江蘇省南通市如東高級中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期6月第二次階段測試試題含解析

PAGE24-江蘇省南通市如東高級中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期6月其次次階段測試試題（含解析）一、選擇題1.在空間直角坐標系中，點P(－2，1，4)關于xOy平面的對稱點的坐標是A.(－2，1，－4) B.(－2，－1，－4)C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)【答案】A【解析】過點P向xOy平面作垂線，垂足為N，則N就是點P與它關于xOy平面的對稱點P′連線的中點，又N(－2，1，0)，所以對稱點為P′(－2，1，－4)，故選A.2.圓的點到直線距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】將圓的方程化為標準方程，利用點到直線的距離公式，推斷直線與圓的位置關系，即可得答案；【詳解】圓的方程可化為，圓心，，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，所以圓上的點到直線的距離的最小值是.故選：C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.3.已知三棱柱的體積為，點分別在側棱上，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用與，與，與棱柱的體積的關系求解，得到答案.【詳解】設三棱柱的體積為，則，如圖所示，由四邊形的面積為面積的，則又，又，得得，同理，，故三棱錐的體積為即三棱錐的體積為.故選：C.【點睛】本題考查了三棱錐的體積，依據體積公式得到棱錐間的體積關系，棱錐的體積與棱柱的體積的關系，還考查了學生的空間想象實力和計算實力，屬于中檔題.4.一車間為規(guī)定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得的數(shù)據如下：零件數(shù)（個）2345加工時間（分鐘）304050依據上表可得回來方程，則實數(shù)的值為（）A.34 B.35 C.36 D.37【答案】C【解析】【分析】求出，代入回來方程，即可得到實數(shù)的值．【詳解】依據題意可得：,，依據回來方程過中心點可得：，解得：；故選：C【點睛】本題主要考查線性回來方程中參數(shù)的求法，嫻熟駕馭回來方程過中心點是關鍵，屬于基礎題．5.已知圓錐的表面積為，它的側面綻開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，依據其表面積為，得到，再由它的側面綻開圖是一個半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因為其表面積為，所以，即，又因為它的側面綻開圖是一個半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A【點睛】本題主要考查圓錐的表面積和體積的計算以及側面綻開圖問題，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.6.在四面體中，，分別為棱，的中點，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點，連接，，則為異面直線與所成的角（或補角），再利用余弦定理求解可得.【詳解】取的中點，連接，，則，，則為異面直線與所成的角（或補角），因為，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：D【點睛】本題考查異面直線所成角，考查運算求解實力與空間想象實力.用平移法求異面直線所成的角的步驟一作：即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角二證：即證明作出的角是異面直線所成的角三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角7.拋擲一個質地勻稱的骰子的試驗，事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分別計算出事務A和事務B發(fā)生的概率，又通過列舉可得事務A和事務B為互斥事務，進而得出事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率即為事務A和事務B的概率之和．【詳解】事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事務A和事務B為互斥事務，則一次試驗中，事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，以及互斥事務概率加法公式的應用，屬于中檔題．8.在平面直角坐標系中，已知圓，過點的直線交圓于兩點，且，則滿意上述條件的全部直線斜率之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設弦的中點為，連，，，先依據及垂徑定理推出，再由點斜式設出直線的方程：，依據點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，列式得出，然后由韋達定理即可得出全部直線斜率之和．【詳解】解：設弦的中點為，連，，，如圖所示：依據垂徑定理得：，，為的中點．所以，在中，，①在中，，②由①②消去得：，設直線的方程為：，即，所以到直線的距離，，整理得：，，所以全部直線斜率之和為.故選：A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程、直線方程、直線與圓的弦長、點到直線距離公式和垂徑定理的應用，考查數(shù)形結合思想和運算實力.9.在△ABC中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若，則∠B的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據正弦定理，可得，令，，，再結合公式，列出關于的方程，解出后，進而可得到的大小.【詳解】解：∵，∴，即，令，，，明顯，∵，∴，解得，∴，B＝．故選：D.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應用，考查兩角和的正切，用k表示，，是本題關鍵10.如圖所示，三棱錐中，與都是邊長為的正三角形，，若，，，四點都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設中點為，連接，則可推出即為二面角的平面角，設分別為等邊與的中心，在平面內，過點分別作直線垂直于，則兩條垂線的交點即為球心，球的半徑為，最終結合數(shù)據求出即可求出球的表面積.【詳解】如圖所示，設中點為，連接，則，且,故即為二面角的平面角，又，由余弦定理可得.設分別為等邊與的中心，則，在平面內，過點分別作直線垂直于，則兩條垂線的交點即為球心，連接，則,在中，，設球的半徑為，則，所以球的表面積為.故選：A.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查學生的空間思維和想象實力，解題關鍵是作出外接球的球心.二、多選題11.如圖，正方體棱長為，線段上有兩個動點，且，則下列結論正確的是（）A.平面B.始終在同一個平面內C.平面D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】依據題意，依次分析：如圖可知，連接交于點，則，通過線面垂直的判定定理可證出平面，即可證出平面，可推斷A正確；依據，，，不在一個平面進而斷定B錯誤；由于，依據線面平行的判定，即可推斷出C正確；可分別求得和，且平面，則求出三棱錐的體積，且為定值，即可推斷D項正確.【詳解】解：由題可知，正方體棱長為，則平面，而平面，，連接交于點，則，而，平面，平面，由于是線段上的兩個動點，則，平面，，又，所以平面，故選項A正確；，，同在平面上，而不在平面上，，不在同一個平面內，故選項B錯誤；，面，面，平面，故選項C正確；由于，，且，，由于平面，則平面，，由于底面積和高都不變，則體積為定值，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查線面垂直的判定和性質，線面平行的判定，以及空間中直線與平面的位置關系和棱錐的體積公式，考查推理證明實力.12.在三角形中，下列命題正確的有（）A.若，，，則三角形有兩解B.若，則肯定鈍角三角形C.若，則肯定是等邊三角形D.若，則的形態(tài)是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A錯誤，由可推出，然后可得B正確，由得，然后可推出C正確，由可得，然后可推出D正確.【詳解】因為，，所以由正弦定理得，所以角只有一個解，故A錯誤由，即所以，即所以，所以，故肯定是鈍角三角形故B正確因為所以所以，故C正確因為所以所以因為所以，所以或所以或，所以的形態(tài)是等腰或直角三角形故選：BCD【點睛】本題考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的應用，屬于中檔題.三、填空題13.若一組數(shù)據3，，2，4，5的平均數(shù)為3，則該組數(shù)據的方差是________.【答案】2【解析】【分析】通過平均數(shù)求出x，再利用方差公式求出方差得解.【詳解】由已知可得：，解得.則該組數(shù)據的方差是.故答案為：2【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計算，意在考查學生對該學問的理解駕馭水平，屬于基礎題.14.過點作圓的切線，切點為，則________.【答案】【解析】【分析】先求出圓的圓心為，半徑為，再利用勾股定理求解.【詳解】由題得，所以圓的圓心為，半徑為.所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的一般方程，考查切線長的計算，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.15.在四面體中，、分別是、的中點，若記，，，則______.【答案】【解析】【分析】利用三角形加法運算法則得出，再依據平行四邊形運算法則和向量減法運算，即可化簡求出結果.【詳解】解：在四面體中，、分別是、的中點，則.故答案為：.【點睛】本題考查空間向量的加減法運算法則等基礎學問，考查運算求解實力，考查數(shù)形結合思想，是基礎題．16.從正方體上截下一個角，得三棱錐.假如該三棱錐的三個側面面積分別為，則該三棱錐的底面的面積是______.【答案】【解析】【分析】依據棱錐的三個側面面積分別為，可求出，從而求出，再依據三邊邊長，求出的面積.【詳解】如圖所示，三棱錐的三個側面面積分別為，不妨設，，的面積分別為，則，，，則，得，得，，則故底面的面積.故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐側面積的概念，解直角三角形，由三角形三邊長求三角形的面積，余弦定理，是立體幾體與解三角形的綜合題，屬于中檔題.三、解答題17.銳角中，角所對的邊分別為，若且.（1）求的外接圓直徑；（2）求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角函數(shù)化簡題中等式可得，從而求出，然后再利用正弦定理求出外接圓直徑即可；（2）由正弦定理將變形為，然后利用三角函數(shù)即可求出取值范圍.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，，即，所以，因為，故，又，故，由正弦定理得，即的外接圓直徑為；（2）由正弦定理可得，，∴，又由題意可得，解得，所以，∴，∴.【點睛】本題綜合考查了三角函數(shù)與解三角形的應用，屬于中檔題，綜合性較強.在解三角形題中，常利用基本不等式或者三角函數(shù)求最值，本題也可考慮用基本不等式結合三邊關系求范圍.18.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線相切．(1)求圓O的方程．(2)直線與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點M，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．【答案】（1）x2+y2=4.（2）直線l的斜率為±2.【解析】試題分析：（1）先依據圓心到切線距離等于半徑求，再依據標準式寫圓方程（2）由題意得OM與AB相互垂直且平分,即得原點O到直線l的距離，再依據點到直線距離公式求直線斜率試題解析：（1）設圓O的半徑長為r,因為直線x-y-4=0與圓O相切,所以r==2.所以圓O的方程為x2+y2=4.（2）假設存在點M,使得四邊形OAMB為菱形,則OM與AB相互垂直且平分,所以原點O到直線l:y=kx+3的距離d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,閱歷證滿意條件.所以存在點M,使得四邊形OAMB為菱形，此時直線l的斜率為±2.19.某市場探討人員為了了解產業(yè)園引進的甲公司前期的經營狀況，對該公司2024年連續(xù)六個月（5-10）月）的利潤進行了統(tǒng)計，并依據得到的數(shù)據繪制了相應的折線圖，如圖所示.（1）由折線圖可以看出，可用線性回來模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關系，求關于的線性回來方程，并據此預料該公司2024年5月份的利潤；（2）甲公司新研制了一款產品，須要選購 一批新型材料，現(xiàn)有兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可運用4個月，但新材料的不穩(wěn)定性會導致材料損壞的年限不同，現(xiàn)對兩種型號的新型材料對應的產品各100件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料運用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計表（表）.若從產品運用壽命的角度考慮，甲公司的負責人選擇選購 哪款新型材料更好？運用壽命1個月2個月3個月4個月總計材料類型2035351010010304020100參考數(shù)據：，.參考公式：回來直線方程，其中，.【答案】（1），35百萬元；（2）選購 新型材料.【解析】【分析】（1）通過折線圖得到統(tǒng)計數(shù)據，然后分別求得，，，，寫出回來方程，然后將代入求預料值.（2）由頻率估計概率，分別得到型，B型材料運用1個月，2個月，3個月、4個月的概率，然后利用均值公式求解，再依據其大小下結論.【詳解】（1）由折線圖可知統(tǒng)計數(shù)據共有6組，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.計算可得，，，.∴月度利潤與月份代碼之間的線性回來方程為，當時，.故預料甲公司2024年5月份的利潤為35百萬元；（2）由頻率估計概率，型材料可運用1個月，2個月，3個月、4個月的概率分別為0.2，0.35，0.35，0.1，∴型新材料對應產品的運用壽命的平均數(shù)為；型材料可運用1個月，2個月，3個月、4個月的概率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴型新材料對應的產品的運用壽命的平均數(shù)為.∵，∴應當選購 新型材料.【點睛】本題主要考查線性回來直線方程的求法及應用以及均值的求法及應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.20.如圖，在直三棱柱中，點是線段上的動點.（1）線段上是否存在點，使得平面？若存在，請寫出值，并證明此時，平面；若不存在，請說明理由；（2）已知平面平面，求證：.【答案】（1）存在，，證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）在線段上存在點，當時，平面，連接，交于點，連接，則點是的中點，證明即可；（2）過作并交于點，由平面平面可得平面，從而得到，然后再證明，然后可得平面，可得.【詳解】（1）在線段上存在點，當時，平面.證明如下：連接，交于點，連接，則點是的中點，又當，即點是的中點，由中位線定理得，∵平面，平面，∴平面.（2）證明：過作并交于點，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.在直三棱柱中，平面，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面.又∵平面，∴【點睛】本題主要考查的是立體幾何中的平行和垂直關系，考查了學生的空間想象實力，屬于中檔題.21.為了實行中心?省?市關于新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作要求，主動應對新型冠狀病毒疫情，切實做好2024年春季開學工作，保障校內平安穩(wěn)定，普及防控學問，確保師生生命平安和身體健康.某校開學前，組織高三年級800名學生參與了“疫情防控”網絡學問競賽(滿分150分).已知這800名學生的成果均不低于90分，將這800名學生的成果分組如下：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，第六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值并估計這800名學生的平均成果(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表)；（2）該?！叭悍廊嚎亍倍讲榻M為更好地督促高三學生的“個人防控”，打算從這800名學生中取2名學生參與督查工作，其取方法是：先在其次組?第五組?第六組中用分層抽樣的方法抽取6名學生，再從這6名學生中隨機抽取2名學生.記這2名學生的競賽成果分別為?.求事務的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖可知值，從而可由公式求出這800名學生的平均成果；（2）由分層抽樣得出這三組抽取的人數(shù)分別為2，3，1，然后用列舉法求出從這6名學生中隨機抽取2名學生的全部可能狀況，利用古典概率公式求出事務的概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，這800名學生數(shù)學成果的平均數(shù)為：；（2）由