量子力學期末考試復習題

量子力學考研模擬題(1)

r(30分)回答下列問題：

(1)何謂微觀粒子的波粒兩象性？

(2)波函數(shù)"(")是用來描述什么的？它應該滿足什么樣的自然條

件？的物理意義是什么？

(3)分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)與負宇稱態(tài)？

(4)物理上可觀測量應該對應什么樣的算符？為什么？

(5)坐標x分量算符與動量％分量算符九是對易關系是什么？并寫出

兩者滿足的不確定關系。

(6)厄米算符戶的本值力與本征矢歷〉分別具有什么性質？

二(20分)設氫原子處于

叭人仇'心(尸注0(49)-gR31(廠)加(4<P)-fR21⑺工-](仇夕)的狀態(tài)上，求

能其量、角動量平方及角動量Z分量的可能取值與相應的取值概率，進而

求出它們的平均值。

三(25分)設厄米算符方的本征矢為構成正交歸一完備函數(shù)

系，定義一個算符

U(m,n)=|znVn|

(1)計算對易[方:"(〃?,〃)]

(2)證明的”,〃)U+(p,q)=%U(/〃,p)

(3)計算陣跡7；尸=2<“小〉

k

(4)若算符3的矩陣元為4,=<“到〃〉,證明

4=工勺/(相,〃)

ni,n

A兇=r,{4U+（p,q）}

四（25分）自旋為《，固有磁矩為五="（其中/為實常數(shù)）的粒子,

處于均勻外磁場自=與唬中，設t=0時粒子處于與=《的狀態(tài)。

（1）求出t>0時的波函數(shù)；

（2）求出t>0時1與色的可測值及相應的取值概率。

人21

五（25分）已知二維諧振子的哈密頓算符為氏=4+工”/（/+/）,

2M2

對其施加微擾W=-Axy后，利用微擾論求H=H0+W基態(tài)能量至二級修正、

第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。

六（25分）設粒子處于Y]m（O,（p）態(tài)，求該態(tài)中Lx,Ly,L的平均值.

量子力學自測題⑴答案

-（30分）回答下列問題：

（1）何謂微觀粒子的波粒兩象性？

解微觀粒子既不是粒子，也不是波。更確切地說，它既不是經(jīng)典意義下的粒子，也不是經(jīng)

典意義下的波，但是，它即具有經(jīng)典粒子的屬性（具有確定的質量、電荷與自旋），又具有經(jīng)典波

動的屬性（具有干涉及衍射現(xiàn)象）。嚴格地說，微觀粒子就是微觀粒子，粒子與波只是微觀粒子的

兩種不同屬性。如果硬是要用經(jīng)典的概念來理解它的話，那么，微觀粒子既具有經(jīng)典粒子的屬性又

具有經(jīng)典波動的屬性，是經(jīng)典粒子與經(jīng)典波動這一矛盾的綜合體。

（2）波函數(shù)〃（尸/）是用來描述什么的？它應該滿足什么樣的自然條件？帆（八的物理意義

是什么？

解波函數(shù)是用來描述體系狀態(tài)的復函數(shù)，除了應滿足平方可積的條件之外，它還應該是單值、

有限和連續(xù)的。帆（尸"）/表示在t時刻f附件dr體積元中粒子出現(xiàn)的概率密度。

（3）分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)與負宇稱態(tài)？

解當粒子在坐標趨向無窮遠時，描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。

若一個本征值對應一個以上不同的本征態(tài)，則稱該本征值是簡并的，所對應的本征態(tài)即為簡并態(tài)，

本征態(tài)的個數(shù)就是相應的簡并度。將波函數(shù)中的坐標變量改變一個負號，若得到的新波函數(shù)與原波

函數(shù)相差一個負號，則稱其為負宇稱態(tài)。

（4）物理上可觀測量應該對應什么樣的算符？為什么？

解物理上可觀測量對應線性厄米算符。線性是狀態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是

實數(shù)，可與（實數(shù)）觀測值比較。

（5）獅x分量算符與動量x分量算符”是對易關系是什么？并寫出兩者滿足的不確定關系。

力

解對易關系為［x,px=ih］不確定關系為Ax-APx>~.

（6）厄米算符戶的本值力與本征矢|〃》分別具有什么性質？

解本征值為實數(shù)，本征矢構成正交、歸一和完備的函數(shù)系。

二（20分）設氫原子處于

以r,0,（p）=~=R2i⑺/（仇。）一；勺（廠注。（仇/）一9（r）/,.,（49）的狀態(tài)上，求其能

量、角動量平方及角動量Z分量的可能取值與相應的取值概率，進而求出它們的平均值。

解選｛",￡3,4｝為描述體系的力學量完全集，氫原子的本征解為

“41

（心夕。（仇*）

其中量子數(shù)的取值范圍是

z?=l,2,3,....；I=0,1,2,....,n~\；m=l,l~l,l~2,....,~l+1,~I

利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為

fl11Yi[4

V2+4+2j=V5

氫原子的能量只與主量子數(shù)力有關，依題題可知，〃的可能取值有兩個，即〃=2,3,于是

E=Q4_4

卬("

38力2145-5

二金

EIV(￡,)=--=-

318力2455

豆—侔444pie41I_售4

-8^5-18^5--9^

角動量量子數(shù)1的可能取值只有一個，即片1,故有

Z3=2%2；卬（產=2力2）=i

7=2方2

角動量磁量子數(shù)卬的可能取值有兩個，即mT,0,于是

3

L.Z=0；W(4=o)=f!iU

(2+4；55

5

H（25分）設厄米算符方的本征矢為|〃），｛〃）｝構成正交歸一完備函數(shù)系，定義一個算符

U(m,H)=||

（1）計算對易［A：u（〃?,”）］

（2）證明U（/n,九）U+（p,q）=%U（/n,p）

（3）計算陣跡7；盧=z</,>

k

（4）若算符A的矩陣元為A??=<5小卜>,證明

4=Za“/（〃z，〃）

m,n

+

Ap^Tr\AU（p,q）｝

解（1）對于任意一個態(tài)矢有

人人人人II

［月,U(，”,〃)］帆>=HU(m,n)\y/>-U(m,n)H>=

Hm><ni//>-m><n^H\i//=

EmU{m,n)\w>-EnU{m,n)\i//>=

)(?(〃/,〃)■>

「人人人

故,u(m,n)J=(E,n-En)U(加,n)

(2)l)(m,n)U+(p,q)=m><nq><p|=6niIJ(m,p)

(3)算符的陣跡為

Tr^U(九〃)}=Z<%口>=

k

Z<攵|機><n\k>=

k

Z<〃,攵|/77>=<n\m>=8mn

k

(4)算符

m><mA=Zm><mA,><n\=

mm,n

IX/(〃?,〃)

m,n

而

=<?>=X<Pk><小卜=

+

.<女卜卜><pk>-^<k^AU(p,q)\k>=

Tr{4(?(p,q)}

tia?人

四(25分)自旋為一，固有磁矩為〃=ys(其中y為實常數(shù))的粒子，處于均勻外磁場月=&/

方

中,設t=0時粒子處于s,=-的狀態(tài)。

(1)求出t>0時的波函數(shù)；

(2)求出t>0時/與耳的可測值及相應的取值概率。

解體系的哈密頓算符為

卷E=一審■耳三吟

H=—//?B=-yl

在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為

E[=?y;弧>=1+>

￡<2二一0；。2>=|-〉

fl

(1)在t=o時，粒子處于1=5的狀態(tài)，卻

帆(0)>=〔+>,

式中，|+>r是d相應于本征值為1的本征態(tài)。為了求出|+〉’在泡利表象中的具體形式，需要求

解6,滿足的本征方程

Joj=丸

解之得

4+>+-]

f8：0+>+>]

于是有必0)>=1+>工=-U[|+>+1->]

v2

由于哈密頓算符不顯含時間，故t>0時刻的波函數(shù)為

>--^expf-—EjM+>+1

7TW層修卜〉

7

1

正exP——cotexP|j血->

h

（2）因為[方,0]=0,所以上是守恒量，它的取值概率與平均值不隨時間改變。換句話說，只

要計算出1=0時-，2的取值概率，就知道了t>0時s：的取值概率。

由于

2WS.T。卜2

故有

=0

S,的取值概率為

2

2

，Z=Sin

而卬s,=-2J[T)

分21

五（25分）已知二維諧振子的哈密頓算符為方0=坦一+上〃。2（/+2）,對其施加微擾

02M2

歷=-加后，利用微擾論求方=方。+位基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。

提示:何|帆）=:/J+1e/JO)

，其中a為線諧振子的第n

2。"八"-】~h~

個本征矢。

解體系的哈密頓算符為

H=H0+W

其中

分1/人2人2、19/2)

“o=T(Px+pvv+y

2〃2

W=-Axy

已知方0的解為

E,°=5+1)方。

▼，x,y)=(Pn、(x)"(y)

其中

〃i、〃2、M=0,1,2,…

i=l,2,3,…，f〃

將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來

E0°=力①；％)=%,(x)Oo(y)

用°=2力0；%?=〃o(x)%(y)

-12=—(x)9o(y)

Ej=3ha)；%]=群2(x)仰(y)

-22=。0(加2(>)

〃23=(X)9l(y)

對于基態(tài)而言，ni=n2=n=O,fo=l,體系無簡并。利用公式

顯然，求和號中不為零的矩陣無只有

("。用心｝=(〃23網(wǎng)％)=--

于是得到

E⑵=1匯=下方

-4--

°Eo°-E2°4a8^7

第二激發(fā)態(tài)為3度簡并，在簡井子空間中，能量一級修正滿足的久期方程

匕一4⑴叫2%

(1)

W2lW22-E2必3印

%卬32嗎3—/⑴

其中

wll=w22=w33=w12=w2l=0

W=W3|=W3=W=一一二^于是得到

1323242a2

M7=-4”⑴=0；

a

量子力學考研模擬題(3)參考答案

-（20分）質量為m的粒子做一維自由運動，如果粒子處于“（x）=Asin2（丘）的狀態(tài)上，求其

動量p與動能T的取值概率分布及平均值。

解做一維自由運動粒子的動量與動能算符分別為

八d辛力2

p=-in—；T=----

dx2m

顯然兩者相互對易，有共同完備本征函數(shù)

化,（x）=-^rexpRpx

J2徜I力

分別滿足

0(Pp(x)=pq)p(x)

?(x)=梟%,(x)

將—（x）向°p（x）展開，即

oo

獷（X）=卜孫（x）dp

-00

展開系數(shù)

00

Cp=1%,*(x)-(x)dx=

-co

2

00exp(ikx)-exp(一永x)

AJ%*(x)dx=

2z

-<x>

00

--A-J/：(x)[exp(2z^x)-2+exp(-2zfcr)]jx=

4—Q0

A00

--\(Pp(x)V^[02妨(x)一2%(X)+<p_2ktl(x)}lx=

-oo

-；p—2劫)一2/p—0)+6(p+2助]

只有當p=0,±2k力時,CpWO。利用歸一化條件

SM2=i

p

可知，歸一化常數(shù)為

于是歸一化后的展開系數(shù)為

動量的取值概率為

W(p=2筋)=2；W(p=0)=2；w(p=-2kti)=-

636

平均值為

P=Z〃W(P)=O

P

動能的取值概率與動量相同，而平均值為

亍,p22k常

p2m3m

二(20分)質量為m的粒子處于如下一維勢阱中

oo(%<0)

V(x)=(0(04x4a)

Vo(>0)(x>a)

若已知粒子在此勢阱中存在一個能量E=%的本征態(tài)，試確定此勢阱的寬度〃。

2

解對于E=今〈匕的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為

“I(X)=0

%(x)=Asin(Ax+ty)

%(x)=Bexp(—ar)+Cexp(ca)

其中

41mE12m(V。-E)

k=------；a=-----------

hh

當xfoo時，〃式x)=0,于是C=0。

在x=0處，”](x)="2(x)，故有，Asinb=0,即5=〃乃,于是波函數(shù)簡化為

%(尤)=0

r

y/2(x)=Asin(fcx+n九)=Asin(kx)

憶(x)=Bexp(-ar)

在x=a處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件

/2(。)二〃3(。)

〃2⑷=憶⑷

得到

A'sin(ka)=Bexp(-aa)

Arkcos(ka)=-Bacxp(-aa)

于是有

k

tan(hz)=---

a

此即能量本征值滿足的超越方程。

當七=^匕時，由于

J"7Vo冗

-----a=nn---(n=l,2,3,,

4

最后得到勢阱的寬度

H（20分）在三維希爾波特空間中，已知兩個算符育和分的矩陣形式為

‘100、'-100'

H=Q-10B=b001

、00-1,“10,

其中b、3為實常數(shù)。證明算符方和月是厄米算符，并且兩者相互對易,進而求出它們的共同本征

函數(shù)。

解由厄米算符的定義知，厄米算符戶滿足

F+=F

或者，=（%,）*

題中所給出的算符H和算符B皆為實對稱矩陣，故它們都是厄米算符。

因為

300、-100}-100、

HB^hco0-10b001ticoh001

0-1100-1

、0J、00,

而

00、’100(-100、

BHh，001ha)0-10=hcob，00-1

,0107,00-17,00>

所以有

反回=0

設立滿足的本征方程為

100

ha)0-10

00-1

由于方是對角矩陣，所以它的本征值就是其對角元，即

Ej=hco

E2=-hco

瑪二一hco

其中E2=E3,該本征值具有二度簡并。由于簡并的存在，僅由算符方不能惟一確定E2、E3的波函數(shù)。

當月=力。時;由本征方程可知，J=l,C2=C3=。,于是波函數(shù)為

進而得到

10OYCr-n

Bi//1=b001o=^o=—bw、

、010大Oj10y

上式說明％也是算符月的本征波函數(shù)，對應的本征值為上。由此看來,內是算符方與方的共同本

征函數(shù)，對應的本值分別為耳=力。和B產-b。

當E2=E3=j。時，波函數(shù)材2、憶無法惟一確定，它們的矩陣形式是一樣的，為簡潔起見，統(tǒng)

一記為

<0、

憶3

用算符與作用上式，得到其滿足的本征方程

-i0oYo、ro、ro、

B%3=b0012B“2Bd?

a.

、°10八“3/

在簡并子空間中，久期方程為

-Bh

0

b-B

得到B的另外兩個本征值，分別記為

B2=b；B3=-b

當B?=b時,

得到

d2=d3

由歸?化條件知

進而得到d2=d,=^=

將其代入〃23的表達式，有

0

當B3=-b時，重復上面的求解過程，可以得到

ro、

1

匕=正1

綜上所述，算符方與差的本征值都是二度簡并的，本征波函數(shù)皆不能惟一確定，但因為它們

相互對易，所以有共同完備本征函數(shù)系，它們的共同本征函數(shù)是惟一確定的，用公式表示如下

Hha)

人=甲、

B--4

人、

H-hco

必

B'b

人］

H-tico

沙3=沙3

B'-b

一h--

ffl（20分）固有磁矩為M的電子，tR時處于s*=5的狀態(tài)，同時進入均勻磁場8=紇）女中。

給出t>0時的波函數(shù)，在此狀態(tài)下測量s一得的概率是多少。

z2

解第一步，解定態(tài)薛定譚方程。

這是一個討論自旋狀態(tài)隨時間演變的問題，故可以不顧及空間自由度。磁矩與外磁場相互作用

引起一個附加能量，與自旋相關的哈密頓算符為

人人三e人4p

H=-p-B=-s-（Bk）=-Bs

momoz

其中e、m分別為電子的電荷的絕對值與質量。若令

“。十8。

則哈密頓算符可簡化為

H二二

在一表象中，哈密頓算符是對角矩陣，它的解可以直接寫出

SC

生=方g；

5|^i)=l+)=l0

E2s@6；|。2〉=|一）=（：

第二步，寫出任意時刻的波函數(shù)。

依題意知

悝（o）H+）x

式中|+）,是在$2、Sx表象中配的S*=三的本征矢。為了將其在&表象中表示出來，必須求解負滿

足的本征方程，即

解之得±2,對應的本征矢分別為

2

1）/11卜《㈤士》

在義表象中，初態(tài)為

悝（。）〉=4=4（國+卜〉）=+。

于是t>0時刻的波函數(shù)為

|中⑴)

第三步，求在|中。?態(tài)上測量，.與得的概率。

在|中。?態(tài)上測量s二得—三的概率為

2

我方、1（1

卬（"一?。?忑exp［刊i}=-

實際上，由于s一的守恒量，故其取值概率不隨時間改變。

五（20分）一個電荷為q、質量為〃和角頻率為。的線諧振子，受到恒定弱電場￡的作用,

即位=-q￡X,求其能量近似到二級修正，波函數(shù)近似到一級修正。

解體系的哈密頓算符與微擾算符分別為

H=H0+W

IV=—qsx

Ho的解為

E,：n

2

由于方。的解無簡并,可以利用無筒并微擾論的計算公式

用匕k-匕〃

進行計算。由

rt+1e

〃忡)=1223"h"一1+J三-%+1

可知

?+le

w'rnn=-竺

a

顯然能量一級修正

叫=0

能量的二級修正為

E⑵=ZM網(wǎng)次

22kk+\22

q￡—+----q￡

222/.la)~

近似到二級修正的能量本征值為

一仁

Ekx

2J2〃病

此結果與習題選講3.4得到的精確解完全一致。

波函數(shù)的近似值為

k+L

+^~^dn.lcl

n,kT+〃)=

同+空M

hCD\fd(D

量子力學考研模擬試題（4）參考答案

-（25分）質量m的粒子，在阱寬為a的非對稱一維無限深方勢阱中運動，當t=0時，粒子

處于狀態(tài)

力。,0）=；夕|（X）一;（p2（x）+；/（X）

其中，%（x）為粒子的第n個能量本征態(tài)。

(1)求t=0時能量的取值概率;

(2)求t>0時的波函數(shù)“（XJ）；

(3)求t>0時能量的取值概率。

解非對稱?維無限深方勢阱中粒子的本征解為

萬2力2

E=-----n'(n=l,2,3…)

"2ma2

9“(x)=

（1）首先將沙（x,0）歸一化，由

出+㈢+1）卜=]

可知歸一化常數(shù)為

于是歸一化后的波函數(shù)為

~(P\(X)-j%02(X)+'—(Pi(x)

"(x,0)

能量的取值概率為

w（4）=1；卬（七2）=,；卬（當）=,

366

能量取其它值的概率皆為零。

（2）因為哈密頓算符不顯含時間，故t>0時的波函數(shù)為

-(xj)=Jg/(x)exp(-；E"

（3）因為哈密頓量是守恒量，所以t>0時的取值概率與t=0時相同。

二（25分）設體系的哈密算符改寫為

利用適當?shù)淖儞Q求出體系的能量本征值與相應的本征矢。

解將哈密頓算符改寫為

顯然，構成力學量完全集，且其共同本征函數(shù)系為｛，（。,°）｝,于是

方h（a/=J尸+J—｝乙2幾的產）=

111、

——Z(Z+1)^9+m2h2，（仇。）

271

進而可知能量本征值為

ri(i

&,=7&+D+7方2

相應的本征矢為球諧函數(shù)匕“（仇夕）。

力一一

三（25分）自旋為,，固有磁矩為〃=用。為實常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場⑶=⑶。/中。

力

設t=o時粒子處于鼠=一的狀態(tài)，求出f〉o時的波函數(shù)，進而計算儲與支的平均值。

Z2xZ

解體系的哈密頓算符為

過=一口.0=-yBosx=一4加0力￡=co8x

2

式中

0=鄧。力

在泡利表象中，哈密頓算符的矩陣形式為

其本征值E滿足久期方程

-E-ia>

=0

ico-E

解之得到

；

E,=(yE2=—co

將片=啰和E2=-0分別代入本征方程，可以求出相應的本征矢

依題意可知

顯然展開系數(shù)為

1

C,(0)=C2(0)

t>0時的波函數(shù)為

2

I"⑴〉=ZC.⑼血〉exp|—：￡J]=

n=\I〃)

擊exp卜㈤介《exp

將0=—(60方7代入上式，得到

COS30%]

|"(力=

軋的平均值為

(i、

cos^-B0x

cos]B。/),一sinBjo

,_sin]；8o/

hh/八、

|,-sinl|Box--cos(BX)

20

3的平均值為

,（曲J〃。））

i

cosRB()xj-sinf|B0zr

2721

h1°)h，八、

cos|-BXj,-sin-cos(B(,x)

20

四（25分）各向同性三維諧振子的哈密頓算符為

A21

+p~JH—/.ico~+y-+z2

方小M2

加上微擾論=-“W+yz+zx）之后，求第一激發(fā)態(tài)的?級能量修正。

解無微擾時.，三維諧振子的本征解為

￡“°=n+-

2

匕g，b(x,y,z)=夕(x)e也(z)

當n=l時，第一激發(fā)態(tài)存在3度簡并，即

E,0——hco

12

11)=W；(X,y,z)=%(x)9o(y)9|(z)

12)=.2°(x,>,z)=(p0(X)%(y)8o(z)

13)=沙3。(x,y,z)=(p\(x)/o(y)%(z)

利用公式

可以求出

Wn=W22=W33H）

W12=W21=W32=WI3=W31=-a

式中

2口①

a=--；a2=——

2a2h

在簡井子空間中，能量一級修正滿足的久期方程為

-E,'"-a-a

-a-f/0_a=0

-a-a-￡■："

化成一元三次方程

（6⑴丫-3a2居⑴+2/=0

將其變形為

（昂⑴一a[D+嗚⑴—2/=0

解之得

（1）_4

E⑴=J_

一壽；

"2a2

量子力學考研模擬題（5）參考答案

r（20分）氫原子在t=0時刻處于狀態(tài)

11

〃(30)c\耳/⑺戶)

32

式中匕,（f）為氫原子的第n個能量本征態(tài)。

（1）計算歸一化常數(shù)C=?

（2）計算t=0時能量的取值概率與平均值;

（3）寫出任意時刻t的波函數(shù)”（尸/）。

1）利用歸一化條件

可知

于是歸一化后的波函數(shù)為

另澳⑺+公⑺+島⑺

“（工0）=

M（尸）+⑺+^仍⑺

\

（2）氫原子的能量本征值為

E=上工

n“2%2n2

依題意知，能量的可能取值與相應的取值概率為

EJ；3

w田）.

2杉O

E=".卬（七）=:

28方2，

留=-匕；3

卬（當）抵

318方2O

而能量的平均值為

34a4

E=*".）=&Jue1/3_2324

〃=]o<3方2418方28—96力2

（3）任意時刻t的波函數(shù)為

3卜河村）=

“（戶J）=Zc,（0）exp

/=!

|必（產）exp（；g+⑺exp（一泊卜|心（不）exp

二（20分）證明:

（1）若一個算符與角動量算符/的兩個分量對易，則其必與J的另一個分量對易;

⑵在戶與人的共同本征態(tài)下，上與/，的平均值為零，且當M=J時，測量/，與/、,的

不確定性之積為最小。

證明（1）設算符戶與角動量算符二及皆對易，即

艮〃=艮）」=。

利用角動量算符各分量之間的對易關系

［力人,人卜I叫人

可知

人人］人I人AII人人人III人人人I

［尸/］=，尸,h，川="尸/川―曲歸）」=0

同理可知，若算符戶與角動量算符及3皆對易，則算符戶必與上對易，于是問題得證。

⑵在戶與人的共同本征態(tài)|加〉下，刀的平均值為

（網(wǎng)）=；卜叩++工|附

由升降算符的性質可知

j±\j,M）=力”（J+1）-J,M+］）

于是有

（網(wǎng)）"g=0

同理可證，算符。在|JM）下的平均值也為零。

在|JM〉態(tài)上，算符/，的平均值為

（網(wǎng)不回=；?叩.+乙）（4+工網(wǎng)）=