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21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)(共2頁(yè))人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題十二知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,求等差數(shù)列前n項(xiàng)和,裂項(xiàng)相消法求和典例1、在①,;②;③,是與的等比中項(xiàng),這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若________.(1)求;(2)記,已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求證:隨堂練習(xí):在①是與的等比中項(xiàng):②;③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線中并解答.問(wèn)題:已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足______.(1)求;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.注:如果選擇多個(gè)組合分別作答,按第一個(gè)解答計(jì)分.典例2、在①且,②且,③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并給出解答.問(wèn)題:已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且______?(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)求證:.
隨堂練習(xí):設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知,補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中進(jìn)行求解(若兩個(gè)都選,則按所寫(xiě)的第1個(gè)評(píng)分):①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列;②.典例3、已知的前n項(xiàng)和為,,且滿足______,現(xiàn)有以下條件:①;②;③請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到上述題目中的橫線處,并求解下面的問(wèn)題:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前n項(xiàng)和,并證明:.
隨堂練習(xí):已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列,滿足,,.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并完成求解.若______,求數(shù)列的前項(xiàng)和.(注:若多選,以選①評(píng)分)知識(shí)點(diǎn)二由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,錯(cuò)位相減法求和典例4、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
隨堂練習(xí):已知數(shù)列中,,且滿足.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例5、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)記,證明:是等差數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求,并求使不等式成立的最大正整數(shù)n.
隨堂練習(xí):已知數(shù)列中,,數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例6、對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù),若,則稱是數(shù)列的母函數(shù).(1)定義在R上的函數(shù)滿足:對(duì)任意,,都有,且;又?jǐn)?shù)列滿足.(Ⅰ)求證:是數(shù)列的母函數(shù);(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(2)已知是數(shù)列的母函數(shù),且.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.
隨堂練習(xí):已知數(shù)列(1)令,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題十二答案典例1、答案:(1)(2)證明見(jiàn)解析解:(1)選擇條件①:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,解得,故;選擇條件②:,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,也適合上式,故;選擇條件③:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得、或、(不合題意),故.(2)證明:因?yàn)椋?,故,得證.隨堂練習(xí):答案:(1)(2)解:(1)方法1:選①和③,整理得,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有,整理得,,解得,又由,可得,解得,故,所以,方法2:選①和②,,所以,,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有,化簡(jiǎn)得,解得,,則,方法3:選②和③,,可得,,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有,得到方程,解得,故,所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.(2),典例2、答案:(1)(2)證明見(jiàn)解析解:(1)選擇①當(dāng)時(shí),,,兩式作差得:,整理得,所以為常數(shù)列,因此,所以.選擇②得,兩式相減得,即數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列,且公差為,當(dāng)時(shí),,又,則,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,綜合得:;選擇③又,得.當(dāng)時(shí),,兩式相減得:,即.又因?yàn)?,所以,故為公差?的等差數(shù)列,得.(2)證明:由(1)可得所以因?yàn)樗砸虼?隨堂練習(xí):答案:(1)選擇①②,都有;(2)證明見(jiàn)解析.解:(1)若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,顯然其首項(xiàng)為故,故;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,滿足.故的通項(xiàng)公式為;若選擇②即,整理得:故,即數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,與選擇①相同,故的通項(xiàng)公式為.(2)根據(jù)(1)中所求可得:,則故又,故可得.典例3、答案:(1);(2);證明見(jiàn)解析.解:(1)若選擇條件①:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,兩式相減得,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)n=1時(shí)符合,∴;若選擇條件②:因?yàn)?,?dāng)時(shí),兩式相減得,,∴是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴;若選擇條件③:∵,∴時(shí),,兩式相減得,當(dāng)n=1時(shí),,可得,,∴時(shí)成立,∴是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴;(2)由(1)可知,則,所以,因?yàn)?,所以各?xiàng)均為正數(shù),所以,又因?yàn)?,所以.隨堂練習(xí):答案:(1),(2)見(jiàn)解析解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,由已知得,則,解得,所以,;(2)選①,則有即.選②,則有,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,兩式相減,,解得.選③,則由,即.典例4、答案:(1)證明見(jiàn)解析(2)解:(1)證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數(shù)列是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;(2)由(1)得數(shù)列是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,故,則,設(shè),其前n項(xiàng)和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見(jiàn)解析;(2)解:(1),數(shù)列是以為首項(xiàng),以5為公比的等比數(shù)列.,(2),即①,②,由①②得:,,化簡(jiǎn)得:.典例5、答案:(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析,;(2);n為5.解:(1)由,得,即,.即,又,數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,;(2)由(1)知.,①,②①-②,得,,,因?yàn)樗?,所以是遞增數(shù)列,,使不等式成立的最大正整數(shù)n為5.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見(jiàn)解析(2)解:(1)當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,則,又滿足,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得:,則,;,則,,.典例6、答案:(1)(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(2)證明見(jiàn)解析.解:(1)(Ⅰ)由題知,且.是數(shù)列的母函數(shù);(Ⅱ)由(Ⅰ)知:是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列,故.①
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