拔高點突破04 多元函數(shù)最值與雙重變量最值問題（十三大題型）（原卷版）

拔高點突破04多元函數(shù)最值與雙重變量最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：消元法 2題型二：判別式法 2題型三：基本不等式法 2題型四：輔助角公式法 3題型五：柯西不等式法 3題型六：權(quán)方和不等式法 3題型七：拉格朗日乘數(shù)法 4題型八：三角換元法 4題型九：構(gòu)造齊次式 5題型十：數(shù)形結(jié)合法 5題型十一：向量法 5題型十二：琴生不等式法 6題型題型十三：雙重變量最值問題 603過關(guān)測試 7

解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．題型一：消元法【典例1-1】已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.【典例1-2】已知實數(shù)滿足：，則的最大值為___________.【變式1-1】對任給實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的最大值為__________.題型二：判別式法【典例2-1】（2024·廣東茂名·二模）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【典例2-2】已知，且，則的取值范圍是.【變式2-1】（2024·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則.【變式2-2】設(shè)非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則.題型三：基本不等式法【典例3-1】已知，則的最小值為.【典例3-2】已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為．【變式3-1】已知，則的最大值為．【變式3-2】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為．題型四：輔助角公式法【典例4-1】設(shè)是一個三角形的三個內(nèi)角，則的最小值為.【典例4-2】曲線上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值等于．【變式4-1】已知，則的最小值為．題型五：柯西不等式法【典例5-1】實數(shù)x、y滿足，則的最大值是【典例5-2】函數(shù)的最大值與最小值之積為．【變式5-1】已知則的最大值為【變式5-2】已知，，，則的最大值是.題型六：權(quán)方和不等式法【典例6-1】已知為銳角，則的最小值為.【典例6-2】求的最大值為【變式6-1】已知，求的最小值為【變式6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．題型七：拉格朗日乘數(shù)法【典例7-1】，，，求的最小值．，，，【典例7-2】設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是．【變式7-1】已知為非負(fù)數(shù),,求的最值.題型八：三角換元法【典例8-1】函數(shù)的值域為.【典例8-2】函數(shù)的值域是．【變式8-1】函數(shù)的值域是區(qū)間．【變式8-2】若，且，則二元函數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．題型九：構(gòu)造齊次式【典例9-1】已知，，則的最大值是______.【典例9-2】已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【變式9-1】（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．題型十：數(shù)形結(jié)合法【典例10-1】的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為A． B． C． D．【變式10-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式10-2】已知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5題型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．【典例11-2】如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．【變式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是單位向量，且，則的最小值為；最大值為【變式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，則的最大值是．題型十二：琴生不等式法【典例12-1】在內(nèi)，求的最大值．【典例12-2】已知函數(shù)，則的最小值是.【變式12-1】半徑為的球的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為.【變式12-2】半徑為的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是．題型題型十三：雙重變量最值問題【典例13-1】規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為.【典例13-2】（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．【變式13-1】設(shè)，則.【變式13-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為實數(shù)中最大的數(shù)．若，，則的最小值為．1．已知直線與拋物線相交于，兩點，若，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．162．函數(shù)的值域為.3．函數(shù)的值域為．4．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為5．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知x，y，z均為正實數(shù)，則的最大值為.6．已知實數(shù)，，滿足，則的最大值為7．（2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，已知，則.8．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．9．向量滿足，，，則的最大值為.10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知單位向量，向量與不共線，且，則的最大值為．11．已知兩個非零向量滿足，則的最大值是．12．設(shè)為正數(shù)，，則的最大值是13．函數(shù)的最大值為.14．已知實數(shù)滿足：，則的最大值是．15．已知圓是上的兩個動點，且.設(shè)，，則的最大值為.16．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值和最小值分別為和