湖北剩州市公安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-湖北省荊州市公安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試卷分為試題卷[含選擇題和非選擇題]和答題卡[含填涂卡和答題框]兩大部分.2.考試在答題前，請(qǐng)先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)填在答題卡密封線內(nèi)指定的地方.3.選擇題的答案選出后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)涂黑.非選擇題請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定的地方作答，本試卷上作答無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A.的虛部為 B.C.為純虛數(shù) D.【答案】C【解析】試題分析：由已知，，則的虛部為，，為純虛數(shù)，，選C．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)及其運(yùn)算.2.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，從而可解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，則，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.3.若直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)求出直線的斜率，由，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)求直線斜率、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，由數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】充分性：若“為遞減數(shù)列”，則，從而可得“”，充分性滿意；必要性：若“”，不妨取，，可得，但不單調(diào)性，故必要性不滿意，所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5.已知點(diǎn)，滿意1，，，7依次成等差數(shù)列，1，，，8依次成等比數(shù)列，若，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列，寫出數(shù)列中出現(xiàn)的字母，即得到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)要求得直線與這兩個(gè)點(diǎn)的連線垂直，求出直線的斜率，再依據(jù)直線過(guò)兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)，依據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程即可.【詳解】1，，，7依次成等差數(shù)列，，，1，，，8依次成等比數(shù)列，，，，，，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，兩點(diǎn)連線的斜率是，直線的斜率是，直線過(guò)點(diǎn)，直線的方程為，即直線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、直線與直線垂直斜率之間的關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.6.已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】首先求出定點(diǎn)，將點(diǎn)代入，可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由直線，可得，即定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、基本不等式求最值，留意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.7.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得出關(guān)于、、的關(guān)系式，求出、的等量關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，依據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，得，則，即，即，，則，.因此，雙曲線的漸近線方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)題中條件得出、的等量關(guān)系，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則使的的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，依據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，得到，再由，得到，從而即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和分別為，所以，又，所以，為使，只需，又，所以可能取的值為：，因此可能取的值為：.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9.直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線，聯(lián)立解方程組，得到的橫坐標(biāo)，再求出.【詳解】若斜率不存在，則，不成立，所以斜率存在，設(shè)為，則直線：，設(shè)，，依據(jù)拋物線的性質(zhì)，，則，，代入拋物線方程得，所以，所以，與：聯(lián)立，可得，所以，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.10.已知向量，，若與的夾角為，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交但不過(guò)圓心 D.相交且過(guò)圓心【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】依題意，圓的圓心是，半徑，圓心到直線的距離，因?yàn)?，，與的夾角為，，，，即，即，故直線與圓相交且過(guò)圓心.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的求法、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為、，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)在短軸上時(shí)，最大角大于等于，設(shè)最大角為，可得，再利用之間的關(guān)系即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則，，，所以，，則，又，所以，因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以當(dāng)在短軸上時(shí)，取得最大值，因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn)使，所以（為短軸頂點(diǎn)），設(shè)，則，又因?yàn)?，所以離心率，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，駕馭離心率的求法是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12.已知曲線的方程為，過(guò)平面上一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且滿意，記的軌跡為，過(guò)一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且滿意，記的軌跡為，按上述規(guī)律始終進(jìn)行下去……，設(shè)點(diǎn)與之間距離的最小值為，且為數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿意的最小的為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，可得方程：，同理可得的方程為，設(shè)，，可得，同理可得，可得，可得數(shù)列的前項(xiàng)和，代入，由此能求出.【詳解】設(shè)，則，可得方程：，同理可得的方程為，設(shè)，，，同理可得，可得，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以若成立，則，解得，故滿意最小的為8.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.）13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，則______.【答案】-3【解析】【分析】依據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特征是橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反，從而可求出.【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱，則，，所以.故答案為：-3【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特征，屬于基礎(chǔ)題.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】91【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)：、、成等比數(shù)列即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則、、成等比數(shù)列，即，，成等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：91【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，需熟記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則、、成等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.15.若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為1，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意只需圓心到直線的距離為，即可求解.【詳解】易知圓的半徑為，要保證圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為1，只需圓心到直線：的距離為，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等學(xué)問(wèn)，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實(shí)力以及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.16.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點(diǎn)分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別為.若直線、、的斜率之和為-1（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則______.【答案】2【解析】【分析】求出橢圓的方程，利用“點(diǎn)差法”求得直線的斜率，同理即可求得【詳解】由題意可得，，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，，，由，兩式作差可得，則，而，故，即，同理可得，，所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三條直線的斜率的倒數(shù)和的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.）17.若直線的方程為.（1）若直線與直線垂直，求的值；（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】（1）直線與直線垂直，可得，解得．（2）當(dāng)時(shí)，直線化為：．不滿意題意．當(dāng)時(shí)，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．依據(jù)直線在兩軸上的截距相等，即可得出．【詳解】解：（1）直線與直線垂直，，解得．（2）當(dāng)時(shí)，直線化為：．不滿意題意．當(dāng)時(shí)，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．直線在兩軸上的截距相等，，解得：．該直線的方程為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間關(guān)系、方程的解法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，點(diǎn)列在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，再利用與的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（1）依題意有，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)上式也成立，∴.（2），∴.【點(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題.19.已知圓：，直線過(guò)原點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）分類探討：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式使圓心到直線的距離等于半徑求出斜率即可.（2）依據(jù)題意設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為，利用三角形的面積公式可得時(shí)的面積最大，從而可得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，∴符合題意：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的斜率為，則直線方程為，即.則，解得，即直線的方程為或；（2）∵直線與圓交于，兩點(diǎn)，∴直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為，由于，∴當(dāng)取最大值1，即時(shí)的面積最大.此時(shí)為等腰直角三角形，，∴，解得或.故直線的方程為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了分類探討的思想，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓：的上頂點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為.（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出上頂點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)，再利用斜率之間的關(guān)系可得，再由即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由即可求解.【詳解】（1）由題，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則，又，∴，所以橢圓的離心率；（2）設(shè)，，由得：，，，∴，又原點(diǎn)到直線的距離，∴，解得，∴，滿意，∴橢圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)與軸垂直時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于另一點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)，依據(jù)題意可得，進(jìn)而由即可求解.（2）由題意可得，，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線：，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求證即證.【詳解】（1）拋物線：的焦點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，即，則拋物線方程為；（2）由題意可得，，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線：，代入拋物線方程，可得，∴，，，因此可得.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問(wèn)題，屬于中檔題.22.已知等比數(shù)列滿意，且是，的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿意，數(shù)列的前項(xiàng)和