由復(fù)合函數(shù)微分法于是3、若函數(shù)其中f是可微函數(shù),且則函數(shù)G(x,y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè),則u=xyf(t),于是即G(x,y)=x一y.4、已知du(x,y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[-3x2y2+bcos(x+2y)]dy,則()A、a=2,b=一2B、a=3,b=2C、a=2,b=2D、a=一2,b=2標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:由du(x,y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(37+2y)]dy可知,以上兩式分別對(duì)y,x求偏導(dǎo)得3axy2-2sin(x+2y)=6xy2-bsin(s+2y),故得a=2,b=2.5、設(shè)u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且則u(x,y)的()A、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部B、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上C、最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部,最小值點(diǎn)在D的邊界上D、最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部,最大值點(diǎn)在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:令由于B2一AC>0,函數(shù)u(x,y)不存在無(wú)條件極值,所以,D的內(nèi)部沒(méi)有極值,故最大值與最小值都不會(huì)在D的內(nèi)部出現(xiàn).但是u(x,y)連續(xù),所以,在平面有界閉區(qū)域D上必有最大值與最小值,故最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上.6、函數(shù)f(x,y)=exy在點(diǎn)(0,1)處帶皮亞諾余項(xiàng)的二階泰勒公式是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:直接套用二元函數(shù)的泰勒公式即知B正確.7、函數(shù)f(x,y)=x4一3x3y2+x一2在點(diǎn)(1,1)處的二階泰勒多項(xiàng)式是()A、一3+(4x3一6xy2+1)x一6x2.y.y+[(12x2一6y2)x2一24xy.xy一6x2.y2]B、一3+(4x2—6xy2+1)(x一1)一6x2y(y一1)+[(12x2一6y2)(x—1)2一24xy(x一1).(y一1)一6x2(y一1)2]C、一3一(x一1)一6(y一1)+[6(x一1)2一24(x一1)(y一1)一6(y一1)2D、一3一x一6y+(6x2一24xy一6y2)標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:直接套用二元函數(shù)的泰勒公式即知C正確.8、若向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān),且向量α4不可由向量組α1,α2,α3線性表示,則下列結(jié)論正確的是().A、α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)B、α1,α2,α3線性相關(guān)C、α1,α2,α4線性無(wú)關(guān)D、α1,α2,α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:若α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),因?yàn)棣?不可由α1,α2,α3線性表示,所以α1,α2,α3,α4線性無(wú)關(guān),矛盾,故α1,α2,α3線性相關(guān),選(B).二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)9、設(shè)則fz’(0,1)=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:1知識(shí)點(diǎn)解析:10、設(shè)f可微,則由方程f(cx一az,cy一bz)=0確定的函數(shù)z=z(x,y)滿(mǎn)足azx’+bzy’=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案:c知識(shí)點(diǎn)解析:本題考查多元微分法,是一道基礎(chǔ)計(jì)算題.方程兩邊求全微分,得f1’.(cdx—adz)+f2’.(cdy—bdz)=0,即11、設(shè)f(z),g(y)都是可微函數(shù),則曲線在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的法平面方程為_(kāi)____.標(biāo)準(zhǔn)答案:f’(z0)g’(y0)(x-x0)+(y—y0)+g’(y0)(z—z0)=0知識(shí)點(diǎn)解析:曲線的參數(shù)方程為:x=f[g(y)],y=y,z=g(y).12、函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:由可得.13、設(shè)z=eminxy,則dz=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析:zx’=esinxycosxy.y,zy’=esinxycosxy.x;dz=esinxycosxy(ydx+xdy).14、設(shè)函數(shù)f(x,y)=exln(1+y)的二階麥克勞林多項(xiàng)式為,則其拉格朗日型余項(xiàng)R2=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案:ξ在0,x之間,η在0,y之間知識(shí)點(diǎn)解析:15、設(shè)z=eminxy,則dz=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析:zx’=esinxycosxy.y,zy’=esinxycosxy.x;dz=esinxycosxy(ydx+xdy).三、解答題(本題共11題,每題1.0分,共11分。)16、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo),且|f(4)(x)|≤M(M>0).證明:對(duì)此鄰域內(nèi)任一異于x0的點(diǎn)x,有其中x’為x關(guān)于x0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、求f(x,y)=x+xy—x2一y2在閉區(qū)域D={(x,y)10≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:這是閉區(qū)域上求最值的問(wèn)題.由于函數(shù)f(x,y)=x+xy一x2一y2在閉區(qū)域D上連續(xù),所以一定存在最大值和最小值.首先求f(x,y)=x+xy—x2一y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極值:解方程組得區(qū)域D內(nèi)部唯一的駐點(diǎn)為由g(x,y)=(fxy’’)2一fxx’’fyy’’=一3,得f(x,y)=x+xy—x2一y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極大值再求f(x,y)在閉區(qū)域D邊界上的最大值與最小值:這是條件極值問(wèn)題,邊界直線方程即為約束條件.在z軸上約束條件為y=0(0≤x≤1),于是拉格朗日函數(shù)為F(x,y,λ)=x+xy—x2一y2+λy,解方程組在下面邊界的端點(diǎn)(0,0),(1,0)處f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以,下面邊界的最大值為,最小值為0.同理可求出:在上面邊界上的最大值為一2,最小值為一4;在左面邊界上的最大值為0,最小值為一4;在右面邊界上的最大值為,最小值為一2.比較以上各值,可知函數(shù)f(x,y)=x+xy一x2一y2在閉區(qū)域D上的最大值為,最小值為一4.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、設(shè)f(x,y)=kx2+2kxy+y2在點(diǎn)(0,0)處取得極小值,求k的取值范圍.標(biāo)準(zhǔn)答案:由f(x,y)=kx2+2kxy+y2,可得fx’(x,y)一2kx+2ky,fyy’’(x,y)=2k,fy’(x,y)=2kx+2y,fyy’’(x,y)=2,fxy’’(x,y)=2k,于是,①若△=B2一AC=4k2一4k<0且A一2k>0,故0<k<1;②若△=B2一AC=4k2一4k=0,則k=0或k=1,當(dāng)k=0時(shí),f(x,y)=y2,由于f(x,0)≡0,于是點(diǎn)(0,0)非極小值點(diǎn).當(dāng)k=1時(shí),f(x,y)=(x+y)2,由于f(x,一x)≡0,于是點(diǎn)(0,0)也非極小值點(diǎn).綜上所述,k的取值范圍為(0,1).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、求函數(shù)z=x2+y2+2x+y在區(qū)域D:x2+y2≤1上的最大值與最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:由于x2+y2≤1是有界閉區(qū)域,z=x2+y2+2x+y在該區(qū)域上連續(xù),因此一定能取到最大值與最小值.(1)(2)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部無(wú)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).(3)再求函數(shù)在邊界上的最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn),即求z=x2+y2+2x+y在滿(mǎn)足約束條件x2+y2=1的條件極值點(diǎn).此時(shí),z=p+2x+y.用拉格朗日乘數(shù)法,作拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=1+2a+y+λ(x2+y2一1),所有三類(lèi)最值懷疑點(diǎn)僅有兩個(gè),由于,所以最小值,最大值.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、在第一象限的橢圓,使過(guò)該點(diǎn)的法線與原點(diǎn)的距離最大.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)(x,y)處的法線方程為原點(diǎn)到該法線的距離為,構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù)h(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y).根據(jù)條件極值的求解方法,先求根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,距離最大的法線是存在的,駐點(diǎn)只有一個(gè),所得即所求,故可斷定所求的點(diǎn)為知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、設(shè)函數(shù)f(x,y)及它的二階偏導(dǎo)數(shù)在全平面連續(xù),且|x—y|.求證:|f(5,4)|≤1.標(biāo)準(zhǔn)答案:因與路徑無(wú)關(guān).設(shè)O(0,0),A(4,4),B(5,4),由條件.在直線OA:y=x上,,所以知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析26、設(shè)A是m×5階矩陣,B是s×n階矩陣,且r(B)=r(AB).證明:方程BX=0與ABX=0是同解方程組.標(biāo)準(zhǔn)答案:首先,方程組BX=0的解一定是方程組ABX=0的解.令r(B)=r且ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程組BX=0的基礎(chǔ)解系,現(xiàn)設(shè)方程組ABX=0有一個(gè)解η0不是方程組BX=0的解,即Bη0≠0,顯然ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0線性無(wú)關(guān),若ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0線性相關(guān),則存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,kn-r,k0,使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0,若k0=0,則k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,因?yàn)棣?,ξ2,…,ξn-r線性無(wú)關(guān),所以k1=k2=…=kn-r=0,從而ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0線性無(wú)關(guān),所以k0≠0,故η0可由ξ1,ξ2,…,ξn-r,線性表示,由齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),有Bη0=0,矛盾,所以ξ1,ξ2,…,ξn-r,η0線性無(wú)關(guān),且為方程組ABX=0的解,從而n一r(AB)≥n一r+1,r(AB)≤r一1,這與r(B)=r(AB)矛盾,故方程組BX=0與ABX=0同解.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析27、設(shè)A,B,C,D都是n階矩陣,r(CA+DB)=n.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析28、求證:f(x,y)=Ax2+2Bocy+Cy2在約束條件下有最大值和最小值,且它們是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根.標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)閒(x,y)在全平面連續(xù)為有界閉區(qū)域,故f(x,y)在此約束條件下必有最大值和最小值.設(shè)(x1,y1),(x2,y2)分別為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn),令則(x1,y1),(x2,y2)應(yīng)滿(mǎn)足方程記相應(yīng)乘子為λ1,λ2,則(x1,y1,λ1)滿(mǎn)足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+C1y2同理λ2=2Ax22+2Bx2y2+Cy22,即λ1,λ2是f(x,y)在橢圓上的最大值和最小值.又方程組①和②有非零解,系數(shù)行列式為0,即化簡(jiǎn)得λ一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0,所以λ1,λ2是上述方程(即題目所給方程)的根.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)1、設(shè)f(x,y)=,則f(0,1)()A、等于1.B、等于0.C、不存在.D、等于一1.標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:fx(0,1)==1,故選A.2、設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,△z是f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全增量,則在點(diǎn)(x0,y0)處()A、△z=dz.B、△z=fx(x0,y0)△x+fy(x0,y0)△y.C、△z=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.D、△z=dz+o(ρ).標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:由于z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,則△z=fx(x0,y0)Ax+fy(x0,y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ),故選D.3、設(shè)=0,則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處()A、不連續(xù).B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在.C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.D、可微.標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:由=0知f(x,y)一f(0,0)+2x—y=o(ρ)(當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)),即有f(x,y)一f(0,0)=一2x+y+o(ρ),由微分的定義可知f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微,故選D.4、已知du(x,y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy,則()A、a=2,b=一2.B、a=3,b=2.C、a=2,b=2.D、a=一2,b=2.標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:由du(x,y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+σcos(x+2y))dy知即3axy2一2sin(x+2y)≡6xy2一bsin(x+2y),則a=2,b=2,故選C.5、已知f(x,y)=sin,則()A、fx(0,0),fy(0,0)都存在.B、fx(0,0)存在,但fy(0,0)不存在.C、fx(0,0)不存在,fy(0,0)存在.D、fx(0,0),fy(0,0)都不存在.標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:6、設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極小值,則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.B、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零.C、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零.D、f(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:因可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極小值,故有f’x(x0,y0)=0,f’y(x0,y0)=0.又由f’x(x0,y0)=,可知B正確.7、曲線在點(diǎn)(1,一1,0)處的切線方程為()A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:曲面x2+y2+z2=2在點(diǎn)(1,一1,0)處的法線向量為n1=(2,一2,0),平面x+y+z=0在點(diǎn)(1,一1,0)處的法線向量為n2=(1,1,1).則曲線,在點(diǎn)(1,一1,0)處的切向量為t=n1×n2=(一2,一2,4),則所求切線方程為,故選D.二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)8、設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f(x,xy),則=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案:xf"12+f’2+xyf"22知識(shí)點(diǎn)解析:由題干可知,=xf"12+f’2+xyf"22.9、二元函數(shù)f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:-知識(shí)點(diǎn)解析:由題干可知,f’x=2x(2+y2),f’y=2x2y+lny+1,10、函數(shù)f(x,y)=x2y(4一x—y)在由直線x+y=6,x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最小值是_________.標(biāo)準(zhǔn)答案:一64知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題意可知,得區(qū)域。內(nèi)駐點(diǎn)(2,1).則有f"xx=8y一6xy一2y2;f"xy=8x一3x2一4xy;f"yy=一2x2則A=一6,B=一4,C=一8,有AC—B2=32>0,且A<0.所以,點(diǎn)(2,1)是z=f(x,y)的極大值點(diǎn),且f(2,1)=4.當(dāng)y=0(0≤x≤6)時(shí),z=0;當(dāng)x=0(0≤y≤6)時(shí),z=0;當(dāng)x+y=6(0≤y≤6)時(shí),則z=2x3一12x2(0≤x≤6),且=6x2一24x.令=0,解得x=4.則y=2,f(4,2)=一64.且f(2,1)=4,f(0,0)=0.則z=f(x,y)在D上的最大值為f(2,1)=4,最小值為f(4,2)=一64.11、曲面z=x2+y2與平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案:2x+4y一z=5知識(shí)點(diǎn)解析:令F(x,y,z)=z一x2一y2,則F’x=一2x,F(xiàn)’y=一2y,F(xiàn)’z=1.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0,z0),則切平面的法向量為{一2x0,一2y0,1},其與已知平面2x+4y一z=0平行.因此有可解得x0=1,y0=2.相應(yīng)地有z0=x02+y02=5.故所求的切平面方程為2(x一1)+4(y一2)一(z—5)=0,即2x+4y一z=5.12、曲面z一(xy)2+2xy=3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:4x+2y+(1一ln2)z=8知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題意,令F(x,y,z)=z一(xy)z+2xy一3,那么有F’x(1,2,0)=2y一zxz—1yz|(1,2,0)=4,F(xiàn)’y(1,2,0)=2x一zxzyz—1|(1,2,0)=2,F(xiàn)’z(1,2,0)=1一(xy)zln(xy)|(1,2,0)=1一ln2.則所求切平面的方程為4(x一1)+2(y一2)+(1一ln2)z=0.即4x+2y+(1一ln2)z=8.13、函數(shù)u=ln(x+)在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)/4指向點(diǎn)B(3,一2,2)方向的方向?qū)?shù)為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)?4、函數(shù)f(x,y,z)=x3+y4+z2在點(diǎn)(1,1,0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值之積為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:一25知識(shí)點(diǎn)解析:函數(shù)f(x,y,z)在(1,1,0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值分別為f(x,y,z)在該點(diǎn)處梯度向量的模和梯度向量模的負(fù)值.gradf|(1,1,0)=(3,4,0),‖g‖==5.則函數(shù)f(x,y,z)=x3+t4+z2在點(diǎn)(1,1,0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值之積為‖g‖(一‖g‖)=一‖g‖2=一25.15、曲面z2+2y2+3z2=21在點(diǎn)(1,一2,2)的法線方程為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:令F(x,y,z)=x2+2y2+3z2一21,那么有F’x(1,一2,2)=2x|(1,—2,2)=2,F(xiàn)’y(1,一2,2)=4y|(1,—2,2)=8,F(xiàn)’z(1,一2,2)=6z|(1,—2,2)=12.因此,所求法線方程為16、曲線sin(xy)+ln(y一x)=x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_(kāi)________.標(biāo)準(zhǔn)答案:y=x+1知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)F(x,y)=sin(xy)+ln(y一x)一x,則故所求切線方程為y=x+1.三、解答題(本題共14題,每題1.0分,共14分。)17、證明可微的必要條件定理:設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,則f’x(x0,y0)與f’y(x0,y0)都存在,且=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)△y.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)z=f(x0,y0)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,則等式成立.令△y=0,于是知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、設(shè)z=f(x,y),x=g(y,z)+.標(biāo)準(zhǔn)答案:由z=f(x,y),有dz=f’1dx+f’2dy.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、已知=x+2y+3,u(0,0)=1,求u(x,y)及u(x,y)的極值,并問(wèn)此極值是極大值還是極小值?說(shuō)明理由.標(biāo)準(zhǔn)答案:由=2x+y+1,有u(x,y)=x2+zy+z+φ(y),再結(jié)合=x+2y+3,有x+φ’(y)=x+2y+3,得φ’(y)=2y+3,φ(y)=y2+3y+C.于是u(x,y)=x2+xy+x+y2+3y+C.又由u(0,0)=1得C=1,因此u(x,y)=x2+xy+y2+x+3y+1.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、求二元函數(shù)z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6,x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:先求在D內(nèi)的駐點(diǎn),即令再求f(x,y)在D邊界上的最值,(1)在x軸上y=0,所以f(x,0)=0.(2)在y軸上x(chóng)=0,所以f(0,y)=0.(3)在x+y=6上,將y=6一x代入f(x,y)中,得f(x,y)=2x2(x一6),則由f’x=6x2一24x=0,得x=0(舍),x=4,y=6一x=2.于是得駐點(diǎn),相應(yīng)的函數(shù)值f(4,2)=x2y(4一x一y)|(4,2)=一64.綜上所述,最大值為f(2,1)=4,最小值為f(4,2)=一64.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析21、設(shè)=x2+y2的解,求u。標(biāo)準(zhǔn)答案:其中C,C是任意常數(shù).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析22、設(shè)z=z(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足=0,若有z(x,2x)=x,z’(x,2x)=z’(x,y)|y=2x=x2,求z"11(x,2x)與z"12(x,2x).標(biāo)準(zhǔn)答案:z(x,2x)是z(x,y)與y=2x的復(fù)合函數(shù),先將z(x,2x)=x兩邊對(duì)x求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則z’1(x,2x)+2z’2(x,2x)=1,已知z’1(x,2x)=x2,于是x2+2z’2(x,2x)=1,再將它對(duì)x求導(dǎo)并由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2x+2z"21(x,2x)+4z"22(x,2x)=0.由z"21=z"12以及z"11=z"22,可得z"11(x,2x)與z"12(x,2x)滿(mǎn)足關(guān)系式2z"11(x,2x)+z"12(x,2x)=一x.將已知等式z’1(x,2x)=x2對(duì)x求導(dǎo)得z"11(x,2x)+2z"12(x,2x)=2x.由上面兩個(gè)關(guān)系式得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、設(shè)函數(shù)u=f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足等式=0.確定a,b的值,使等式在變換ξ=x+ay,η=x+by下簡(jiǎn)化為=0.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、設(shè)z=。標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、求函數(shù)f(x,y)=x2+2y2一x2y2在區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:先求D內(nèi)的駐點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值,由再求f(x,y)在D的邊界的最大值與最小值,D的邊界由三部分組成:一是直線段上f(x,y)=x2(0≤x≤2),最小值為0,最大值為4.二是線段上f(x,y)=2y2(0≤y≤2),最小值為0,最大值為8.于是f(x,y)在D的邊界上的最大值為8,最小值為0.最后通過(guò)比較知f(x,y)在D上的最大值為8,最小值為0.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析26、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(exsiny)滿(mǎn)足方程=(z+1)e2x,若f(0)=0,f’(0)=0,求函數(shù)f(u)的表達(dá)式.標(biāo)準(zhǔn)答案:此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程f"(u)—f(u)=0的通解為f(u)=C1eu+C2e—u,方程f"(u)一f(u)=1的一個(gè)特解為f(u)=一1.所以方f"(u)—f(u)=1的通解為f(u)=C1eu+C2e—u一1,其中C1,C2為任意常數(shù).由f(0)=0,f’(0)=0得C1=C2=(eu+e—u)一1.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析27、過(guò)橢圓3x2+2xy+3y2=1上任一點(diǎn)作橢圓的切線,試求該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)(x,y)為所給橢圓上任一點(diǎn),則可求得在(x,y)處的切線方程為(3x+y)(X一x)+(x+3y)(Y一y)=0,則只需求(3x+y)(x+3y)在條件3x2+2xy+3y2=1下的極值即可.設(shè)F(x,y,λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2一1),知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析28、設(shè)z=。標(biāo)準(zhǔn)答案:先求,并且f(x)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合,u是中間變量;φ(xy)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合,v是中間變量.由于方便,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析29、設(shè)。標(biāo)準(zhǔn)答案:本題確定兩個(gè)因變量,三個(gè)自變量.由第一個(gè)方程來(lái)看,u是因變量,x,y,t是自變量,由第二個(gè)方程來(lái)看,z是因變量.因此確定x,y,t為自變量,u,z為因變量.于是將方程組對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析30、設(shè)f(u)(u>0)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且z==16(x2+y2)z,求f(u).標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)1、設(shè)f(x,y)=則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處A、連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在.B、連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在.C、不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在.D、不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在.標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:這是討論f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處是否連續(xù),是否可偏導(dǎo).先討論f(x,y)在點(diǎn)(0,0)出是否可偏導(dǎo).由于f(x,0)=0(x∈(-∞,+∞)),則=0.因此(B),(D)被排除.再考察f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性.令y=x3,則≠f(0,0),因此f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).故應(yīng)選(C).2、在曲線的所有切線中,與平面x+2y+z=4平行的切線A、只有一條.B、只有兩條.C、至少有三條.D、不存在.標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:t0∈(-∞,+∞),該曲線在點(diǎn)M0(x(t0),y(t0),z(t0))=(t0,)的切線方程為該切線與平面x+2y+z=4平行的充要條件是,切線的方向向量(1,-2t0,)與平面的法向量(1,2,1)垂直,即(1,-2t0,或t0=1,且M0不在該平面上.因此選(B).3、設(shè)f′(u)≠0,上點(diǎn)P0(x0,y0,z0)(x0=f())處的法線與z軸的關(guān)系是A、平行.B、異面直線.C、垂直相交.D、不垂直相交.標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:曲面在點(diǎn)P0處的法向量為其中r0=因f′(r0)≠0,x0與y0不同時(shí)為零n與k不平行(即n與z軸不平行).又法線與z軸相交.又k.n≠0法線與z軸不垂直.因此選(D).4、下列函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:注意≤1.在(A),(B)中分別有f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).因此選(C).5、設(shè)z=f(x,y)=,則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處A、可微.B、偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.C、連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)不存在.D、偏導(dǎo)數(shù)存在,但不連續(xù).標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)△z=f(x,y)一f(0,0),則可知△z=△z=0.這表明f(x,y)=在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).因f(x,0)=0(f(x,0)|x=0=0,同理.f′y(0,0)=0.令α=△z一f′x(0,0)△x—f′y(0,0)△y=,當(dāng)(△x,△y)沿y=x趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)即α不是ρ的高階無(wú)窮小,因此f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微,故選(B).6、設(shè)z=f(x,y)=則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處A、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).B、偏導(dǎo)數(shù)不存在,但連續(xù).C、偏導(dǎo)數(shù)存在,可微.D、偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:由偏導(dǎo)數(shù)定義可知這說(shuō)明f′x(0,0)存在且為0,同理f′y(0,0)存在且為0.又所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微分.故選(C).二、解答題(本題共30題,每題1.0分,共30分。)7、求下列極限:標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)(Ⅱ)由x4+y2≥2x2|y|而=0.因此原極限為0.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析8、證明極限不存在.標(biāo)準(zhǔn)答案:(x,y)沿不同的直線y=kx趨于(0,0),有再令(x,y)沿拋物線y2=x趨于(0,0),有由二者不相等可知極限不存在.知識(shí)點(diǎn)解析:先考察(x,y)沿不同的直線趨于(0,0)時(shí)f(x,y)的極限.若不同,則得證;若相同,再考察點(diǎn)(x,y)沿其他特殊的路徑——曲線趨于(0,0)時(shí)f(x,y)的極限.9、(Ⅰ)設(shè)f(x,y)=x2+(y-1)arcsin(Ⅱ)設(shè)f(x,y)=標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)因f(x,1)=x2,故=4.又因f(2,y)=4+(y-1)arcsin,故(Ⅱ)按定義類(lèi)似可求=0(或由x,y的對(duì)稱(chēng)性得).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析10、求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù):標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)按定義故(Ⅱ)將上式對(duì)y求導(dǎo),得把x=2,y=代入上式,得=e-2(-π2cos2π+2π3sin2π+2π2cos2π)==-π2[e-x(1-x)cosπx-xe-xπsinπx]|x=2=知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析11、設(shè)z=f(u,v,x),u=φ(x,y),v=ψ(y)都是可微函數(shù),求復(fù)合函數(shù)z=f(φ(x,y),ψ(y),x)的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案:由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析12、設(shè)z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]的一階與二階偏導(dǎo)數(shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:已求得第一步,先對(duì)的表達(dá)式用求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則得(*)第二步,再求.這里f(u,v)對(duì)中間變量u,v的導(dǎo)數(shù)仍然是u,v的函數(shù),而u,v還是x,y的函數(shù),它們的復(fù)合仍是x,y的函數(shù),因而還要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求,.即第三步,將它們代入(*)式得(**)用類(lèi)似方法可求得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析13、設(shè)u=f(x,y,z,t)關(guān)于各變量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而其中由方程組①確定z,t為y的函數(shù),求標(biāo)準(zhǔn)答案:注意z=z(y),t=t(y),于是②因此,我們還要求將方程組①兩邊對(duì)y求導(dǎo)得記系數(shù)行列式為W=(y-t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint),則代入②得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析14、設(shè)u=u(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明:在極坐標(biāo)變換x=rcosθ,r=rsinθ下有標(biāo)準(zhǔn)答案:利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,有再對(duì)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及(*)式可得于是【注】在極坐標(biāo)變換x=rcosθ,γ=rsinθ下,拉普拉斯方程知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、設(shè)函數(shù)z=(1+ey)cosx-yey,證明:函數(shù)z有無(wú)窮多個(gè)極大值點(diǎn),而無(wú)極小值點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)先計(jì)算(Ⅱ)求出所有的駐點(diǎn).由解得(x,y)=(2nπ,0)或(x,y)=((2n+1)π,-2),其中,n=0,±1,±2,…(Ⅲ)判斷所有駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn),是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).在(2nπ,0)處,由于=(-2)×(-1)-0=2>0,=-2<0.則(2nπ,0)是極大值點(diǎn).在((2n+1)π,-2)處,由于=(1+e-2)(-e-2)=<0.則((2n+1)π,-2)不是極值點(diǎn).因此函數(shù)z有無(wú)窮多極大值點(diǎn)(2nπ,0)(n=0,±1,±2,…),而無(wú)極小值點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析16、求函數(shù)z=x2y(4-x-y)在由直線x+y=6,x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:區(qū)域D如圖8.1所示,它是有界閉區(qū)域.z(x,y)在D上連續(xù),所以在D上一定有最大值與最小值,它或在D內(nèi)的駐點(diǎn)達(dá)到,或在D的邊界上達(dá)到.為求D內(nèi)駐點(diǎn),先求=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y),=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y).再解方程組得z(x,y)在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的邊界y=0,0≤x≤6或x=0,0≤y≤6上z(x,y)=0;在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6-x代入得z(x,y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2),0≤x≤6.令h(x)=2(x3-6x2),則h′(x)=6(x2-4x),h′(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0,最小值為-64.因此,z(x,y)=-64.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、已知平面曲線Ax2+2Bxy+Cy2=1(C>0,AC-B2>0)為中心在原點(diǎn)的橢圓,求它的面積.標(biāo)準(zhǔn)答案:橢圓上點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離平方為d2=x2+y2,條件為Ax2+2Bxy+Cy2-1=0.令F(x,y,λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1),解方程組將①式乘x,②式乘y,然后兩式相加得[(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)γ2]=0,即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ,于是可得d=.從直觀知道,函數(shù)d2的條件最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)是存在的,其坐標(biāo)不同時(shí)為零,即聯(lián)立方程組F′x=0,F(xiàn)′y=0有非零解,其系數(shù)行列式應(yīng)為零,即該方程一定有兩個(gè)根λ1,λ2,它們分別對(duì)應(yīng)d2的最大值與最小值.因此,橢圓的面積為知識(shí)點(diǎn)解析:只需求橢圓的半長(zhǎng)軸a與半短軸b,它們分別是橢圓上的點(diǎn)到中心(原點(diǎn))的距離的最大值與最小值.因此,歸結(jié)為求解條件極值問(wèn)題.18、求函數(shù)u=ln(x+)在點(diǎn)A(1,0,1)沿點(diǎn)A指向B(3,-2,2)方向的方向?qū)?shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:先求=(3-1,-2-0,2-1)=(2,-2,1),l=(2,-2,1).再求于是知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、設(shè)有曲面S:=1,平面∏:2x+2y+z+5=0.(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程;(Ⅱ)求曲面S與平面∏之間的最短距離.標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)先寫(xiě)出曲面S上任意點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切平面方程.記S的方程為F(x,y,z)=0,F(xiàn)(x,y,z)=-1,則S上點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切平面方程為F′x(M0)(x-x0)+F′y(M0)(y-y0)+F′z(M0)(z-z0)=0,其中F′x(M0)=x0,F(xiàn)′y(M0)=2y0,F(xiàn)′z(M0)=z0.該切平面與平面∏平行它們的法向量共線即成比例=λ,且2x0+2y0+z0+5≠0.因?yàn)镸0(x0,y0,z0)在S上,所以它滿(mǎn)足方程即4λ2=1.λ=±于是,(x0,y0,z0)=±(1,,1)顯然,(x0,y0,z0)不在平面∏上.相應(yīng)的切平面方程是即x+y+z-2=0,x+y+z+2=0.這就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程.(Ⅱ)橢球面S是夾在上述兩個(gè)切平面之間,故曲面S上切點(diǎn)到平面∏的距離最短或最長(zhǎng)因此,曲面S到平面∏的最短距離為d2=知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析20、求曲線Г:在點(diǎn)M0(1,1,3)處的切線與法平面方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:這兩個(gè)曲面在點(diǎn)M0的法向量分別為n0=(2x,0,2z)|(1,1,3)=2(1,0,3),n2=(0,2y,2z)|(1,1,3)=2(0,1,3).切線的方向向量與它們均垂直,即有l(wèi)=n2×n2==-3i-3j+k.可取方向向量l=(3,3,-1),因此切線方程為法平面方程為3(x-1)+3(y-1)-(z-3)=0,即3x+3y-z-3=0.知識(shí)點(diǎn)解析:關(guān)鍵是求切線的方向向量.這里沒(méi)給出曲線的參數(shù)方程,而是給出曲面的交線方程,曲面的交線的切線與它們的法向均垂直,由此可求出切線的方向向量l.21、設(shè)z(x,y)滿(mǎn)足求z(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案:把y看作任意給定的常數(shù),將等式①兩邊對(duì)x求積分得z(x,y)=-xsiny-ln|1-xy|+φ(y),其中φ(y)為待定函數(shù).由②式得-siny-ln|1-y|+φ(y)=siny,故φ(y)=2siny+ln|1-y|.因此,z(x,y)=(2-x)siny+.知識(shí)點(diǎn)解析:實(shí)質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問(wèn)題.當(dāng)y任意給定時(shí),求z(x,y)就是x的一元函數(shù)的積分問(wèn)題,但求積分后還含有y的任意函數(shù),要由z(1,y)定出這個(gè)任意函數(shù).22、設(shè)f(x,y)=(Ⅰ)求;(Ⅱ)討論f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的可微性,若可微并求df|(0,0).標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí),當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),因f(x,0)=0由對(duì)稱(chēng)性得當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí)(Ⅱ)考察在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性.注意即在點(diǎn)(0,0)處均連續(xù),因此f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.于是知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、設(shè)z=(x2+y2)求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案:由一階全微分形式不變性及全微分四則運(yùn)算法則得由dz的表達(dá)式得(2x+y).對(duì)y求導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、設(shè)z=f(xy)+yφ(x+y),且f,φ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求標(biāo)準(zhǔn)答案:先求.由于f(xy)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合,u是中間變量,φ(x+y)是一元函數(shù)φ(Ⅴ)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合,v是中間變量.由題設(shè)知方便,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得=f′(xy)+φ(x+y)+yφ′(x+y),=yf″(xy)+φ′(x+y)+yφ″(x+y).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、設(shè)u=,求du及.標(biāo)準(zhǔn)答案:u=復(fù)合而成的x,y,z的三元函數(shù).先求du(從而也就求得也就可求得du,然后再由由一階全微分形式的不變性及全微分的四則運(yùn)算法則,得從而因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析26、設(shè)z=z(x,y)是由方程xy+x+y-z=ez所確定的二元函數(shù),求dz,標(biāo)準(zhǔn)答案:將方程兩邊求全微分后求出出,由dz可求得分別對(duì)x,y求導(dǎo)求得將方程兩邊同時(shí)求全微分,由一階全微分形式不變性及全微分的四則運(yùn)算法則,得ydx+xdy+dx+dy-dz=ezdx,解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy].從而再將對(duì)x求導(dǎo)得代入的表達(dá)式得最后求出知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析27、設(shè)由方程φ(bz-cy,cx-az,ay-bx)=0(*)確定隱函數(shù)z=z(x,y),其中φ對(duì)所有變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),a,b,c為非零常數(shù),且bφ′1-aφ′2≠0,求a+b標(biāo)準(zhǔn)答案:將方程(*)看成關(guān)于x,y的恒等式,兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)得由①×a+②×b,可得因此知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析28、設(shè)求.標(biāo)準(zhǔn)答案:將方程組對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得解得將方程組對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)同樣可得知識(shí)點(diǎn)解析:在題設(shè)的兩個(gè)方程中共有五個(gè)變量x,y,z,t和u.按題意x,y是自變量,u是因變量,從而由第二個(gè)方程知z應(yīng)是因變量,即第二個(gè)方程確定z是x,y的隱函數(shù).這樣一來(lái)在五個(gè)變量中x,y和t是自變量,u與z是因變量.29、設(shè)z=z(x,y)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)并滿(mǎn)足①(Ⅰ)作變量替換u=3x+y,v=x+y,以u(píng),v作為新的自變量,變換上述方程;(Ⅱ)求滿(mǎn)足上述方程的z(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)將z對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為z對(duì)u,v的偏導(dǎo)數(shù).由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得這里仍是u,v的函數(shù),而u,v又是x,y的函數(shù),因而將②,③,④代入原方程①得即原方程①變成=0⑤(Ⅱ)由題(Ⅰ),在變量替換u=3x+y,v=x+y下,求解滿(mǎn)足①的z=z(x,y)轉(zhuǎn)化為求解滿(mǎn)足⑤的z=z(u,v).由⑤式=f(u),其中f(u)為任意的有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)再對(duì)u積分得z=φ(u)+ψ(Ⅴ),其中φ,ψ為任意的有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù).回到原變量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析30、在半徑為R的圓的一切內(nèi)接角形中.求出其面積最大者.標(biāo)準(zhǔn)答案:用x,y,z表示三角形各邊所對(duì)的中心角,則三角形的面積S可用x,y,z,R表示為其中z=2π-x-y,將其代入得S=R2[sinx+siny-sin(x+y)],定義域是D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤2π}.現(xiàn)求S(x,y)的駐點(diǎn):R2[cosx-cos(x+y)],R2[cosy-cos(x+y)].解=0,得唯一駐點(diǎn):(x,y)=()在D內(nèi)部,又在D的邊界上即x=0或Yy=0或x+y=2π時(shí)S(x,y)=0.因此,S在()取最大值.因x=y=,因此內(nèi)接等邊三角形面積最大.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析31、在空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,有一單位正電荷,設(shè)另一單位負(fù)電荷在橢圓z=x2+y2,x+y+z=1上移動(dòng),問(wèn)兩電荷間的引力何時(shí)最大,何時(shí)最小?標(biāo)準(zhǔn)答案:用拉格朗日乘子法.令F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1),解方程組由前三個(gè)方程得x=y,代入后兩個(gè)方程得解得x=y=.記M1,可算得g(M1)=9-5.從實(shí)際問(wèn)題看,函數(shù)g的條件最大與最小值均存在,所以g在點(diǎn)M1,M2分別達(dá)到最小值和最大值,因而函數(shù)f在點(diǎn)M1,M2分別達(dá)到最大值和最小值,即兩個(gè)點(diǎn)電荷間的引力當(dāng)單位負(fù)電荷在點(diǎn)M1處最大,在點(diǎn)M2處最?。R(shí)點(diǎn)解析:當(dāng)負(fù)點(diǎn)電荷在點(diǎn)(x,y,z)處時(shí),兩電荷間的引力大小為f(x,y,z)=.負(fù)點(diǎn)電荷又在橢圓上,于是問(wèn)題化為求函數(shù)f(x,y,z)在條件x2+y2-z=0,x+y+z-1=0下的最大值和最小值.為簡(jiǎn)單起見(jiàn),考慮函數(shù)g(x,y,z)=x2+y2+z2,f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍數(shù)).于是問(wèn)題又化為求函數(shù)g(x,y,z)=x2+y2+z2在條件x2+y2-z=0,x+y+z-1=0條件下的最大值和最小值.32、曲面2x2+3y2+z2=6上點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量為n,求函數(shù)u=在點(diǎn)P處沿方向n的方向?qū)?shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:首先求出方向露及其方向余弦.曲面F(x,y,z)=2x2+3y2+z2-6=0,在P處的兩個(gè)法向量是±=±(4x,6y,2z)|p=±2(2,3,1),點(diǎn)P位于第一卦限,橢球面在P處的外法向的坐標(biāo)均為正值,故可取n=(2,3,1).它的方向余弦為知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析33、設(shè)在xOy平面上,各點(diǎn)的溫度T與點(diǎn)的位置間的關(guān)系為T(mén)=4x2+9y2,點(diǎn)P0為(9,4),求:(Ⅰ)gradT|p0;(Ⅱ)在點(diǎn)P0處沿極角為210°的方向l的溫度變化率;(Ⅲ)在什么方向上點(diǎn)P0處的溫度變化率取得:1°最大值;2°最小值;3°零,并求此最大、小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)按梯度的定義gradT|p0==(8x,18y)|p0=72(1,1).(Ⅱ)求P0點(diǎn)處沿l方向的溫度變化率即求.按方向用極角表示時(shí)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式得(Ⅲ)溫度T在P0點(diǎn)的梯度方向就是點(diǎn)P0處溫度變化率(即)取最大值的方向,且最大值為|gradT|p0|=72.溫度T在P0點(diǎn)的負(fù)梯度方向,即-gradT|p0=-72(1,1)就是點(diǎn)P0處溫度變化率取最小值方向,且最小值為-|gradT|p0|=-72.與p0處梯度垂直的方向即±就是點(diǎn)p0處溫度變化率為零的方向.因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析34、設(shè)F(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求曲面S:F=0上點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切平面方程,并證明切平面過(guò)定點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)答案:記G(x,y,z)=F,曲面S的方程可寫(xiě)為G(x,y,z)=0,則S上任一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的法向量為其中于是曲面S上點(diǎn)M0處的切平面方程是即上式左端中令x=y=z=0得即切平面通過(guò)定點(diǎn)(0,0,0).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析35、證明曲線Г:x=aetcost,y=aetsint,z=aet與錐面S:x2+y2=z2的各母線(即錐面上點(diǎn)(x,y,z)與頂點(diǎn)的連線)相交的角度相同,其中a為常數(shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:曲線Г的參數(shù)方程滿(mǎn)足x2+y2=z2,于是Г在錐面S上,Г上任一點(diǎn)(x,y,z)處的母線方向l={x,y,z},切向量T={x′,y′,z′}={aet(cost-sint),aet(cOst+sint),aet}={x-y,x+y,z}.因此即曲線Г與錐面S的各母線相交的角度相同.知識(shí)點(diǎn)解析:先求Г的切向量T={x′(t),y′(t),z′(t)}以及錐面上點(diǎn)(x,y,z)的母線方向,即它與錐的頂點(diǎn)(0,0,0)的連線方向l=(x,y,z),最后考察cos(T,l).36、設(shè)f(u)(u>0)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且z=f(ex2-y2)滿(mǎn)足方程=16(x2+y2)z,求f(u).標(biāo)準(zhǔn)答案:令u=ex2-y2,則有其中=-2yex2-y2=-2yu.進(jìn)而可得=4x2u2f″(u)+(2u+4x2u)f′(u),=4y2u2f″(u)-(2u-4y2u)f′(u).所以=4(x2+y2)u2f″(u)+4(x2+y2)uf′(u).由題設(shè)條件,得u2f″(u)+uf′(u)-4f(u)=0.這是歐拉方程,令u=et,方程化為-4z=0(z=f(u)),解此二階線性常系數(shù)齊次方程得z=C1e2t+C2e-2t,即z=f(u)=C1u2+,其中C1,C2為常數(shù).知識(shí)點(diǎn)解析:z=f(ex2-y2)是z=f(u)與u=ex2-y2的復(fù)合函數(shù),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可導(dǎo)出與f′(u),f″(u)的關(guān)系式,從而由=16(x2+y2)z導(dǎo)出f(u)的微分方程式,然后解出f(u).考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、設(shè)f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且φ(0,0)=0,則f(,y)在點(diǎn)(0,0)處A、連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)不存在.B、不連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)存在.C、可微.D、不可微.標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:逐項(xiàng)分析:(Ⅰ)|x—y|在(0,0)連續(xù),φ(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.選(C).2、在下列二元函數(shù)中,(0,0)的二元函數(shù)是A、f(x,y)=x4+2x2y2+y10.B、f(x,y)=ln(1+x2+y2)+cosxy.C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:對(duì)于(A),(B):f(x,y)均是二元初等函數(shù),.因而(C),(D)中必有一個(gè)是f″xy(0,0)=f″yx(0,0),而另一個(gè)是f″xy(0,0)≠f′yx(0,0).現(xiàn)考察(C).(x,y)≠(0,0)時(shí),因此,f″xy(0,0)≠f″yx(0,0).選(C).3、設(shè)u(x,y)在M0取極大值,且.則A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),把二元函數(shù)的極值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值.由一元函數(shù)的極大值的必要條件可得相應(yīng)結(jié)論.令f(x)=u(x,y0)x=x0是f(x)的極大值點(diǎn)(若>0,則x=x0是f(x)的極小值點(diǎn),于是得矛盾).同理,令g(y)=u(x0,y)y=y0是g(y)的極大值點(diǎn)因此,選(C).4、設(shè)f(x,y)在(x0,y0)鄰域存在偏導(dǎo)數(shù)且偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù),則下列結(jié)論中正確的是A、f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微且B、f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不可微.C、f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)沿方向方向?qū)?shù).D、曲線在點(diǎn)(x0,y0,f(x0,y0))處的切線的方向向量是標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:當(dāng)f(x,y)在(x0,y0)鄰域偏導(dǎo)數(shù),而在(x0,y0)不連續(xù)時(shí),不能確定f(x,y)在(x0,y0)是否可微,也不能確定它在(x0,y0)是否存在方向?qū)?shù).故(A),(B),(C)不正確,只有(D)正確.或直接考察曲線它在點(diǎn)(x0,y0,f(x0,y0))處的切向量是故(D)正確.二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)5、設(shè)z=f(t,et)dt,其中f是二元連續(xù)函數(shù),則dz=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案:f(x2y,ex2y)(2xydx+x2dy)知識(shí)點(diǎn)解析:dz=f(x2y,ex2y)d(x2y)=f(x2y,ex2y)(2xydx+x2dy).6、設(shè)z=z(x,y)滿(mǎn)足方程2z-ez+2xy=3且z(1,2)=0,則dz|(1,2)=___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:一4dx一2dy知識(shí)點(diǎn)解析:將方程分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得’令x=1,y=2,z=0得dz|(1,2)=-4dx-2dy.7、設(shè)z=yf(x2-y2),其中f(u)可微,則=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:=yf′(x2一y2).2x=2xyf′(x2一y2),=yf′(x2一y2)(一2y)+f(x2一y2)=-2y2f′(x2一y2)+f(x2一y2),8、設(shè)f(x,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),滿(mǎn)足f(1,2)=1,f′x(1,2)=2,f′y(1,2)=3,Ф(x)=f(x,2f(x,2f(x,2x))),則Ф′(1)=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案:302知識(shí)點(diǎn)解析:Ф(x)=f(x,u(x)),u(x)=2f(x,v(x)),v(x)=2f(x,2x),v(1)=2f(1,2)=2,u(1)=2f(1,v(1))=2f(1,2)=2,Ф′(1)=(1,2)u′(1)=2+3u′(1),u′(1)=2[(1,2)v′(1)]=2[2+3v′(1)],v′(1)=2[(1,2)]=2(2+2.3)=16.往回代u′(1)=2(2+3.16)=100,Ф′(1)=2+3.100=302.9、設(shè)x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù),并且F(x,y,z)滿(mǎn)足隱函數(shù)存在定理的條件,則=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案:一1知識(shí)點(diǎn)解析:由隱函數(shù)求導(dǎo)法知(如,由F(x,y,z)=0確定x=x(y,z),將方程對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得其余類(lèi)似).將這三式相乘得10、函數(shù)z=1-(x2+2y2)在點(diǎn)M0()處沿曲線C:x2+2y2=1在該點(diǎn)的內(nèi)法線方向n的方向?qū)?shù)為_(kāi)___________.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:M0在曲線C上,C在M0點(diǎn)的內(nèi)法線方向n=-grad(x2+2y2—1)=-(2x,4y)|M0,單位內(nèi)法向n0=gradz|M0=-grad(x2+2y2)|M0=-(,2).按方向?qū)?shù)計(jì)算公式,11、過(guò)曲面z-ez+2xy=3上點(diǎn)M0(1,2,0)處的切平面方程為_(kāi)__________.標(biāo)準(zhǔn)答案:2x+y一4=0知識(shí)點(diǎn)解析:曲面方程F(x,y,z)=0,F(xiàn)(x,y,z)=z—ez+2xy一3,={2y,2x,1一ez},gradF|M0={4,2,0}=2{2,1,0}.點(diǎn)M0的切平面方程為2(x一1)+(y一2)=0,即2x+y一4=0.12、過(guò)曲面z=4-x2-y2上點(diǎn)尸處的切平面平行于2x+2y+z一1=0,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.標(biāo)準(zhǔn)答案:(1,1,2)知識(shí)點(diǎn)解析:P(x,y,z)處一個(gè)法向量n={2x,2y,1},平面2x+2y+z一1=0的法向量n0={2,2,1},由n=λn0x=λ,y=λ,λ=1x=1,y=1,z=4—1—1=2,因此P點(diǎn)是(1,1,2).13、曲線在M0(1,1,2)處的切線方程為_(kāi)__________,法平面方程為_(kāi)__________.標(biāo)準(zhǔn)答案:y一x=0知識(shí)點(diǎn)解析:M0在曲線上,M0處的切向量=[(一4yz+4y)i+(一4x+4xz)j+(8xy一8xy)k]M0=一4i+4j=4{一1,1,0}.M0處切線方程法平面方程一(x一1)+(y一1)=0,即y一x=0.三、解答題(本題共24題,每題1.0分,共24分。)14、設(shè)z=f(x,y)滿(mǎn)足=sinx,求f(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案:=2xy+φ(x),φ(x)為x的任意函數(shù)f(x,y)=xy2+φ(x)y+ψ(x),ψ(x)也是x的任意函數(shù).由=sinx,[2xy+φ(x)]|y=0=sinx,則φ(x)=sinx.由f(x,1)=0,得[xy2+φ(x)y+ψ(x)]|y=1=x+sinx+ψ(x)=0,則ψ(x)=-x-sinx.因此,f(x,y)=xy2+ysinx一x一sinx.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析15、設(shè)u=yf.標(biāo)準(zhǔn)答案:知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析16、設(shè)u=u(x,y)由方程u=φ(u)+P(t)dt確定,其中φ可微,P連續(xù),且φ′(u)≠1,求P(y)+p(x).標(biāo)準(zhǔn)答案:原方程對(duì)x求導(dǎo)+P(x).①將原方程對(duì)y求導(dǎo)-P(y).②由①×P(y)+②×P(x)得由于φ′(u)≠1P(x)=0.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析17、設(shè)函數(shù)u(x,y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),滿(mǎn)足=0,又滿(mǎn)足下列條件:u(x,2x)=x,u′x(x,2x)=x2(即u′x(x,y)|y=2x=x2),求u″xx(x,2x),u″xy(x,2x),u″yy(x,2x).標(biāo)準(zhǔn)答案:將u(x,2x)=x兩邊對(duì)x求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及(x,2x)=x2得(1-x2).現(xiàn)將(1一x2)分別對(duì)x求導(dǎo)得①式×2一②式,利用條件(x,2x)得代入①式得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析18、設(shè)u=.標(biāo)準(zhǔn)答案:u是u=f(s,t)與s=復(fù)合而成的x,y,z的三元函數(shù).先求du.由一階全微分形式不變性及全微分四則運(yùn)算法則,得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析19、已知函數(shù)f(x,y,z)=x3y2z及方程x+y+z-3+e-3=e-(x+y+z),(*)(Ⅰ)如果x=x(y,z)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足x(1,1)=1,又u=f(x(y,z),y,z),求;(Ⅱ)如果z=z(x,y)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足z(1,1)=1,又ω=f(x,y,z(x,y)),求;標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)依題意,為f[x(y,z),y,z]對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),故有①因?yàn)轭}設(shè)方程(*)確定x為y,z的隱函數(shù),所以在(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)將x看成常量,從而有由此可得=-1.代入①式,得(Ⅱ)同(Ⅰ)一樣,求得在題設(shè)方程(*)中將x看成常量,對(duì)y求導(dǎo),可得=-1,故有知識(shí)點(diǎn)解析:f是x,y,z的函數(shù),而x和z又分別是y,z和x,y的函數(shù),所以在(Ⅰ)中把x看成中間變量,在(Ⅱ)中把z看成中間變量.20、設(shè)z=f(x,y,u),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),u(x,y)由方程u3-5xy+5u=1確定.求.標(biāo)準(zhǔn)答案:將方程u5—5xy+5u=1兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得5u4,故在上式對(duì)x求導(dǎo)數(shù)時(shí),應(yīng)注意其中的仍是x,y,u的函數(shù),而u又是x,y的函數(shù),于是知識(shí)點(diǎn)解析:z是x,y,u的函數(shù),而u是由方程u5—5xy+5u=1所確定的x,y的隱函數(shù),所以本題是隱函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題.21、設(shè)y=f(x,t),且方程F(x,y,t)=0確定了函數(shù)t=t(x,y),求.標(biāo)準(zhǔn)答案:由y=f(x,t(x,y))兩端對(duì)x求導(dǎo)得①而t=t(x,y)由F(x,y,t)=0所確定,則將的表達(dá)式代入①式即得知識(shí)點(diǎn)解析:由本題要求的知,y應(yīng)該是x的一元函數(shù),分析清楚這一點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.由題設(shè)知F(x,y,t)=0確定了t=t(x,y),將t=t(x,y)代入y=f(x,t)得y=f(x,t(x,y)),這是關(guān)于x和y的方程,它可確定y是x的一元函數(shù).另一種方法是利用一階全微分形式不變性求解.上面兩種解法都是由方程式確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.另一種思路是,看作由方程組確定的隱函數(shù)問(wèn)題,其中x為自變量,y與t為因變量(兩個(gè)方程確定兩個(gè)因變量),然后求出.22、若可微函數(shù)z=f(x,y)在極坐標(biāo)系下只是θ的函數(shù),求證:x=0(r≠0).標(biāo)準(zhǔn)答案:由z=f(rcosθ,rsinθ)與r無(wú)關(guān)=0.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析23、作自變量與因變量變換:u=x+y,v=x-y,w=xy-z,變換方程為w關(guān)于u,v的偏導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足的方程,其中z對(duì)x,y有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:由于z=xy一w,則知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析24、設(shè)u=u(x,y),v=v(x,y)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足條件:F(u,v)=0,其中F有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)答案:將方程F(u,v)=0分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得按題設(shè),這個(gè)齊次方程有非零解,其系數(shù)行列式必為零,即知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、設(shè)z=z(x,y)滿(mǎn)足≠0,由z=z(x,y)可解出y=y(z,x).求:(Ⅰ);(Ⅱ)y=y(z,x).標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)以z,x為自變量,y為因變量y=y(z,x),它滿(mǎn)足z=z(x,y(z,x)).將z=z(x,y)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得0=再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得將代入上式,得(Ⅱ)因y=y(z,x),y=xφ(z)+ψ(z).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析26、設(shè)f(x,y)=2(y-x2)2-x7-y2.(Ⅰ)求f(x,y)的駐點(diǎn);(Ⅱ)求f(x,y)的全部極值點(diǎn),并指明是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)答案:(Ⅰ)解即駐點(diǎn)為(0,0)與(一2,8).(Ⅱ)A==2.在(一2,8)處,,AC—B2>0,A>0(一2,8)為極小值點(diǎn).在(0,0)處,,AC—B2=0,該方法失效.但令x=0f(0,y)=y2,這說(shuō)明原點(diǎn)鄰域中y軸上的函數(shù)值比原點(diǎn)函數(shù)值大,又令y=x2,f(x,x2)=x3),這說(shuō)明原點(diǎn)鄰域中拋物線y=x2上的函數(shù)值比原點(diǎn)函數(shù)值小,所以(0,0)不是極值點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析27、求z=2x+y在區(qū)域D:x2+≤1上的最大值與最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案:令F(x,y,λ)=2x+y+λ(x2+一1),解方程組由①,②得y=2x,代入③得x=相應(yīng)地因?yàn)閦在D存在最大、最小值z(mì)在D的最大值為,最小值為知識(shí)點(diǎn)解析:因z=2x+y在D內(nèi)無(wú)駐點(diǎn)z在D的最值于D的邊界上達(dá)到,故歸結(jié)為求z=2x+y在條件x2+-1=0下的最大值與最小值.28、設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)g(y)連續(xù)可導(dǎo),且g(y)在y=1處取得極值g(1)=2.求復(fù)合函數(shù)z=f(xg(y),x+y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,1)處的值.標(biāo)準(zhǔn)答案:計(jì)算可得將x=1與y=1代入并利用g(1)=2,g′(1)=0即得知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析29、設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),f′y(a,b)≠0,證明由方程f(x,y)=0在x=a的某鄰域所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是:f(a,b)=0,f′x(a,b)=0,且當(dāng)r(a,b)>0時(shí),b=φ(a)是極大值;當(dāng)r(a,b)<0時(shí),b=φ(a)是極小值.其中標(biāo)準(zhǔn)答案:y=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φ′(a)=0.按隱函數(shù)求導(dǎo)法,φ′(x)滿(mǎn)足f′x(x,φ(x))+f′y(x,φ(x))φ′(x)=0.(*)因b=φ(a),則有f(a,b)=0,φ′(a)==0,于是f′x(a,b)=0.將(*)式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f″xx(x,φ(x))+f″xy(x,φ(x))φ′(x)+[f′y(x,φ(x))]φ′(x)+f′y(x,φ(x))φ″(x)=0,上式中令x=a,φ(a)=b,φ′(a)=0,得因此當(dāng)>0時(shí),φ″(a)<0,故b=φ(a)是極大值;當(dāng)<0時(shí),φ″(a)>0,故b=φ(a)是極小值.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析30、造一容積為V0的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水池,問(wèn)其長(zhǎng)、寬、高為何值時(shí)有最小的表面積.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)長(zhǎng)、寬、高各為x,y,z,則表面積為S=xy+2(xz+yz),容積V0=xyz.問(wèn)題是求三元函數(shù)S在條件xyz—V0=0下的最小值點(diǎn).化為無(wú)條件最值問(wèn)題.由條件解出z==xy+2V0(x>0,y>0).因該實(shí)際問(wèn)題存在最小值,所以當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水池的表面積最?。R(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析31、已知三角形的周長(zhǎng)為2p,將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一立體,求使立體體積最大的那個(gè)三角形.標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,并設(shè)以AC邊為旋轉(zhuǎn)軸(見(jiàn)圖8.1),AC上的高為h,則旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為V=πh2b.又設(shè)三角形的面積為S,于是有所以V=(P—a)(P—b)(P—c).問(wèn)題化成求V(a,b,c)在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn),等價(jià)于求V0(a,b,c)=ln(P一a)(p一b)(p—c)=ln(p一a)+ln(p一b)+ln(p—c)一lnb在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn).用拉格朗日乘子法.令F(a,b,c,λ)=V0(a,b,c)+λ(a+b+c一2p),求解方程組比較①,③得a=c,再由④得b=2(p一a).⑤比較①,②得b(p一b)=(p一a)p.⑥由⑤,⑥解出b=由實(shí)際問(wèn)題知,最大體積一定存在,而以上解又是方程組的唯一解.因而也是條件最大值點(diǎn).所以當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)分別為的邊旋轉(zhuǎn)時(shí),所得立體體積最大.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析32、證明條件極值點(diǎn)的必要條件(8.9)式,并說(shuō)明(8.9)式的幾何意義.標(biāo)準(zhǔn)答案:所設(shè)條件,φ(x,y)=0在x=x0的某鄰域確定隱函數(shù)y=y(x)滿(mǎn)足y0=y(x0),于是P0(x0,y0)是z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值點(diǎn)z=f(x,y(x))在x=x0取極值①又由φ(x,y(x))=0,兩邊求導(dǎo)得φ′x(x0,y0)+φ′y(x0,y0),y′(x0)=0,解得y′(x0)=-φ′x(x0,y0)/φ′y(x0,y0).②將②式代入①式得f′x(x0,y0)一f′y(x0,y0)φ′x(x0,y0)/φ′y(x0,y0)=0.因此(8.9)在Oxy平面上看,φ(x,y)=0是一條曲線,它在P0(x0,y0)的法向量是(φ′x(P0),φ′y(P0)),而f(x,y)=f(x0,y0)是一條等高線,它在P0的法向量是(f′x(P0),f′y(P0)),(8.9)式表示這兩個(gè)法向量平行,于是曲線φ(x,y)=0與等高線f(x,y)=f(P0)在點(diǎn)P0處相切.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析33、求函數(shù)u=xy+yz+zx在M0(2,1,3)處沿與各坐標(biāo)軸成等角方向的方向?qū)?shù).標(biāo)準(zhǔn)答案:先求出所設(shè)方向的方向余弦.設(shè)所求方向與各坐標(biāo)軸的夾角為α,由方向余弦的性質(zhì)得cos2α+cos2α+cos2α=1均與各坐標(biāo)軸成等角.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析34、求橢球面S:x2+y2+z2-yz-1=0上具有下列性質(zhì)的點(diǎn)(x,y,z)的軌跡:過(guò)(x,y,z)的切平面與Oxy平面垂直.標(biāo)準(zhǔn)答案:橢球面S上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量n={2x,2y一z,2z—y}.點(diǎn)(x,y,z)處切平面⊥Oxy平面,則n.k=0,即2z—y=0.又(x,y,z)在S上x(chóng)2+y2+z2一yz一1=0.因此所求點(diǎn)的軌跡:它是圓柱面x2+y2=1與平面2z—y=0的交線.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析35、過(guò)球面x2+y2+z2=169上點(diǎn)M(3,4,12)分別作垂直于x軸與y軸的平面,求過(guò)這兩平面與球面的截線的公共點(diǎn)的兩截線的切線方程,并求通過(guò)這兩條切線的平面方程.標(biāo)準(zhǔn)答案:過(guò)M點(diǎn)分別與x、y軸垂直的平面是x=3與y=4,與球面的截線它們的交點(diǎn)是M1(3,4,12),M2(3,4,一12).Г1在M1的切向量T=={0,2z,-2y}M1={0,24,-8}=8{0,3,-1},Г2在M1的切向量T=={一2z,0,2X}M1={一24,0,6}=6{一4,0,1}.Г1,Г2在M1點(diǎn)的切線方程分別為過(guò)這兩條切線的平面方程是=0,即3(X一3)+4(y一4)+12(z一12)=0.又Г1在M2的切向量T=={0,2z,一2y}M2={0,一24,一8}=8{0,一3,一1},Г2在M2的切向量T={一2z,0,2x}M2={24,0,6}=6{4,0,1}.Г1,Г2在M2點(diǎn)的切線方程分別為過(guò)兩條切線的平面方程是=0,即3(x一3)+4(y一4)一12(z+12)=0.知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析36、設(shè)a,b,c>0,在橢球面=1的第一卦限部分求一點(diǎn),使得該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案:寫(xiě)出橢球面上點(diǎn)(x,y,z)處的切平面方程,然后求出它在三條坐標(biāo)軸上的截距,由此可寫(xiě)出四面體的體積表達(dá)式V(x,y,z).問(wèn)題化為求V(x,y,z)在條件=1下的最小值點(diǎn).將橢球面方程改寫(xiě)成G(x,y,z)≡-1=0.橢球面第一卦限部分上點(diǎn)(x,y,z)處的切平面方程是其中(x,y,Z)為切平面上任意點(diǎn)的坐標(biāo).分別令Y=Z=0,Z=X=0,X=Y=0,得該切平面與三條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為四面體的體積為V(x,y,z)=為了簡(jiǎn)化計(jì)算,問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求V0=xyz(x>0,y>0,z>0)在條件=1下的最大值點(diǎn).令F(x,y,z,λ)=xyz+λ,求解方程組將方程①,②,③分別乘x,y,z得代入方程④得x=因?qū)嶋H問(wèn)題存在最小值,因此橢球面上點(diǎn)(x,y,z)=處相應(yīng)的四面體的體積最?。R(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析37、若函數(shù)f(x,y)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t,滿(mǎn)足f(tx,ty)=tn(x,y),(*)稱(chēng)f(x,y)為n次齊次函數(shù).設(shè)f(x,y)是可微函數(shù),證明:f(x,y)為n次齊次函數(shù)(**)標(biāo)準(zhǔn)答案:設(shè)f(x,y)是n次齊次函數(shù),按定義,得f(tx,ty)=tnf(x,y)(t>0)為恒等式.將該式兩端對(duì)t求導(dǎo),得令t=1,則x(x,y)=nf(x,y).現(xiàn)設(shè)上式成立.考察φ(t)=t>0),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得即φ(t)為常數(shù),φ(t)=φ(1)=f(x,y),即f(tx,ty)=tnf(x,y).知識(shí)點(diǎn)解析:將題設(shè)等式(*)對(duì)t求導(dǎo),由(*)可導(dǎo)出題設(shè)等式(**).而由(**)導(dǎo)出(*),即證對(duì)t>0為常數(shù),亦即證=0,其中關(guān)鍵是應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題,每題1.0分,共10分。)1、A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1,所以B-1=P2-1P1-1A-1或B-1=P1-1P2-1A-1,注意到Eij-1=Eij,于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1,選(C).2、設(shè),Q為三階非零矩陣,且PQ=0,則().A、當(dāng)t=6時(shí),r(Q)=1B、當(dāng)t=6時(shí),r(Q)=2C、當(dāng)t≠6時(shí),r(Q)=1D、當(dāng)t≠6時(shí),r(Q)=2標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)镼≠0,所以r(Q)≥1,又由PQ=0得r(P)+r(Q)≤3,當(dāng)t≠6時(shí),r(P)≥
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