江蘇省南通市如東高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月第二次階段測(cè)試試題含解析

PAGE24-江蘇省南通市如東高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月其次次階段測(cè)試試題（含解析）一、選擇題1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2，1，4)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(－2，1，－4) B.(－2，－1，－4)C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)P向xOy平面作垂線，垂足為N，則N就是點(diǎn)P與它關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)P′連線的中點(diǎn)，又N(－2，1，0)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2，1，－4)，故選A.2.圓的點(diǎn)到直線距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，推斷直線與圓的位置關(guān)系，即可得答案；【詳解】圓的方程可化為，圓心，，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.3.已知三棱柱的體積為，點(diǎn)分別在側(cè)棱上，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用與，與，與棱柱的體積的關(guān)系求解，得到答案.【詳解】設(shè)三棱柱的體積為，則，如圖所示，由四邊形的面積為面積的，則又，又，得得，同理，，故三棱錐的體積為即三棱錐的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的體積，依據(jù)體積公式得到棱錐間的體積關(guān)系，棱錐的體積與棱柱的體積的關(guān)系，還考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.4.一車間為規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)（個(gè)）2345加工時(shí)間（分鐘）304050依據(jù)上表可得回來(lái)方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A.34 B.35 C.36 D.37【答案】C【解析】【分析】求出，代入回來(lái)方程，即可得到實(shí)數(shù)的值．【詳解】依據(jù)題意可得：,，依據(jù)回來(lái)方程過(guò)中心點(diǎn)可得：，解得：；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回來(lái)方程中參數(shù)的求法，嫻熟駕馭回來(lái)方程過(guò)中心點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，依據(jù)其表面積為，得到，再由它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因?yàn)槠浔砻娣e為，所以，即，又因?yàn)樗膫?cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的表面積和體積的計(jì)算以及側(cè)面綻開(kāi)圖問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.在四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，則為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），再利用余弦定理求解可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，，則為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），因?yàn)?，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，考查運(yùn)算求解實(shí)力與空間想象實(shí)力.用平移法求異面直線所成的角的步驟一作：即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角二證：即證明作出的角是異面直線所成的角三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角7.拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分別計(jì)算出事務(wù)A和事務(wù)B發(fā)生的概率，又通過(guò)列舉可得事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，進(jìn)而得出事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率即為事務(wù)A和事務(wù)B的概率之和．【詳解】事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5偶數(shù)點(diǎn)有2和4，不小于5的點(diǎn)數(shù)有5和6，所以事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，以及互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則滿意上述條件的全部直線斜率之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，連，，，先依據(jù)及垂徑定理推出，再由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程：，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，列式得出，然后由韋達(dá)定理即可得出全部直線斜率之和．【詳解】解：設(shè)弦的中點(diǎn)為，連，，，如圖所示：依據(jù)垂徑定理得：，，為的中點(diǎn)．所以，在中，，①在中，，②由①②消去得：，設(shè)直線的方程為：，即，所以到直線的距離，，整理得：，，所以全部直線斜率之和為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、直線與圓的弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線距離公式和垂徑定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算實(shí)力.9.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，若，則∠B的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，可得，令，，，再結(jié)合公式，列出關(guān)于的方程，解出后，進(jìn)而可得到的大小.【詳解】解：∵，∴，即，令，，，明顯，∵，∴，解得，∴，B＝．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，考查兩角和的正切，用k表示，，是本題關(guān)鍵10.如圖所示，三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為的正三角形，，若，，，四點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，連接，則可推出即為二面角的平面角，設(shè)分別為等邊與的中心，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)分別作直線垂直于，則兩條垂線的交點(diǎn)即為球心，球的半徑為，最終結(jié)合數(shù)據(jù)求出即可求出球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，且,故即為二面角的平面角，又，由余弦定理可得.設(shè)分別為等邊與的中心，則，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)分別作直線垂直于，則兩條垂線的交點(diǎn)即為球心，連接，則,在中，，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間思維和想象實(shí)力，解題關(guān)鍵是作出外接球的球心.二、多選題11.如圖，正方體棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.始終在同一個(gè)平面內(nèi)C.平面D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題意，依次分析：如圖可知，連接交于點(diǎn)，則，通過(guò)線面垂直的判定定理可證出平面，即可證出平面，可推斷A正確；依據(jù)，，，不在一個(gè)平面進(jìn)而斷定B錯(cuò)誤；由于，依據(jù)線面平行的判定，即可推斷出C正確；可分別求得和，且平面，則求出三棱錐的體積，且為定值，即可推斷D項(xiàng)正確.【詳解】解：由題可知，正方體棱長(zhǎng)為，則平面，而平面，，連接交于點(diǎn)，則，而，平面，平面，由于是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，平面，，又，所以平面，故選項(xiàng)A正確；，，同在平面上，而不在平面上，，不在同一個(gè)平面內(nèi)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，面，面，平面，故選項(xiàng)C正確；由于，，且，，由于平面，則平面，，由于底面積和高都不變，則體積為定值，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，線面平行的判定，以及空間中直線與平面的位置關(guān)系和棱錐的體積公式，考查推理證明實(shí)力.12.在三角形中，下列命題正確的有（）A.若，，，則三角形有兩解B.若，則肯定鈍角三角形C.若，則肯定是等邊三角形D.若，則的形態(tài)是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A錯(cuò)誤，由可推出，然后可得B正確，由得，然后可推出C正確，由可得，然后可推出D正確.【詳解】因?yàn)?，，所以由正弦定理得，所以角只有一個(gè)解，故A錯(cuò)誤由，即所以，即所以，所以，故肯定是鈍角三角形故B正確因?yàn)樗运裕蔆正確因?yàn)樗运砸驗(yàn)樗?，所以或所以或，所以的形態(tài)是等腰或直角三角形故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題13.若一組數(shù)據(jù)3，，2，4，5的平均數(shù)為3，則該組數(shù)據(jù)的方差是________.【答案】2【解析】【分析】通過(guò)平均數(shù)求出x，再利用方差公式求出方差得解.【詳解】由已知可得：，解得.則該組數(shù)據(jù)的方差是.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.14.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則________.【答案】【解析】【分析】先求出圓的圓心為，半徑為，再利用勾股定理求解.【詳解】由題得，所以圓的圓心為，半徑為.所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的一般方程，考查切線長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.15.在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，若記，，，則______.【答案】【解析】【分析】利用三角形加法運(yùn)算法則得出，再依據(jù)平行四邊形運(yùn)算法則和向量減法運(yùn)算，即可化簡(jiǎn)求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的加減法運(yùn)算法則等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．16.從正方體上截下一個(gè)角，得三棱錐.假如該三棱錐的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則該三棱錐的底面的面積是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)棱錐的三個(gè)側(cè)面面積分別為，可求出，從而求出，再依據(jù)三邊邊長(zhǎng)，求出的面積.【詳解】如圖所示，三棱錐的三個(gè)側(cè)面面積分別為，不妨設(shè)，，的面積分別為，則，，，則，得，得，，則故底面的面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐側(cè)面積的概念，解直角三角形，由三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積，余弦定理，是立體幾體與解三角形的綜合題，屬于中檔題.三、解答題17.銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若且.（1）求的外接圓直徑；（2）求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角函數(shù)化簡(jiǎn)題中等式可得，從而求出，然后再利用正弦定理求出外接圓直徑即可；（2）由正弦定理將變形為，然后利用三角函數(shù)即可求出取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，即，所以，因?yàn)?，故，又，故，由正弦定理得，即的外接圓直徑為；（2）由正弦定理可得，，∴，又由題意可得，解得，所以，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角函數(shù)與解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題，綜合性較強(qiáng).在解三角形題中，常利用基本不等式或者三角函數(shù)求最值，本題也可考慮用基本不等式結(jié)合三邊關(guān)系求范圍.18.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與直線相切．(1)求圓O的方程．(2)直線與圓O交于A，B兩點(diǎn)，在圓O上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)直線l的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）x2+y2=4.（2）直線l的斜率為±2.【解析】試題分析：（1）先依據(jù)圓心到切線距離等于半徑求，再依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式寫(xiě)圓方程（2）由題意得OM與AB相互垂直且平分,即得原點(diǎn)O到直線l的距離，再依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求直線斜率試題解析：（1）設(shè)圓O的半徑長(zhǎng)為r,因?yàn)橹本€x-y-4=0與圓O相切,所以r==2.所以圓O的方程為x2+y2=4.（2）假設(shè)存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形,則OM與AB相互垂直且平分,所以原點(diǎn)O到直線l:y=kx+3的距離d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,閱歷證滿意條件.所以存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為菱形，此時(shí)直線l的斜率為±2.19.某市場(chǎng)探討人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司2024年連續(xù)六個(gè)月（5-10）月）的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示.（1）由折線圖可以看出，可用線性回來(lái)模型擬合月利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回來(lái)方程，并據(jù)此預(yù)料該公司2024年5月份的利潤(rùn)；（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，須要選購(gòu) 一批新型材料，現(xiàn)有兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可運(yùn)用4個(gè)月，但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不同，現(xiàn)對(duì)兩種型號(hào)的新型材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩種新型材料運(yùn)用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（表）.若從產(chǎn)品運(yùn)用壽命的角度考慮，甲公司的負(fù)責(zé)人選擇選購(gòu) 哪款新型材料更好？運(yùn)用壽命1個(gè)月2個(gè)月3個(gè)月4個(gè)月總計(jì)材料類型2035351010010304020100參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回來(lái)直線方程，其中，.【答案】（1），35百萬(wàn)元；（2）選購(gòu) 新型材料.【解析】【分析】（1）通過(guò)折線圖得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，然后分別求得，，，，寫(xiě)出回來(lái)方程，然后將代入求預(yù)料值.（2）由頻率估計(jì)概率，分別得到型，B型材料運(yùn)用1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月、4個(gè)月的概率，然后利用均值公式求解，再依據(jù)其大小下結(jié)論.【詳解】（1）由折線圖可知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)共有6組，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.計(jì)算可得，，，.∴月度利潤(rùn)與月份代碼之間的線性回來(lái)方程為，當(dāng)時(shí)，.故預(yù)料甲公司2024年5月份的利潤(rùn)為35百萬(wàn)元；（2）由頻率估計(jì)概率，型材料可運(yùn)用1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月、4個(gè)月的概率分別為0.2，0.35，0.35，0.1，∴型新材料對(duì)應(yīng)產(chǎn)品的運(yùn)用壽命的平均數(shù)為；型材料可運(yùn)用1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月、4個(gè)月的概率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴型新材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品的運(yùn)用壽命的平均數(shù)為.∵，∴應(yīng)當(dāng)選購(gòu) 新型材料.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回來(lái)直線方程的求法及應(yīng)用以及均值的求法及應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.20.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出值，并證明此時(shí)，平面；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知平面平面，求證：.【答案】（1）存在，，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）在線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面，連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明即可；（2）過(guò)作并交于點(diǎn)，由平面平面可得平面，從而得到，然后再證明，然后可得平面，可得.【詳解】（1）在線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.證明如下：連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，又當(dāng)，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中位線定理得，∵平面，平面，∴平面.（2）證明：過(guò)作并交于點(diǎn)，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.在直三棱柱中，平面，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面.又∵平面，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立體幾何中的平行和垂直關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力，屬于中檔題.21.為了實(shí)行中心?省?市關(guān)于新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作要求，主動(dòng)應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒疫情，切實(shí)做好2024年春季開(kāi)學(xué)工作，保障校內(nèi)平安穩(wěn)定，普及防控學(xué)問(wèn)，確保師生生命平安和身體健康.某校開(kāi)學(xué)前，組織高三年級(jí)800名學(xué)生參與了“疫情防控”網(wǎng)絡(luò)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽(滿分150分).已知這800名學(xué)生的成果均不低于90分，將這800名學(xué)生的成果分組如下：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，第六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值并估計(jì)這800名學(xué)生的平均成果(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；（2）該?！叭悍廊嚎亍倍讲榻M為更好地督促高三學(xué)生的“個(gè)人防控”，打算從這800名學(xué)生中取2名學(xué)生參與督查工作，其取方法是：先在其次組?第五組?第六組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生.記這2名學(xué)生的競(jìng)賽成果分別為?.求事務(wù)的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖可知值，從而可由公式求出這800名學(xué)生的平均成果；（2）由分層抽樣得出這三組抽取的人數(shù)分別為2，3，1，然后用列舉法求出從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的全部可能狀況，利用古典概率公式求出事務(wù)的概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為：；（2）由