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陜西省渭南市大荔縣同州中學(xué)2025年高三下期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題文試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.2.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.3.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且4.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.5.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是()A. B. C. D.6.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)7.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.10.若的展開式中的系數(shù)之和為,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.111.若雙曲線:繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或12.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.120二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn),且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.14.已知集合,若,則__________.15.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.16.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募,僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬,其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測(cè)試,所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬青年學(xué)生志愿者中,英語測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),求線段的長(zhǎng).19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點(diǎn).證明:;設(shè),點(diǎn)M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.22.(10分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場(chǎng)購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?若在購物體驗(yàn)滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購物券.若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)椋?,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.2.A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).3.B【解析】由且可得,故選B.4.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.5.C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉(zhuǎn)化求解的位置,推出結(jié)果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),在底面的射影為;,,過的軸截面如圖:,過作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點(diǎn)睛:本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.6.C【解析】
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.7.C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.8.A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.9.A【解析】
首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題10.B【解析】
由,進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由,則展開式中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.12.C【解析】
觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.12【解析】
由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解?!驹斀狻坑深}意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為。本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題,其中解答中正確認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。14.1【解析】
分別代入集合中的元素,求出值,再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.【詳解】依題意,分別令,,,由集合的互異性,解得,則.故答案為:本題考查集合元素的特性:確定性、互異性、無序性.確定集合中元素,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.15.【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.16.【解析】
先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)萬;(Ⅱ)分布列見解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為,計(jì)算概率得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?,故人?shù)為:萬人.(Ⅱ)8名男生中,測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有人,的可能取值為:.,,.故分布列為:.(Ⅲ)英語測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,故.故的最小值為.本題考查了樣本估計(jì)總體,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18.(1);(2)【解析】
曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.再用極直互化公式求解,曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程.射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出,射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出,再用得解【詳解】解:曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.把,代入得:曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),所以,解得.與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),所以,解得,所以本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用和的幾何意義求線段的長(zhǎng).(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的分別用,代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程.參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)直接求解,能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的;如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時(shí),可以先化為直角坐標(biāo)方程,將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.19.(1):,:;(2),此時(shí).【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確保互化前后方程的等價(jià)性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.20.(1)見解析;(2)【解析】
(1)由平面平面的性質(zhì)定理得平面,.在中,由勾股定理得,平面,即可得;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為,得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出二面角的余弦值.【詳解】(1)平面平面,平面平面=,,所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面,,在中,,,由正弦定理可得:,,即,平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則,,得,,而,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,取平面的法向量,則,故二面角的余弦值為.本題考查了線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用,屬于中檔題.21.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標(biāo)方程兩
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