2025年高考數學一輪專題復習-數列專題十二（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--數列專題十二知識點一等差數列通項公式的基本量計算,求等差數列前n項和,裂項相消法求和典例1、在①，；②；③，是與的等比中項，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．已知為等差數列的前n項和，若________．（1）求；（2）記，已知數列的前n項和，求證：隨堂練習：在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數列的前項和為，且滿足______．（1）求；（2）若，求數列的前項和．注：如果選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．典例2、在①且，②且，③正項數列滿足這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題:已知數列的前項和為，且______?（1）求數列的通項公式:（2）求證：.

隨堂練習：設數列的前項和為，已知，__________.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.從下列兩個條件中任選一個作為已知，補充在上面問題的橫線中進行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數列是以為公差的等差數列；②.典例3、已知的前n項和為，，且滿足______，現有以下條件：①；②；③請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前n項和，并證明：．

隨堂練習：已知等差數列與正項等比數列，滿足，，.（1）求數列和的通項公式；（2）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并完成求解.若______，求數列的前項和.（注：若多選，以選①評分）知識點二由遞推關系證明數列是等差數列,錯位相減法求和典例4、已知為數列的前項和,．（1）證明:數列為等比數列;（2）求數列的前項和．

隨堂練習：已知數列中，，且滿足.（1）證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.典例5、已知數列的前n項和為．（1）記，證明：是等差數列，并求的通項公式；（2）記數列的前n項和為，求，并求使不等式成立的最大正整數n．

隨堂練習：已知數列中，，數列的前項和為滿足.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的前項和.典例6、對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數．（1）定義在R上的函數滿足：對任意，，都有，且；又數列滿足．（Ⅰ）求證：是數列的母函數；（Ⅱ）求數列的前n項和．（2）已知是數列的母函數，且．若數列的前n項和為，求證：．

隨堂練習：已知數列（1）令，求證：數列是等比數列；（2）若，求數列的前項和．人教A版數學--數列專題十二答案典例1、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）選擇條件①：設等差數列的公差為d，則，解得，故；選擇條件②：，當時，，即，當時，，也適合上式，故；選擇條件③：設等差數列的公差為，則，解得、或、（不合題意），故．（2）證明：因為，所以，故，得證.隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）方法1：選①和③，整理得，設等差數列的公差為，則有，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：選①和②，，所以，，設等差數列的公差為，則有，化簡得，解得，，則，方法3：選②和③，，可得，，設等差數列的公差為，則有，得到方程，解得，故，所以等差數列的通項公式為：.（2），典例2、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）選擇①當時，，，兩式作差得：，整理得，所以為常數列，因此，所以.選擇②得，兩式相減得，即數列為隔項等差數列，且公差為，當時，，又，則，當為偶數時，，當為奇數時，，綜合得：；選擇③又，得.當時，，兩式相減得：，即.又因為，所以，故為公差為1的等差數列，得.（2）證明：由（1）可得所以因為所以因此.隨堂練習：答案：（1）選擇①②，都有；（2）證明見解析.解：（1）若選擇①數列是以為公差的等差數列，顯然其首項為故，故；當時，，當時，，滿足.故的通項公式為；若選擇②即，整理得：故，即數列是首項為，公差為的等差數列，與選擇①相同，故的通項公式為.（2）根據（1）中所求可得：，則故又，故可得.典例3、答案：（1）；（2）；證明見解析.解：（1）若選擇條件①：因為，當時，，兩式相減得，所以當時，當n＝1時符合，∴；若選擇條件②：因為，當時，兩式相減得，，∴是首項為2，公比為2的等比數列，∴；若選擇條件③：∵，∴時，，兩式相減得，當n＝1時，，可得，，∴時成立，∴是首項為2，公比為2的等比數列，∴；（2）由（1）可知，則，所以，因為，所以各項均為正數，所以，又因為，所以．隨堂練習：答案：（1），（2）見解析解：（1）設等差數列的公差為，正項等比數列的公比為，由已知得，則，解得，所以，；（2）選①，則有即.選②，則有，設數列的前項和為，，，兩式相減，，解得.選③，則由，即.典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數列是以6為首項,2為公比的等比數列;（2）由(1)得數列是以6為首項,2為公比的等比數列,所以,故,則,設,其前n項和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）解：（1），數列是以為首項，以5為公比的等比數列.，（2），即①，②，由①②得：，，化簡得：.典例5、答案：（1）證明過程見解析，；（2）；n為5．解：（1）由，得，即，．即，又，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因為所以，所以是遞增數列，，使不等式成立的最大正整數n為5．隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）當時，，；當時，，則，又滿足，數列是以為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）得：，則，；，則，，.典例6、答案：（1）（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（2）證明見解析.解：（1）（Ⅰ）由題知，且．是數列的母函數；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首項和公差均為2的等差數列，故．①