2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題十二（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題十二知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,求等差數(shù)列前n項(xiàng)和,裂項(xiàng)相消法求和典例1、在①，；②；③，是與的等比中項(xiàng)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若________．（1）求；（2）記，已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：隨堂練習(xí)：在①是與的等比中項(xiàng)：②；③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線中并解答．問(wèn)題：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)組合分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．典例2、在①且，②且，③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題:已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______?（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式:（2）求證：.

隨堂練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，__________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中進(jìn)行求解（若兩個(gè)都選，則按所寫的第1個(gè)評(píng)分）：①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；②.典例3、已知的前n項(xiàng)和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：①；②；③請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問(wèn)題：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成求解.若______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：若多選，以選①評(píng)分）知識(shí)點(diǎn)二由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,錯(cuò)位相減法求和典例4、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,．（1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列中，，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例5、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）記，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，并求使不等式成立的最大正整數(shù)n．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例6、對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù)．（1）定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足．（Ⅰ）求證：是數(shù)列的母函數(shù)；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（2）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題十二答案典例1、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）選擇條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，故；選擇條件②：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，也適合上式，故；選擇條件③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得、或、（不合題意），故．（2）證明：因?yàn)?，所以，故，得證.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）方法1：選①和③，整理得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：選①和②，，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，化簡(jiǎn)得，解得，，則，方法3：選②和③，，可得，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，得到方程，解得，故，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2），典例2、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）選擇①當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得：，整理得，所以為常數(shù)列，因此，所以.選擇②得，兩式相減得，即數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，且公差為，當(dāng)時(shí)，，又，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜合得：；選擇③又，得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即.又因?yàn)?，所以，故為公差?的等差數(shù)列，得.（2）證明：由（1）可得所以因?yàn)樗砸虼?隨堂練習(xí)：答案：（1）選擇①②，都有；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，顯然其首項(xiàng)為故，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足.故的通項(xiàng)公式為；若選擇②即，整理得：故，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，與選擇①相同，故的通項(xiàng)公式為.（2）根據(jù)（1）中所求可得：，則故又，故可得.典例3、答案：（1）；（2）；證明見(jiàn)解析.解：（1）若選擇條件①：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)符合，∴；若選擇條件②：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，兩式相減得，，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴；若選擇條件③：∵，∴時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)n＝1時(shí)，，可得，，∴時(shí)成立，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）可知，則，所以，因?yàn)?，所以各?xiàng)均為正數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）見(jiàn)解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由已知得，則，解得，所以，；（2）選①，則有即.選②，則有，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，兩式相減，，解得.選③，則由，即.典例4、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數(shù)列是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;（2）由(1)得數(shù)列是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,故,則,設(shè),其前n項(xiàng)和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）解：（1），數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列.，（2），即①，②，由①②得：，，化簡(jiǎn)得：.典例5、答案：（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析，；（2）；n為5．解：（1）由，得，即，．即，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因?yàn)樗?，所以是遞增數(shù)列，，使不等式成立的最大正整數(shù)n為5．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則，又滿足，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則，；，則，，.典例6、答案：（1）（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）（Ⅰ）由題知，且．是數(shù)列的母函數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故．①