新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)05 數(shù)列經(jīng)典題型精練（解析版）

微專題05數(shù)列經(jīng)典題型精練【秒殺總結(jié)】1、給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.2、在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮或者第三項(xiàng)開(kāi)始放縮.3、幾種常見(jiàn)的數(shù)列放縮方法：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0.【典型例題】例1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0為前n項(xiàng)的和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式SKIPIF1<0對(duì)一切SKIPIF1<0都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，故SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）由題知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞減，于是SKIPIF1<0∴要得不等式SKIPIF1<0對(duì)一切SKIPIF1<0都成立，則SKIPIF1<0．例2．（2023·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．例3．（2023·浙江·溫州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知曲線SKIPIF1<0及曲線SKIPIF1<0．從SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交曲線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，再?gòu)狞c(diǎn)SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交曲線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0（Ⅰ）試求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系，并證明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）由已知，SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，下證：SKIPIF1<0解法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異號(hào)注意到SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解法二：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（Ⅱ）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0從而可知SKIPIF1<0故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4．（2023·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差大于0的等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成等差數(shù)列？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)出等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差，根據(jù)給定條件列式計(jì)算即可作答．（2）由（1）的結(jié)論求出SKIPIF1<0，借助裂項(xiàng)相消法求出SKIPIF1<0，再探求SKIPIF1<0成等差數(shù)列的m，n值即可作答．（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0（d>0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．假設(shè)存在正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，顯然n+3是25的正約數(shù)，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或25，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0矛盾，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合題意，所以存在正整數(shù)使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例5．（2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知首項(xiàng)為1的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再利用等差數(shù)列的定義證明．（2）由（1）得到SKIPIF1<0，再利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（3）根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0證明．（1）證明：兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0符合上式，故SKIPIF1<0．（3）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．例6．（2023·浙江·無(wú)高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，分別求出通項(xiàng)公式，再綜合即可；（2）利用放縮法進(jìn)行證明即可．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②②-①得SKIPIF1<0化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等式兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由題知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求其前SKIPIF1<0項(xiàng)和.【解析】（1）SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相乘得：SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,上式也成立，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0適合該式，故SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（此處不等關(guān)系是因?yàn)椋篠KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，而SKIPIF1<0，故上式中等號(hào)取不到），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由（1）SKIPIF1<0為等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值即可.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而增大；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最大值，為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；(2)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等成立），令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，命題得證.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“Z拓展”．如數(shù)列1，2第1次“Z拓展”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到數(shù)列1，4，3，5，2．設(shè)數(shù)列a、b、c經(jīng)過(guò)第n次“Z拓展”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為SKIPIF1<0，所有項(xiàng)的和記為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求n的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù)a、b、c，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列？若存在，求a、b、c滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次拓展后的項(xiàng)數(shù)SKIPIF1<0；經(jīng)第2次拓展后的項(xiàng)數(shù)SKIPIF1<0；（2）數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，由數(shù)列經(jīng)第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，則經(jīng)第SKIPIF1<0次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以n的最小值為10；（3）設(shè)第n次拓展后數(shù)列的各項(xiàng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加這兩項(xiàng)的和，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以a、b、c滿足的條件為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【解析】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)為以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為偶數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足.所以，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)，且SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0.7．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0①SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②則①-②得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)可整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<08．（2023·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②，①-②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，證明：(1)數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減；(2)SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列，不滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．10．（2023·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且分別滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(2)將數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的各項(xiàng)按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…SKIPIF1<0，SKIPIF1<0順序排列組成數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【解析】（1）由條件：SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0符合，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0

；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0

時(shí)，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0

時(shí)，SKIPIF1<0

.11．（2023·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求滿足條件SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值為674．12．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的所有數(shù)對(duì)SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）由已知得：SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)閙正整數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故滿足條件所有數(shù)對(duì)為SKIPIF1<0．13．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列SKIPIF1<0和數(shù)列SKIPIF1<0中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前50項(xiàng)和．【解析】（1）依題意SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，作差得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，同時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的前50項(xiàng)和為2150．14．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)n＝1時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0＝3，故SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．15．（2023·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和(1)求證：SKIPIF1<0(2)求使得SKIPIF1<0成立的正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值【解析】（1）證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得：對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由（1）可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是只需求使得SKIPIF1<0最大的正整數(shù)SKIPIF1<0，從而只需求使得SKIPIF1<0最大的正整數(shù)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，列舉得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0結(jié)合數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，于是使得SKIPIF1<0最大的正整數(shù)SKIPIF1<0為11.16．（2023·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且公差為SKIPIF1<0.（2）又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<017．（2023·天津北辰·高三?？计谀┮阎猄KIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0；(3)記SKIPIF1<0．是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得對(duì)任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）若SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，結(jié)合題設(shè)可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，結(jié)合題設(shè)可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，以上兩式相減，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）由題設(shè)，SKIPIF1<0，要使任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，存在SKIPIF1<0使其成立；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，存在SKIPIF1<0使其成立；綜上，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得對(duì)任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0.18．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且______，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）選擇條件①，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以兩式相減得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0；選擇條件②，因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0