陜西西安高新一中2025屆高三下學(xué)期期中模擬調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析

陜西西安高新一中2025屆高三下學(xué)期期中模擬調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．123．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺4．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)滿足，則的圖像可能是A． B．C． D．6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．7．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．10．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．12．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，，且，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則三棱錐的體積的最大值為__________．14．的展開式中，的系數(shù)是______.15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為____________.16．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.19．（12分）已知，均為正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且，，，當(dāng)，時(shí)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，求的值22．（10分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.2．D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.3．A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.4．A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)．由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B．6．A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性及平移變換，對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以周?對(duì)于①，因?yàn)椋?，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，故對(duì)任意整數(shù)，，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，可得，則，因?yàn)椋栽谏系?個(gè)零點(diǎn)，且，所以第7個(gè)零點(diǎn)，若存在第8個(gè)零點(diǎn)，則，所以，即，解得，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)椋?，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于中檔題.8．A【解析】

將化成以為底的對(duì)數(shù)，即可判斷的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出與1的大小關(guān)系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?，?故選:A.本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??；若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.9．C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因?yàn)闉橹匦?，因此，則，因此，因此，則，故選A.本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.11．D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點(diǎn)，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.12．C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得當(dāng)AE＝EF＝2時(shí)，△AEF的面積最大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值．【詳解】由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，則BC⊥AE，又PB⊥AE，則AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，結(jié)合條件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，∴△AEF、△PEF均為直角三角形，由已知得AF＝2，而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)AE＝EF=2時(shí)，取“＝”，此時(shí)△AEF的面積最大，三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為：VP﹣AEF＝＝＝．故答案為本題主要考查直線與平面垂直的判定，基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．14．【解析】

先將原式展開成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì)，關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎(chǔ)題.15．1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）按絕對(duì)值的定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后解不等式；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，求出在上的最小值即可，利用絕對(duì)值定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后可求得函數(shù)最小值．【詳解】解：（1）或或解得或或無解綜上不等式的解集為．（2）時(shí)，，即所以只需在時(shí)恒成立即可令，由解析式得在上是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，即本題考查解絕對(duì)值不等式，考查不等式恒成立問題，解決絕對(duì)值不等式的問題，分類討論是常用方法．掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵．18．（1）見解析（2）見解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19．（1），（2）【解析】

（1），所，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由，整理得，得到，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所，兩式相減，整理得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，即，因?yàn)椋淼?，又因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，，，即.此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對(duì)題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項(xiàng)方式.20．（1）（2）【解析】

（1）按進(jìn)行分類，得到等價(jià)不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時(shí)對(duì)應(yīng)的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)恒成立∴，得；當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)任意恒成立，∴，得∴，綜上，.本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.21．（1）（2）【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進(jìn)而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得，,由二倍角的余弦公式可得,,又因?yàn)?，所以，解得或，∵，?在中,由余弦定理得,即①又因?yàn)?把代入①整理得，，解得，，所以為等邊三角形，，∴,即.本題考