11.2.2三角形的外角課件2024-2025學年人教版數(shù)學八年級上冊

11.2.2三角形的外角復習回顧問題1：三角形的內(nèi)角具有怎樣的性質？三角形的內(nèi)角和是180°；直角三角形的兩個銳角互余；問題2：說出下列圖中∠1具備的共同特征.①∠1的頂點在三角形的一個頂點上；②∠1的一條邊是三角形的一條邊；③∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線.提出問題問題1：什么是三角形的外角？如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.（1）每一個三角形都________個外角；（2）每一個頂點相對應的外角都有_______個；（3）每個外角與相鄰內(nèi)角的關系是___________.62互為鄰補角問題2：下圖中，∠l，∠2是不是△ABC的外角？為什么？不是，第1張圖，∠1不滿足一條邊是三角形的一邊的延長線，∠2不滿足一條邊是三角形的一條邊；第2張圖，∠1的頂點不滿足是三角形的頂點，且不滿足一條邊的延長線，∠2不滿足一條邊是三角形的一條邊.問題3外角有什么性質呢？(提示：研究三角形外角與不相鄰內(nèi)角的關系)（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（2）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.問題4想一想：在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉了

一個角度，那么回到原來位置時，一共轉了多少度？為什么？憑我們的經(jīng)驗可知，繞三角形花壇的外圍走，回到原來位置時繞了一圈，即轉了360°，所以猜想三角形外角和是360°.如何證明呢？已知：如圖，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.證明：∵∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角，∴∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）.∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）.∵∠l+∠2+∠3=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.分析：要求三角形的外角和，可將其轉化為與三角形內(nèi)角有關的問題，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可解決問題.問題5你還能類比三角形內(nèi)角和定理的證明，利用做平行線的方法

證明三角形的外角和嗎？試試看.典例分析例1如圖點D，B，C在同一直線上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°.求∠DEB的度數(shù).【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，∠DEB與∠D在同一三角形中，但不知道第三個角∠DBE的度數(shù)，而∠DBE是△ABC的一個外角，它等于∠A+∠C，從而題目可解；另一方面我們也可在△ABC中利用內(nèi)角和定理求得∠ABC，再利用∠ABC是△DBE的一個外角求得∠DEB.其實兩種思路之間沒有差別，都是利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質，只是相對位置不同而已.解：在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.∵∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°.∵∠ABC是△DBE的外角，∴∠ABC=∠D+∠DEB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）.又∵∠D=25°，∴∠DEB=70°-25°=45°.例2如圖，在△ABC中，點D為邊AC上的一點，∠ABD=∠ADB.求證：∠DBC=【分析】從要證的結論看，主要涉及三個角∠ABC，∠C，∠DBC，而∠ABC=∠DBC+∠ABD，已知∠ABD=∠ADB，又因為∠ADB是△BCD的一個外角，所以∠ADB=∠C+∠DBC，從而就可以建立∠ABC，∠C，∠DBC的等量關系了.證明：在△ABC中，∠ABC=∠DBC+∠ABD.∵∠ADB是△BCD的一個外角，∴∠ADB=∠C+∠DBC.又∵∠ABD=∠ADB，∴∠ABC=∠DBC+∠ABD=∠DBC+∠ADB=∠DBC+∠C+∠DBC.∴∠DBC=.例3已知，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE.

求證：∠1＞∠2.【分析】本題要證明角的不等關系，注意到∠1與∠2不在同一三角形中，且∠1雖是外角，但不是與∠2有關的三角形的外角，這說明一定要利用中間量分別與∠1，∠2建立聯(lián)系，從而得到∠l與∠2的大小關系.證明：∵∠1是△ABC的一個外角，∴∠1＞∠3（三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角）.∵∠3是△CDE的一個外角，∴∠3＞∠2（三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角）.∴∠l＞∠2（不等式的性質）.例4

如圖，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C.你能發(fā)現(xiàn)AD與BC的關系嗎？【分析】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有平行或相交.由于圖中有角的等量關系（角平分線和∠B=∠C），因而畫個特殊的圖形，如等邊三角形，可知AD∥BC，從而猜測結論為AD∥BC，下面只需對一般情況加以證明即可.從平行線的判定定理入手證明，以“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”為例∴∠DAC=∠C.∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.發(fā)現(xiàn)：AD∥BC證明∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∠B=∠C，∴∠B=∠C=∠EAC.∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）例5如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線.（1）指出AF是哪幾個三角形的高.（2）∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度數(shù).（3）如果∠C＞∠B，判斷∠DAF與∠B，∠C的數(shù)量關系，并進行證明.【分析】第2問的方法較多，關鍵在于把∠DAF放到合適的圖形中去，從圖形中可以看出：∠DAF既是△ADF的內(nèi)角，又是∠DAC與∠FAC的差，還是∠BAF與∠BAD的差.對于第3問我們可以從特殊入手來研究問題，在第2問中我們可求出∠DAF為20°，恰好為∠C=76°與∠B=36°的差的一半，從而得出猜想，然后再對一般情況進行證明.解：（1）△ABD,△ABF,△ABC,△ADF,△ADC,△AFC例5如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線.（2）∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度數(shù).【分析】第2問的方法較多，關鍵在于把∠DAF放到合適的圖形中去，從圖形中可以看出：∠DAF既是△ADF的內(nèi)角，又是∠DAC與∠FAC的差，還是∠BAF與∠BAD的差.又∵AF⊥BC，∴∠AFD=90°.∴∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=180°-70°-90°=20°.解：（2）∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-76°=68°.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×68°=34°.又∵∠ADF是△ABD的外角，∴∠ADF=∠B+∠BAD=36°+34°=70°.例5如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線.（3）如果∠C＞∠B，判斷∠DAF與∠B，∠C的數(shù)量關系，并進行證明.【分析】第3問我們可以從特殊入手來研究問題，在第2問中我們可求出∠DAF為20°，恰好為∠C=76°與∠B=36°的差的一半，從而得出猜想，然后再對一般情況進行證明.∠DAF=（∠C-∠B）

證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠BAC

∵∠BAC=180°-∠B-∠C

∴∠BAD=(180°-∠B-∠C）

∵∠ADF=∠B+∠BAD∴∠ADF=∠B+(180°-∠B-∠C）∴∠ADF=

90°+(∠B-∠C）∵AF⊥BC∴∠ADF+∠DAF=90°

∴∠DAF=（∠C-∠B）

練習鞏固1.（目標1，2）求出下列三角形中未知角α的值.2.（目,1，2）如圖，用“＞”連接∠1，∠2，∠3，∠4為

.3.（目標2）（1）如圖所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°.求∠EAB的度數(shù).（2）將一副常規(guī)的三角尺按如圖所示的方式放置.求∠AOB的度數(shù).85°；43°；95°∠3＞∠1＞∠2＞∠4（1）57°（2）105°4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，設∠B=x，∠C=y，∠DAE=z

.探究x，y，z

之間的數(shù)量關系.5.（目標3）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D為BC上任一點，若∠ADE=∠AED，探究∠CDE與∠BAD之間的數(shù)量關系.∠BAD=2∠CDE歸納總結1.三角形外角的概念及主要特征.2.三角形外角的性質及其在幾何圖形中的應用及轉化思想.3.復雜圖形中對基本圖形的識別與應用.方法提升1.我們是通過什么方法提出本節(jié)課的新問題的？2.提出新問題后，我們是用什么方法研究它的性質的？3.本節(jié)課還用到了哪些數(shù)學思想方法？達標檢測

∠1＞∠2＞∠37060°50°2.（目標2）已知三角形三個外角的度數(shù)比為2:3:4，則它的三個內(nèi)角的度數(shù)為_________.3.（目標3）已知，如圖，在△ABC中，∠B=∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關系是（）A.∠BAC＜∠ADC

B.∠BAC=∠ADCC.∠BAC＞∠ADC

D.不能確定4.（目標3）一個三角形的一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角的和，這個三角形是（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.不能確定20°，

60°，100°BA5.（目標3）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關系是（）

A.∠1+∠2=∠3+∠4

B.∠1+∠2=∠4-∠3

C.∠1+∠4=∠2+∠3

D.∠1+∠4=∠2-∠36.（目標2）如圖，在△ABC中，∠ABC的外角是100°，D是BC延長線上的一點，∠D=∠DEC=30°.則∠A的度數(shù)為____________.7.（目標2）如圖，∠1=100°，∠2=135°.則∠3等于__________°.D40°55°8.下列判斷：①任意三角形的內(nèi)角和都是180°；②直角三角形中兩銳角之和為90°；③三角形的三個內(nèi)角中不可以有三個銳角；④一個外角是銳角的三角形一定是鈍角三角形；⑤兩個外角分別為150°和120°的三角形一定是鈍角三角形；⑥三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.其中正確的有____________________________（填序號）①②④能力提升1.（目標3）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，E是AD上一點.求證：∠BED＞∠C.2.（目標2）如圖，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C.求∠BDC的度數(shù).證明：∵∠BAC=90°∴∠C+∠ABC=90°∵AD⊥BC∴∠BAD+∠ABC=90°∴∠C=

∠BAD∵∠BED=∠BAD+∠ABE∴

∠BED＞∠C60°3.（目標2）如圖，回答下列問題：（1）判斷∠A，∠DOE和∠1的大小關系；（2）如果BE，CD是△ABC的角平分線，∠BOC=110°.求∠A的度數(shù).(1)∠A＜∠1＜∠DOE(2)40°