新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)01 平面向量（原卷版）

微專(zhuān)題01平面向量【秒殺總結(jié)】結(jié)論1：極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四邊的平方和：SKIPIF1<0證明：不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（2）（1）（2）兩式相加得：SKIPIF1<02、極化恒等式：上面兩式相減，得：SKIPIF1<0————極化恒等式（1）平行四邊形模式：SKIPIF1<0幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的SKIPIF1<0．（2）三角形模式：SKIPIF1<0（M為BD的中點(diǎn)）結(jié)論2：矩形大法：矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線(xiàn)端點(diǎn)距離的平方和相等．已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0．【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)SKIPIF1<0，以AB所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論3：三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是三個(gè)不共線(xiàn)向量，則A、B、P共線(xiàn)SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0．特別地，當(dāng)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0．結(jié)論4：等和線(xiàn)【基本定理】（一）平面向量共線(xiàn)定理已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)；反之亦然．（二）等和線(xiàn)平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直線(xiàn)上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我們把直線(xiàn)SKIPIF1<0以及與直線(xiàn)SKIPIF1<0平行的直線(xiàn)稱(chēng)為等和線(xiàn)．（1）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)恰為直線(xiàn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)在SKIPIF1<0點(diǎn)和直線(xiàn)SKIPIF1<0之間時(shí)，SKIPIF1<0；（3）當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0和等和線(xiàn)之間時(shí)，SKIPIF1<0；（4）當(dāng)?shù)群途€(xiàn)過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0；（5）若兩等和線(xiàn)關(guān)于SKIPIF1<0點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則定值SKIPIF1<0互為相反數(shù)；結(jié)論5：奔馳定理【奔馳定理】若O為SKIPIF1<0內(nèi)任一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【典型例題】例1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____．SKIPIF1<0．例2．正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是．例3．已知圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，定點(diǎn)SKIPIF1<0，A、B分別在圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上，滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則線(xiàn)段AB的取值范圍是．例4．在平面內(nèi)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例6．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的夾角為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心的圓弧SKIPIF1<0上變動(dòng)．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是__________．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·北京西城·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0邊上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）已知向量SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，G為線(xiàn)段AM上一點(diǎn)且SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．44．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在半徑為4的扇形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P，M滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O是SKIPIF1<0外接圓圓心，是SKIPIF1<0的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．57．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，SKIPIF1<0，若點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為2，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為2的菱形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的一點(diǎn),滿(mǎn)足SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．812．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的最大值為A．3 B．2SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2二、多選題13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若O為△ABC的重心，則SKIPIF1<0 B．若O為△ABC的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若O為△ABC的外心，則SKIPIF1<0 D．若O為△ABC的垂心，則SKIPIF1<014．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是互不相等的非零向量，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是互相垂直的單位向量，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則O，A，B，C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為2C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<015．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若O為△ABC的內(nèi)心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若O為△ABC的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<016．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨(dú)特風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài)．古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)，偏稱(chēng)游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0上（含端點(diǎn)），連接OP交扇形OAB的弧SKIPIF1<0于點(diǎn)Q，且SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）圖1

圖2A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，圓О是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0可以取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．118．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是銳角SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0分別是線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0