人教初中八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》教案小結(jié)復(fù)習(xí)課剖析

小結(jié)整式的乘法與因式分解人教版-數(shù)學(xué)-八年級上冊知識梳理-重點(diǎn)解析-深化練習(xí)知識梳理整式的乘法與因式分解

乘法公式因式分解平方差公式完全平方公式提公因式法公式法十字相乘法知識梳理平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.平方差的特點(diǎn)：(1)等號左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)等號右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.知識梳理完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.知識梳理添括號法則：添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號.a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)知識梳理因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.可以看出，因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即x2-1

(x+1)(x-1)因式分解整式乘法知識梳理提公因式：一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.公因式的確定：(1)確定公因式的系數(shù)：當(dāng)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)就是多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；當(dāng)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)都是分?jǐn)?shù)時(shí)，公因式的系數(shù)為分?jǐn)?shù)，而且分母取各項(xiàng)系數(shù)中分母的最小公倍數(shù)，分子取各項(xiàng)系數(shù)中分子的最大公因數(shù).

知識梳理提公因式：一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.公因式的確定：(2)確定相同字母：公因式應(yīng)取多項(xiàng)式各項(xiàng)中相同的字母.(3)確定公因式中相同字母的指數(shù)：取相同字母的指數(shù)的最小值作為公因式中此字母的指數(shù).(4)確定公因式：由步驟(1)~(3)寫出多項(xiàng)式的公因式.知識梳理平方差公式分解因式：由于整式的乘法與因式分解是方向相反的變形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等號兩邊互換位置，就得到了a2-b2=

(a+b)(a-b).語言敘述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.

“兩個(gè)數(shù)”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.知識梳理完全平方公式分解因式：把整式乘法的完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2

=a2-2ab+b2

的等號兩邊互換位置，就可以得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2

=(a-b)2.語言敘述：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.知識梳理十字相乘法：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).

1

4

1

1x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+5x+4=(x+1)(x+4)重點(diǎn)解析1因式分解：①有公因式的先提取公因式

;②沒有公因式的試用公式法

;③不能提公因式，不能用公式法的用十字相乘法

;④分解因式必須進(jìn)行到不能再分解為止.本題源自《教材幫》綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).重點(diǎn)解析1解：(1)3a3b-48ab3

=3ab(a2-16b2)

=

3ab[a2-(4b)2]

=

3ab(a+4b)(a-4b)

;

解：(2)

x4-8x2+16

=

(x2)2-2?x2?4+42

=

(x2-4)2

=

[(x+2)(x-2)]2

=(x+2)2(x-2)2

.

綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).重點(diǎn)解析1解：(3)-4x3y-8x2y-4xy

=-4xy(x2+2x+1)

=

-4xy(x+1)2;

解：(4)25x2(a-b)+36y2(b-a)=(a-b)(25x2-36y2)

=(a-b)[(5x)2-(6y)2]

=

(a-b)(5x+6y)(5x-6y)

.

綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).重點(diǎn)解析2先局部分解或展開，再利用公式法分解因式：(1)

(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2;

(2)(x+2)(x-8)+25.

解析：當(dāng)多項(xiàng)式不能直接因式分解，但含有單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積或多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積時(shí)，一般先將乘積項(xiàng)展開合并同類項(xiàng)后，再根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解.本題源自《教材幫》重點(diǎn)解析2本題源自《教材幫》解：(1)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2

=(x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2

=(x-y)2-2(x-y)?4(x+y)+[4(x+y)]2

=[(x-y)-4(x+y)]2=(-3x-5y)2=(3x+5y)2;解：(2)(x+2)(x-8)+25

=x2-8x+2x-16+25=x2-6x+9=x2-2?x?3+32

=(x-3)2.先局部分解或展開，再利用公式法分解因式：(1)

(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2;

(2)(x+2)(x-8)+25.

重點(diǎn)解析3已知△ABC的三邊長為a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，試判斷此三角形的形狀.解析：觀察條件中的式子結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)：有平方和，有兩個(gè)數(shù)的乘積.嘗試運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，得到a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷出三角形的形狀.本題源自《教材幫》解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0.

∴(a-b)2+(b-c)2+(a2-2ac+c2)=0.

∴a-b=0，b-c=0，a-c=0.∴a=b=c，則此三角形為等邊三角形.重點(diǎn)解析3已知△ABC的三邊長為a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，試判斷此三角形的形狀.本題源自《教材幫》深化練習(xí)1

若：4x2+mxy+9y2是完全平方式，則m的值為多少？

解：完全平方公式是形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子，將條件中的式子進(jìn)行變形.∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，且原式是完全平方式，∴±m(xù)xy=2?2x?3y.∴m=±12.深化練習(xí)2本題源自《教材幫》因式分解：(1)a4-16a2;

(2)-2a2b2+a3b+ab3;(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2;

(4)(x2+y2)2-4x2y2.分解因式要觀察式子的形式，選擇合適的方法，并且分解后的結(jié)果一定要到不能再分解為止.深化練習(xí)2本題源自《教材幫》

因式分解：(1)a4-16a2;

(2)-2a2b2+a3b+ab3;解：(1)

a4-16a2

=a2(a2-16)

=a2(a+4)(a-4)

;

解：(2)

-2a2b2+a3b+ab3

=ab(-2ab+a2+b2)=ab(a-b)2;

深化練習(xí)2本題源自《教材幫》

因式分解：(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2;

(4)(x2+y2)2-4x2y2.解：(3)

(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2=

(a2+1)2-2?(a2+1)?2a+(2a)2=[(a2+1)-2a]2=[(a-1)2]2=(a-1)4;

(4)

(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2)2-(2xy)2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.

深化練習(xí)3本題源自《教材幫》

計(jì)算：整數(shù)x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y的值為多少？解析：利用因式分解將等式變形為左邊是兩個(gè)整式的乘積，右邊是一個(gè)整數(shù)的形式，再求出x，y的值，進(jìn)而求出x+y的值.

本題的難點(diǎn)是如何將2xy+x+y=83進(jìn)行變形并因式分解.深化練習(xí)3本題源自《教材幫》

計(jì)算：整數(shù)x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y的值為多少？解：∵2xy+x+y=83，∴4xy+2x+2y=166，4xy+2x+2y+1=167.∴2x(2y+1)+(2y+1)=167.∴(2x+1)(2y+1)=167.∵167是質(zhì)數(shù)，∴167只能分解為167和1