2025高考總復習專項復習-概率專題十三（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--概率專題十三知識點一頻率分布直方圖的實際應用,由頻率分布直方圖估計平均數(shù),利用對立事件的概率公式求概率典例1、如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學知識競賽成績的莖葉圖（圖中僅列出、的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖.（1）求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的、；（2）估計學生競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）.（3）從得分在和中學生中隨機抽取兩人，求所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率是多少？

隨堂練習：為了選擇奧賽培訓對象，今年月我校進行一次數(shù)學競賽，從參加競賽的同學中，選取名同學將其成績分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計第百分位數(shù)是多少；（3）已知學生成績評定等級有優(yōu)秀?良好?一般三個等級，其中成績不小于分時為優(yōu)秀等級，若從第組和第組兩組學生中，隨機抽取人，求所抽取的人中至少人成績優(yōu)秀的概率.典例2、某中學為研究本校高三學生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機抽取了100位同學的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）請估計本次聯(lián)考該校語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（3）樣本內(nèi)語文分數(shù)在的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出2人，求選出的兩名學生中恰有一人成績在中的概率．

隨堂練習：某校為檢測高一年級學生疫情期間網(wǎng)課的聽課效果，從年級隨機抽取名學生期初考試數(shù)學成績（單位：分），畫出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、.（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這名學生數(shù)學成績的平均分；（2）從和分數(shù)段內(nèi)采用分層抽樣的方法抽取名學生，再從這名學生中隨機抽取名學生進行座談，求這名學生中有兩名成績在的概率；（2）已知（2）問中抽取的名同學中含有甲、乙兩人，甲已經(jīng)被抽出座談，求乙也參與座談的概率.

典例3、為響應國家“學習強國”的號召、培養(yǎng)同學們的“社會主義核心價值觀”，我校團委鼓勵全校學生積極學習相關知識，并組織知識競賽．今隨機對其中的名同學的初賽成績滿分：分作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖有數(shù)據(jù)缺失．請大家完成下面的問題：（1）根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)（2）求參賽同學初賽成績的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；（3）若從這名參加初賽的同學中按等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分數(shù)低于分且人的分數(shù)不低于分的概率．（寫出求解步驟）

隨堂練習：《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機”，弘揚傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進行了漢字聽寫測試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；（2）試估計該市市民正確書寫漢字的個數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊，求至少有1名女性市民的概率．知識點二觀察莖葉圖比較數(shù)據(jù)的特征,獨立性檢驗解決實際問題典例4、某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了20名男顧客和20名女顧客，根據(jù)每位顧客對該商場服務質(zhì)量的評分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖.（1）根據(jù)莖葉圖判斷男、女顧客中，哪類顧客對該商場的服務質(zhì)量更認可？并說明理由；（2）將這40名顧客的評分的中位數(shù)記為，并將評分超過和不超過的顧客數(shù)填入下面的列聯(lián)表；超過不超過男顧客女顧客（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有90％的把握認為顧客對該商場服務質(zhì)量的評分與性別有關？附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828

隨堂練習：根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪位運動員的成績更好？并說明理由；（2）求24個得分的中位數(shù)m，并將所得分超過m和不超過m的得分數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)該列聯(lián)表，判斷能否有90%的把握認為甲、乙兩名運動員的每場比賽得分有差異？超過m不超過m甲乙附：52.0722.7063.841典例5、為推行“新課堂”教學法，某老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式在甲、乙兩個平行班進行教學實驗，為了解教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出如圖所示的莖葉圖，若成績大于70分為“成績優(yōu)良”.（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”?甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計（2）從甲、乙兩班40個樣本中，成績在60分以下(不含60分)的學生中任意選取2人，記ξ為所抽取的2人中來自乙班的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望.附:K2=(n=a+b+c+d)，P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635

隨堂練習：某單位隨機抽取了15名男職工和15名女職工，對他們的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，喜食蔬菜；飲食指數(shù)高于70的人，喜食肉類.）喜食蔬菜喜食肉類總計男女合計（1）通過觀察莖葉圖，對男?女職工的飲食指數(shù)進行比較，請直接寫出兩條統(tǒng)計結論；（2）完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為該單位員工的飲食習慣與性別有關.參考公式及附表：.0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828典例6、為考查某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：患病未患病總計沒服用藥203050服用藥xy50總計MN100設從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人員曾計算過（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，y，M，N的值：（2）求與的均值（期望）并比較大小，請解釋所得結論的實際含義：（3）能夠以99%的把握認為藥物有效嗎？（參考公式，其中P（K2≥k）0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828

隨堂練習：某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關系，在某地隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中男性人數(shù)為z，女性人數(shù)為2z，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表．若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，則男性患者至少有多少人？Ⅰ型?、蛐筒『嫌嬆信嫌嫞?）某藥品研發(fā)公司欲安排甲、乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個團隊各至多安排2個接種周期進行試驗，每人每次接種花費元．甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p，根據(jù)以往試驗統(tǒng)計，甲團隊平均花費為；乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為q，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入第二個接種周期．假設兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立．若，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應選擇哪個團隊進行藥品研發(fā)？人教A版數(shù)學--概率專題十三答案典例1、答案：（1）25（人），，（2）平均數(shù)為71.4，中位數(shù)約為；（3）.解：（1）分數(shù)在的頻率為，由莖葉圖知，分數(shù)在之間的頻數(shù)為，∴全班人數(shù)為（人），（2）分數(shù)在之間的頻數(shù)為，則，由解得；平均數(shù)為，∵，∴中位數(shù)在內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，∴中位數(shù)約為；（3）得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、、，得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、，從這人中隨機抽取兩人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個，其中所抽取的兩人都在的基本事件為：、、共個，則所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率為.隨堂練習：答案：（1）（2）（3）解：（1）由頻率分布直方圖可知平均數(shù)（2）成績在的頻率為，成績在的頻率為，第百分位數(shù)位于，設其為，則，解得：，第百分位數(shù)為.（3）第組的人數(shù)為：人，可記為；第組的人數(shù)為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中至少人成績優(yōu)秀的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；至少人成績優(yōu)秀的概率.典例2、答案：（1）0.01；（2）中位數(shù)是，平均數(shù)是；（3）.解：（1）由頻率分布直方圖得：.（2）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，因此，該校語文成績的中位數(shù)，則，解得，語文成績的平均數(shù)為，所以該校語文成績的中位數(shù)是，語文成績的平均數(shù)是.（3）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在內(nèi)分別有8人和2人，因此抽取的5人中，分數(shù)在內(nèi)有人，在內(nèi)有1人，記內(nèi)的4人為a，b，c，d，在內(nèi)的1人為F，從5人中任取2人的結果有：，共10個不同結果，它們等可能，選出的2人中恰有一人成績在中的結果是：，所以選出的兩名學生中恰有一人成績在中的概率是.隨堂練習：答案：（1），平均分為（分）（2）（3）解：（1）依題意得，解得，這名學生的數(shù)學平均分為（分）.（2）由（1）可知，成績在和中的學生人數(shù)比為，所以用分層抽樣方法抽取成績在和中的學生人數(shù)分別為人和人，設成績在中的三人為、、，成績在中的二人為、，從這人中任取三人的所有可能情況為：、、、、、、、、、，共種，而有兩名成績在中的有、、、、、，共種，故所求概率為.（3）由題可知，乙也參加座談屬于條件概率，設（2）中人分別為：甲、乙、、、，甲被抽出的情況為：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲，共6種，在甲參加的條件下乙也參加的情況有：甲乙、甲乙、甲乙，共種，故甲已經(jīng)被抽出座談，乙也參與座談的概率為.典例3、答案：（1），；（2）（3）解：（1）因為個體在區(qū)間內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)在內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)（2）平均數(shù)為；（3）由等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則抽樣比例為，在區(qū)間和內(nèi)抽取的人數(shù)各為和，分別記這人為、、、、和、，則事件的總體是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有個基本事件，記所求的事件為，則中包含的基本事件為：，，，，，，，，，，共個基本事件，所以.隨堂練習：答案：（1）（2）平均數(shù)；中位數(shù)（3）解：（1）由頻率分布直方圖可知：被采訪人恰好在第2組或第6組的概率（2）設平均數(shù)為,則（3）設中位數(shù)為，則∴中位數(shù)共人，其中男生3人，設為，，，女生三人，設為，，，則任選2人，基本事件有，，，，，，，，，，，，共15種，其中兩個全是男生的有，，共3種情況，設事件：至少有1名女性，則至少有1名女性市民的概率典例4、答案：（1）男顧客，理由見解析（2）列聯(lián)表見解析（3）沒有解：（1）男顧客對該商場的服務質(zhì)量更認可.理由如下：由莖葉圖可知，男顧客的評分更多集中在，女顧客的評分更多集中在，故男顧客對該商場的服務質(zhì)量更認可.（考生如果給出其他合理理由也可得分）（2）由莖葉圖可知，.列聯(lián)表如下：超過不超過男顧客119女顧客713（3）故沒有90％的把握認為對該商場服務質(zhì)量的評分與性別有關.隨堂練習：答案：（1）乙運動員的成績更好，答案見解析（2）表格見解析，沒有解：（1）乙運動員的成績更好，理由如下：（?。┯汕o葉圖可知：乙運動員的得分基本上是對稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖3，4上；甲運動員的得分基本上也是對稱的，只有的葉集中在莖3，4上．所以乙運動員的成績更好．（ⅱ）由莖葉圖可知：乙運動員得分的中位數(shù)是36；甲運動員得分的中位數(shù)是27．所以乙運動員的成績更好．（ⅲ）從葉在莖上的分布看，乙運動員的得分更集中于單峰值附近，這說明乙運動員的發(fā)揮更穩(wěn)定．以上給出3種理由，學生答出其中一種或其他合理理由均可得分．（2）由莖葉圖可知，列聯(lián)表如下：超過m不超過m甲57乙75由于，所以沒有90%的把握認為甲、乙兩名運動員的每場比賽得分有差異．典例5、答案：（1）表格見解析，能（2）分布列見解析，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表如表所示：甲班乙班總計成績優(yōu)良101626成績不優(yōu)良10414總計202040解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”.（2）樣本中成績在60分以下的學生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值為，則=，，=，則隨機變量的分布列為：012P則數(shù)學期望.隨堂練習：答案：（1）答案見解析（2）列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認為該單位員工的飲食習慣與性別有關解：（1）①男性職工飲食指數(shù)的平均值大于女性職工飲食指數(shù)的平均值；②男