淺談追及問題的幾種模型

淺談“追及問題”的幾種模型仁化中學(xué)劉麗娜內(nèi)容摘要：“追及問題”是運(yùn)動(dòng)學(xué)中研究同一直線上兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)常常涉及的問題，也是勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律在實(shí)際中的具體應(yīng)用。高中物理中的追及問題有很多種類型，本文主要介紹三種模型：一是勻速直線運(yùn)動(dòng)追勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，二是做初速度為V0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)追做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，三是勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體。關(guān)鍵詞：追及問題勻變速直線運(yùn)動(dòng)模型相遇問題和追擊問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用題行程類問題中的兩種典型，我國(guó)學(xué)生從小學(xué)五年級(jí)就開始學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容[1]。同樣地，追擊相遇問題也是高中物理課程中很重要的一個(gè)問題。物體在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，兩物體之間的距離發(fā)生變化時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)最大距離、最小距離或者是相遇的情況，這類問題稱為“追及相遇問題”?！白芳啊钡闹饕獥l件是:兩個(gè)物體追趕過程中處在同一位置。這類問題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中較難的問題，在考察運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題能力方面有較高的要求，高考中時(shí)有涉及。一追及問題的幾種“模型”“追及”的主要條件是兩個(gè)物體在追趕上時(shí)處在同一位置，常見的情形有三種：一是勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體乙時(shí)，存在一個(gè)恰好追上或恰好追不上的臨界條件是兩物體速度相等，即。此臨界條件給出了一個(gè)判斷此中追趕情形能否追上的方法，即可通過比較兩物體處在同一位置時(shí)的速度大小來分析，具體方法是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時(shí)的速度大小，若，則能追上，若，則追不上，如果始終追不上，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，兩物體的間距最小。二是初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向的勻速的物體乙時(shí)，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即。三是勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，情形跟第一種相類似。兩物體恰能“相碰”的臨界條件是兩物體處在同一位置時(shí)，兩物體的速度恰好相等。這三種常見的情形在文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)介紹。下面介紹以下三種追及問題的“模型”。模型一：勻速直線運(yùn)動(dòng)追勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體例1：火車A以速度勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上相距處有另一火車B沿同方向以速度（對(duì)地，且做勻速運(yùn)動(dòng)，A車司機(jī)立即以加速度（絕對(duì)值）緊急剎車，為使兩車不相撞，應(yīng)滿足什么條件？分析：火車A司機(jī)剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A車運(yùn)動(dòng)到與B車車尾即將相遇時(shí)，如A車車速已降到等于甚至小于B車車速，則兩車就不會(huì)相撞，故取和求解。解法一：取上述分析過程的臨界狀態(tài)，則有所以當(dāng)時(shí)，兩車便不會(huì)相撞。法二：如果A車追上B車恰好發(fā)生相撞，則上式整理后可寫成有關(guān)t的一元二次方程，即取判別式△〈0，則t無實(shí)數(shù)解，即不存在發(fā)生兩車相撞時(shí)間t?！鳌?，則有得為避免兩車相撞，故法三：運(yùn)用v-t圖象進(jìn)行分析，設(shè)從某時(shí)刻起A車開始以絕對(duì)值為的加速度開始剎車，取該時(shí)刻為t=0，則A、B兩車的v-t圖象如圖所示。圖中由、、三點(diǎn)組成的三角形面積值即為A、B兩車位移之差，tanθ即為A車減速的加速度絕對(duì)值。因此有vvvvAvB0tt0ACBθ（所以若兩車不相撞需模型二：做初速度為V0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)追做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)例2：甲、乙兩車相距，同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，乙在前面做加速度為、初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，甲在后面做加速度為、初速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)，試討論兩車在運(yùn)動(dòng)過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.分析由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，故有，①當(dāng)時(shí)，，可得兩車在運(yùn)動(dòng)過程中始終有.由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時(shí)間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次.②當(dāng)時(shí)，，可得，同樣有，因此甲、乙兩車也只能相遇一次.③當(dāng)時(shí)，，和的大小關(guān)系會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加而發(fā)生變化.剛開始，和相差不大且甲有初速，所以；隨著時(shí)間的推移，和相差越來越大；當(dāng)時(shí)，，接下來，則有.若在之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于，甲車就沒有機(jī)會(huì)超過乙車，即兩車不相遇；若在時(shí)，兩車剛好相遇，隨后，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在前，甲車已超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，則兩車能相遇兩次.解法一：由于相遇時(shí)有則所以（1）①當(dāng)時(shí)，（1）式t只有一個(gè)正解，則相遇一次.②當(dāng)時(shí)所以t只有一個(gè)解，則相遇一次.③當(dāng)時(shí)，若，（1）式無解，即不相遇.若，（1）式t只有一個(gè)解，即相遇一次.若,（1）式t有兩個(gè)正解，即相遇兩次.解法二：利用v-t圖象求解.當(dāng)時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如圖1中的Ⅰ和Ⅱ，其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時(shí)刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次.圖1當(dāng)時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如圖2中的Ⅰ和Ⅱ，討論方法同①，所以兩車也只能相遇一次.圖2當(dāng)時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)圖線分別為如圖3中的Ⅰ和Ⅱ，其中劃實(shí)斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移.若劃實(shí)斜線部分的面積小于S，說明甲車追不上乙車，則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分的面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超.則相遇一次；若劃實(shí)斜線部分的面積大于S.如圖中0～t1內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積為S，說明t1時(shí)刻甲車追上乙車，以后在t1～t時(shí)間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1～t時(shí)間內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積，隨后在t～t2時(shí)間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時(shí)刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次.圖3模型三：勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體例3：甲、乙兩車同時(shí)同地同向出發(fā)，在同一水平公路上做直線運(yùn)動(dòng)，甲以初速度，加速度做減速運(yùn)動(dòng)，乙以初速度，加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)．求：(1)兩車再次相遇前二者間的最大距離；(2)兩車再次相遇所需時(shí)間．分析：兩車同時(shí)同地同向出發(fā)。因?yàn)?，盡管甲作勻減速運(yùn)動(dòng)，乙作勻加速運(yùn)動(dòng)，在開始的一段時(shí)間內(nèi)甲的速度大于乙的速度，兩者間的距離越來越大，當(dāng)甲減速，乙加速到二者速度相等時(shí)，二者間距離達(dá)到最大，此后，乙的速度大于甲的速度，二者間距離減小，當(dāng)兩者的位移相等時(shí)再次相遇．解法一：(1)設(shè)速度相等時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,相距最遠(yuǎn)的條件是即最遠(yuǎn)距離(2)設(shè)再次相遇運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，相遇條件是即代人數(shù)據(jù)整理后得則即是出發(fā)時(shí)刻，舍之）解法二：用求二次函數(shù)的極值法解．兩車間的距離（1），當(dāng)時(shí)，有最大值，故最遠(yuǎn)距離(2)當(dāng)時(shí)，兩車再次相遇，即解得（舍去）二分析追及和相遇問題時(shí)需要注意的問題1.一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系（1）一個(gè)條件：是兩個(gè)物體速度相等時(shí)滿足的臨界條件，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。（2）兩個(gè)關(guān)系：是指時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系時(shí)間關(guān)系：指兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一前一后。位移關(guān)系：指兩物體是同地運(yùn)動(dòng)還是一前一后，通過畫運(yùn)動(dòng)示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2.若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意，追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。3.仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字