1.1集合的概念（第1課時(shí)集合的概念與幾種常見(jiàn)的數(shù)集）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

1.1

集合的概念第1課時(shí)集合的概念與幾種常見(jiàn)的數(shù)集第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元1

集合

集合是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它能簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問(wèn)題.作為一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象,同“數(shù)”的研究類(lèi)似,遵循基本的研究路徑:定義→關(guān)系→運(yùn)算(見(jiàn)右圖—集合知識(shí)結(jié)構(gòu)圖).這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái),在掌握集合知識(shí)的同時(shí),還要獲得如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本經(jīng)驗(yàn).

本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)就是掌握集合語(yǔ)言的使用,分三個(gè)階段來(lái)進(jìn)行:一是讀懂問(wèn)題中的集合概念和符號(hào);二是處理問(wèn)題時(shí),能根據(jù)需要運(yùn)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表述;三是根據(jù)情境需求能進(jìn)行三種語(yǔ)言(自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)的轉(zhuǎn)換.這也正是本學(xué)習(xí)單元的素養(yǎng)暗線.

在掌握集合語(yǔ)言的過(guò)程中,逐漸熟悉集合的抽象性,積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,了解集合的含義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握集合中元素的三個(gè)特性.(直觀想象)3.理解元素與集合的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)4.了解常用數(shù)集及其記法.(數(shù)學(xué)抽象)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一:元素與集合的概念一般地,我們把

統(tǒng)稱為元素,通常用小寫(xiě)字母a,b,c,…表示.把一些元素組成的

叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示集合.

遵循一般的約定

研究對(duì)象總體名師點(diǎn)睛集合的三個(gè)特性(1)描述性:“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念,它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣,都只是描述性的說(shuō)明.(2)整體性:集合是一個(gè)整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對(duì)象一旦組成了集合,這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體.(3)廣泛性:組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程,也可以是人或物等.微思考你能舉例說(shuō)出初中階段我們?cè)诖鷶?shù)方面學(xué)習(xí)過(guò)的集合嗎?提示

自然數(shù)集合,有理數(shù)集合,實(shí)數(shù)集合,方程解的集合,不等式解的集合.知識(shí)點(diǎn)二:集合中元素的特性1.集合中元素的三特性:

、

、

.

2.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是

的.

無(wú)順序之分

確定性互異性無(wú)序性相等名師點(diǎn)睛對(duì)集合中元素的特性的理解(1)確定性是集合的基本特征,沒(méi)有確定性就不能構(gòu)成集合.例如“課本中的難題”“聰明的孩子”,其中“難題”“聰明”因界定的標(biāo)準(zhǔn)模糊,故都不能組成集合.(2)互異性是判斷能否組成集合的另一標(biāo)準(zhǔn),也是最容易被忽視的性質(zhì).例如:“組成good中的字母集合的元素是g,o,o,d”這句話是不對(duì)的,因?yàn)樵谶@個(gè)單詞中,字母“o”雖然出現(xiàn)了兩次,但如果歸入集合中只能算作一個(gè)元素.根據(jù)互異性,正確的說(shuō)法應(yīng)為“單詞good中的字母組成集合的元素有3個(gè),分別為g,o,d”.(3)無(wú)序性是指集合內(nèi)的元素是無(wú)序的.微思考按照集合的定義,能找出符合下面的條件的集合嗎?①某班比較胖的同學(xué);②某班體重超過(guò)90

kg的同學(xué).提示

①不能,因?yàn)椤芭帧睕](méi)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn);②能,因?yàn)椤俺^(guò)90

kg”是一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn).知識(shí)點(diǎn)三:元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法屬于如果

中的元素,就說(shuō)a屬于集合A

a屬于集合A不屬于如果

中的元素,就說(shuō)a不屬于集合A

a不屬于集合Aa是集合Aa∈Aa不是集合Aa?A名師點(diǎn)睛

區(qū)別與聯(lián)系概念上的區(qū)別符號(hào)上的區(qū)別聯(lián)系概念元素研究對(duì)象小寫(xiě)字母a,b,c,…a∈A或a?A集合一些對(duì)象組成的整體大寫(xiě)字母A,B,C,…微思考(1)符號(hào)“∈”和“?”的寫(xiě)法與以前學(xué)過(guò)的什么符號(hào)有類(lèi)似性?

(2)如何準(zhǔn)確理解符號(hào)“∈”和“?”?提示

與符號(hào)“=”和“≠”有類(lèi)似性.提示

符號(hào)“∈”和“?”是表示元素與集合之間的關(guān)系,只能用于元素與集合之間,并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素,右邊是集合,具有方向性,左右兩邊不能互換.知識(shí)點(diǎn)四:常用數(shù)集及其記法

數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集字母表示

NN*或N+ZQR微思考(1)非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別?

(2)最小的自然數(shù)是什么?提示

非負(fù)整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.提示

由于自然數(shù)又稱為非負(fù)整數(shù),因此最小的自然數(shù)是0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一集合的概念問(wèn)題1怎樣的對(duì)象全體可以構(gòu)成一個(gè)集合?【例1】

給出下列各組對(duì)象:①我們班中比較高的同學(xué);②無(wú)限接近于0的數(shù)的全體;③比較小的正整數(shù)的全體;④平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體;⑤正三角形的全體;⑥

的近似值的全體.其中能夠構(gòu)成集合的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè) C.3個(gè)

D.4個(gè)分析

判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合,就看判斷標(biāo)準(zhǔn)是否明確.B解析

①②③⑥不能構(gòu)成集合,因?yàn)闆](méi)有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn);④⑤可以構(gòu)成集合,“平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)”和“正三角形”都有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn).規(guī)律方法

判斷一組對(duì)象能否組成集合的關(guān)鍵是看該組對(duì)象是否具有明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象,都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素.應(yīng)特別注意,含有不確定的模棱兩可的對(duì)象,不是數(shù)學(xué)意義上的集合.本題中①②③⑥都含有范圍不確定的對(duì)象.變式訓(xùn)練下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是(

)A.某教室內(nèi)的全部桌子B.2024年高考數(shù)學(xué)難題C.所有有理數(shù)D.小于π的正整數(shù)B解析

“某教室內(nèi)的全部桌子”屬于確定的概念,故能構(gòu)成集合;由于難題屬于不確定的概念,因此“2023年高考數(shù)學(xué)難題”不能構(gòu)成集合;由于任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù),故能構(gòu)成集合;小于π的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選B.探究點(diǎn)二集合中元素的特性及其應(yīng)用問(wèn)題2集合中的元素除了確定性外,是否還有其他特性?【例2】

已知集合A含有3個(gè)元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析

由-3∈A,分兩種情況進(jìn)行討論,注意根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行

檢驗(yàn).解因?yàn)?3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-.當(dāng)a=-1時(shí),a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不滿足元素的互異性,所以舍去a=-1.當(dāng)a=-時(shí),經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.故a=-.問(wèn)題3兩個(gè)集合相等,本質(zhì)上反映了集合的元素具備怎樣的特性?【例3】

設(shè)a,b∈R,集合A中含有1,a+b,a3個(gè)元素,集合B中含有0,,b3個(gè)元素.若集合A和集合B是相等的,則b-a=(

)A.2 B.-1 C.1 D.-2A解析

由已知,a≠0,故a+b=0,則

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.規(guī)律方法

集合中的元素除了確定性外,還有互異性、無(wú)序性.在涉及含字母的集合中元素問(wèn)題時(shí),在根據(jù)題意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意檢驗(yàn)所求字母的值是否滿足集合中元素的性質(zhì),尤其是是否滿足集合中元素的互異性.探究點(diǎn)三元素與集合的關(guān)系問(wèn)題4如何判斷一個(gè)元素是否屬于一個(gè)集合?【例4】

(1)已知不等式2x-5<0的解集為M,則以下表示方法正確的是(

)A.0∈M,3∈M

B.0?M,3∈MC.0∈M,3?M

D.0?M,3?MC(2)若以正實(shí)數(shù)x,y,z,w4個(gè)元素構(gòu)成集合A,以A中4個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是(

)A.梯形

B.平行四邊形C.菱形

D.矩形A解析

由于集合中的元素具有互異性,所以正實(shí)數(shù)x,y,z,w互不相等.因?yàn)槠叫兴倪呅巍⒘庑?、矩形都有相等的?而梯形四邊不一定相等,故以集合A中四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是梯形,故選A.規(guī)律方法

判斷元素與集合的關(guān)系的兩種方法(1)直接法:如果元素是直接給出的,那么只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.此時(shí)應(yīng)明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.(2)推理法:對(duì)于一些元素沒(méi)有直接給出的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.此時(shí)應(yīng)明確已知集合中的元素具有什么特征.若元素a屬于集合A,則元素a就具有集合A的特征;若a不屬于集合A,則元素a就不具有集合A的特征.【例5】

已知A={(x,y)|y=x2,x∈R},則(

)A.-1∈A B.1∈AC.(-1,1)∈A D.(1,-1)∈AC解析

因?yàn)锳={(x,y)|y=x2,x∈R},故當(dāng)x=-1時(shí),y=1,從而點(diǎn)(-1,1)在拋物線y=x2上,即(-1,1)∈A.故選C.【例6】

已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的實(shí)數(shù)解為元素構(gòu)成的集合.(1)1是A中的一個(gè)元素,求集合A中的其他元素;(2)若A中有且僅有一個(gè)元素,求a的值組成的集合B中元素的個(gè)數(shù);(3)若A中至多有一個(gè)元素,試求a的值的情況.解(1)若1是A中的一個(gè)元素,則只需a+2+1=0,解得a=-3,此時(shí)由-3x2+2x+1=0可知x=1或x=-.則集合A中的另一個(gè)元素為-.(2)當(dāng)a=0時(shí),原方程化為2x+1=0,解得x=-,滿足條件;當(dāng)a≠0時(shí),只需Δ=4-4a=0,即a=1,故所求a的值為0或1,因此集合B中元素的個(gè)數(shù)為2.(3)A中至多有一個(gè)元素時(shí)包括方程有1個(gè)解或無(wú)解.當(dāng)方程中有1個(gè)解時(shí),由(2)可知a的值為0或1;當(dāng)方程無(wú)解時(shí),只需Δ=4-4a<0,即a>1.因此A中至多有一個(gè)元素時(shí),a=0或a≥1.規(guī)律方法

求解一類(lèi)關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解集關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解集類(lèi)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是通過(guò)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a的討論來(lái)考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.當(dāng)a≠0時(shí),該方程是關(guān)于x的一元二次方程;當(dāng)a=0,b≠0時(shí),是關(guān)于x的一元一次方程.求解此類(lèi)方程的解集問(wèn)題,要注意根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0判斷其是否為一元二次方程,當(dāng)a≠0時(shí),可借助判別式的符號(hào)求解.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下列關(guān)系中正確的是(

)C12345678910112.若a是集合R中的元素,但不是集合Q中的元素,則a可以是(

)A.3.14 B.-5D12345678910113.(多選題)下列結(jié)論正確的是(

)A.若a∈N,則-a?NB.若a∈Z,則a2∈ZC.若a∈Q,則|a|∈QD.若a∈R,則

∈RBCD解析

A錯(cuò)誤.比如,0∈N,-0∈N.其余均正確.12345678910114.(多選題)由a2,2-a,4組成一個(gè)含有3個(gè)元素的集合A,則實(shí)數(shù)a的取值不可能是(

)A.1 B.-2C.-1 D.2ABD解析

由題意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,結(jié)合選項(xiàng)知a不可能是ABD.12345678910115.已知集合A中含有2個(gè)元素x+2和x2,若1∈A,則實(shí)數(shù)x的值為

.

1解析

由題意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.當(dāng)x=-1時(shí),x+2=x2,不符合題意,所以x=-1舍去;當(dāng)x=1時(shí),x+2=3,x2=1,滿足題意.故x=1.12345678910116.若方程x2-ax+2=0的解集為M,且1∈M,則a=

,集合M中的另一個(gè)元素是

.

32解析

由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一個(gè)根,將1代入可得a=3,當(dāng)a=3時(shí),方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一個(gè)元素是2.12345678910117.給出下列說(shuō)法:①在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素;②好聽(tīng)的歌能組成一個(gè)集合;③高一(1)班所有姓氏能構(gòu)成集合;④把1,2,3三個(gè)數(shù)排列,共有6種情況,因此由這三個(gè)數(shù)組成的集合有6個(gè).其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3B解析

①集合中的元素不能相同,所以在一個(gè)集合中不可以找到兩個(gè)相同的元素,因此本序號(hào)說(shuō)法不正確;②因?yàn)楹寐?tīng)的歌標(biāo)準(zhǔn)不確定,所以好聽(tīng)的歌不能組成一個(gè)集合,因此本序號(hào)的說(shuō)法不正確;③因?yàn)楦咭?1)班所有姓氏是確定的,所以可以構(gòu)成一個(gè)集合,因此本序號(hào)的說(shuō)法是正確的;④根據(jù)集合元素的無(wú)序性,由這三個(gè)數(shù)組成的集合只有一個(gè),因此本序號(hào)說(shuō)法不正確.因此正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)為1,故選B.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練12345678910118.

由實(shí)數(shù)

所組成的集合,最多含元素個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3C.4 D.5A1234567891011B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)已知集合A中有3個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)a∈A時(shí),6-a∈A,則a為(

)A.2 B.4 C.0 D.6AB解析

因?yàn)榧螦中含有3個(gè)元素2,4,6,所以0?A.由題意當(dāng)a∈A時(shí),6-a∈A,所以當(dāng)a=2∈A時(shí),6-a=4∈A,則a=2滿足條件;當(dāng)a=4∈A時(shí),6-a=2∈A,則a=4滿足條件;當(dāng)a=6∈A時(shí),6-a=0?A,則a=6不滿足條件.綜上所述,a=2或a=4.123456789101110.設(shè)A是方程kx2-kx-5=0(k∈R)的解組成的集合,回答下列問(wèn)題:①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求實(shí)數(shù)k的值及A中的其他元素.③若A中僅有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)k的值.

解

①將x=0代入方程,得0