4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質課件高一上學期數(shù)學人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的概念

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質人教A版

數(shù)學必修第一冊1.通過具體實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).課程標準基礎落實·必備知識一遍過知識點1

對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念(1)一般地,函數(shù)

叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是

.

(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).它們的定義域與值域正好互換.2.兩種特殊的對數(shù)特別地,我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作y=lgx;稱以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)函數(shù),記作y=lnx.y=logax(a>0,且a≠1)(0,+∞)名師點睛1.判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形如y=logax;(2)底數(shù)a滿足a>0,且a≠1;(3)真數(shù)為x,而不是x的函數(shù).2.根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質可知在對數(shù)函數(shù)中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.思考辨析函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象有什么關系?提示

關于直線y=x對稱.自主診斷1.下列函數(shù)表達式中,對數(shù)函數(shù)的個數(shù)為(

)①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).A.1

B.2

C.3

D.4B解析

由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上,所以①不是對數(shù)函數(shù);由于②中底數(shù)a∈R不能保證a>0,且a≠1,所以②不是對數(shù)函數(shù);由于⑤⑦的真數(shù)分別為(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是對數(shù)函數(shù);由于⑥中l(wèi)og4x的系數(shù)為2,所以⑥也不是對數(shù)函數(shù).只有③④符合對數(shù)函數(shù)的定義.故選B.2.[人教B版教材例題改編]函數(shù)y=lg(4-x)的定義域為

.

(-∞,4)解析

由題意4-x>0,所以x<4,所以函數(shù)的定義域為(-∞,4).知識點2

對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質a的取值范圍a>10<a<1圖象

性質(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過定點(1,0),即x=1時,y=0(4)當x>1時,y>0;0<x<1時,y<0(4)當x>1時,y<0;0<x<1時,y>0(5)在(0,+∞)上是增函數(shù).當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負無窮大(5)在(0,+∞)上是減函數(shù).當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大名師點睛1.對數(shù)函數(shù)的符號常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對底數(shù)a的分類討論.2.當?shù)讛?shù)a>1時,圖象在第一象限內越接近x軸,a越大;當?shù)讛?shù)0<a<1時,圖象在第四象限內越接近x軸,a越小.3.分析對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象,需找三個關鍵點:(a,1),(1,0),思考辨析對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象都在y軸的右側,這反映了函數(shù)的哪條性質?提示

函數(shù)的定義域為(0,+∞).自主診斷1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內不是增函數(shù)的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.2.若對數(shù)函數(shù)的圖象過點P(9,2),則此對數(shù)函數(shù)的解析式為

.

Dy=log3x解析

設該對數(shù)函數(shù)為y=logax(a>0,且a≠1),∴2=loga9,∴a=3,∴此對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log3x.3.函數(shù)f(x)=loga(x-2)-2x的圖象必經過定點

.

4.[人教B版教材習題]求函數(shù)y=log2x,x∈[8,+∞)的值域.(3,-6)解

函數(shù)y=log2x在[8,+∞)上單調遞增,所以當x=8時,y取得最小值3,所以函數(shù)的值域為[3,+∞).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一對數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)已知對數(shù)函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)logmx,則m=

.

2解析

由對數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因為m>0,且m≠1,所以m=2.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.解

①由題意設f(x)=logax(a>0,且a≠1),②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.規(guī)律方法1.對數(shù)函數(shù)是一個形式定義:2.對數(shù)函數(shù)解析式中只有一個參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)解析式時只需一個條件即可求出.變式訓練1(1)(多選題)下列函數(shù)中為對數(shù)函數(shù)的是(

)CD解析

對于A,真數(shù)是-x,故A不是對數(shù)函數(shù);對于B,y=log4x2=log2|x|,真數(shù)是|x|,不是x,故B不是對數(shù)函數(shù);對于C,ln

x的系數(shù)為1,真數(shù)是x,故C是對數(shù)函數(shù);(2)點A(8,-3)和B(n,2)在同一個對數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

解析

設對數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0,且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究點二與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題{x|x>0,且x≠1}∴x>0且x≠1.∴函數(shù)的定義域為{x|x>0,且x≠1}.(2,3)∪(3,5]解析

已知函數(shù)f(x2+1)的定義域為[1,2],所以x∈[1,2],x2+1∈[2,5],所以函數(shù)f(x)的定義域為[2,5],又x-2>0,且x-2≠1,解得x>2,且x≠3,所以g(x)的定義域為(2,3)∪(3,5].規(guī)律方法求解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域的方法(1)求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域時,除遵循前面已學過的求函數(shù)定義域的方法外,還要根據(jù)對數(shù)函數(shù)自身的特點滿足以下要求:一是要對數(shù)的真數(shù)大于零;二是要注意對數(shù)的底數(shù);三是根據(jù)底數(shù)的取值結合函數(shù)的單調性,轉化為關于真數(shù)的不等式求解.(2)遵循對數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應用單調性,有針對性地解不等式.變式訓練2求下列函數(shù)的定義域:探究點三指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關系的應用【例3】

已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))=(

)A.1 B.2C.3 D.4B解析

∵g(x)是f(x)的反函數(shù),∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.規(guī)律方法涉及指數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)問題,一定注意前提是“同底數(shù)”,且它們的圖象關于直線y=x對稱;反之,兩個函數(shù)圖象關于直線y=x對稱,則這兩個函數(shù)互為反函數(shù).變式訓練3函數(shù)f(x)與g(x)=互為反函數(shù),則f(4x-1)的定義域為

.

探究點四對數(shù)函數(shù)的圖象【例4】

(1)如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的圖象,則a,b,c,d,1的大小關系為(

)A.b>a>1>c>d B.a>b>1>c>d

C.b>a>1>d>c D.a>b>1>d>cC解析

由圖可知a>1,b>1,0<c<1,0<d<1.作直線y=1(圖略),則直線與四條曲線交點的橫坐標從左到右依次為c,d,a,b,顯然b>a>1>d>c.故選C.(2)作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調區(qū)間.解

先畫出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖①).再將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).由圖易知其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調遞減區(qū)間為(1,2],單調遞增區(qū)間為(2,+∞).規(guī)律方法求解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象問題,首先應明確對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象特征,結合函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.(1)一般地,函數(shù)y=f(x±a)+b(a,b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度,再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經過對稱變換得到的.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關于直線x=a對稱的軸對稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關于x軸對稱.變式訓練4(1)[2024江西南昌高一期中]若0<b<1<a,則函數(shù)y=logb(x+a)的圖象不經過(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限A解析

∵0<b<1<a,∴y=logbx在(0,+∞)上單調遞減,且其圖象過第一、第四象限,圖象向左平移a個單位長度,得到y(tǒng)=logb(x+a)的圖象,故函數(shù)y=logb(x+a)的圖象不經過第一象限.故選A.(2)畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域與值域以及單調區(qū)間:①y=log3(x-2);②f(x)=log5|x|.解

①函數(shù)y=log3(x-2)的圖象如圖①.其定義域為(2,+∞),值域為R,在區(qū)間(2,+∞)上單調遞增.②∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函數(shù),其圖象如圖②所示.其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),值域為R,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞),單調遞減區(qū)間為(-∞,0).探究點五利用對數(shù)函數(shù)的性質比較大小【例5】

(1)下列不等式一定成立的是(其中a>0,且a≠1)(

)B解析

對于選項A,因為a和1的大小關系不確定,無法確定對數(shù)函數(shù)的單調性,故A不一定成立;對于選項B,因為以

為底的對數(shù)函數(shù)是減函數(shù),又2.1<2.2,故B成立;對于選項C,因為以1.1為底的對數(shù)函數(shù)是增函數(shù),又a+1>a,故C不成立;對于選項D,log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故選B.(2)[人教B版教材例題]已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍.規(guī)律方法比較兩個對數(shù)式大小的常用方法(1)當?shù)讛?shù)相同、真數(shù)不相同時,直接利用對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.(2)當?shù)讛?shù)不同,真數(shù)相同時,可根據(jù)圖象與底數(shù)的關系所反映出的規(guī)律比較,常數(shù)形結合.(3)當?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時,可考慮引進第三個數(shù)(常用“0”或“1”)分別與之比較,然后通過第三個數(shù)的傳遞進行比較.變式訓練5比較下列各組中兩個值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;解

(單調性法)因為f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.解

(中間量法)因為log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(分類討論法)當a>1時,函數(shù)y=logax在定義域內是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當0<a<1時,函數(shù)y=logax在定義域內是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當a>1時,logaπ>loga3.141;當0<a<1時,logaπ<loga3.141.學以致用·隨堂檢測促達標1234561.已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=10x的反函數(shù),則f(10)=