押中考數(shù)學(xué)第21-22題（解答題中檔題：銳角三角函數(shù)、反比例和一次函數(shù)綜合）（解析版）

押中考數(shù)學(xué)第21-22題（解答題中檔題：銳角三角函數(shù)、反比例和一次函數(shù)綜合）專題詮釋：實數(shù)、整式與三視圖是中考必考題型。在歷年的中考中，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，內(nèi)容較為簡單，因此是中考數(shù)學(xué)中必須做對的題型?？挤ㄉ仙现饕宰R記和理解的考察為主，區(qū)分不同的定義和運算規(guī)律，練出手感，保證全對！目錄知識點一：銳角三角函數(shù) 1模塊一〖真題回顧〗 1模塊二〖押題沖關(guān)〗 13知識點二：反比例和一次函數(shù)綜合 25模塊一〖真題回顧〗 25模塊二〖押題沖關(guān)〗 43知識點一：銳角三角函數(shù)模塊一〖真題回顧〗1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計算A、B兩點之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，【答案】A、B兩點之間的距離約為94米【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為點D，分別解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的長，進而根據(jù)【詳解】如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，在Rt△ACD∵∠DAC=37°，AC=80米，∴sin∠DAC=CDAC∴CD=AC?sinAD=AC?cos在Rt△BCD∵∠CBD=58°，CD=48米，∴tan∠CBD=∴BD=CD∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.答：A、B兩點之間的距離約為94米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB【答案】該建筑物AB的高度約為31.9m【分析】如圖，作DE⊥AC交AC于點E，作DF⊥AB交AB于點F，作CH⊥DF交DF于點H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長，再根據(jù)AB=AF+BF即可求解．【詳解】作DE⊥AC交AC于點E，作DF⊥AB交AB于點F，作CH⊥DF交DF于點H則DE=AF，HF=AC，DH=CE∵tanθ=∴設(shè)DE=3x，則CE=4x在Rt△CDE中，∠E=90°∴D∴(3x)∴x=4（負(fù)值舍去）∴DE=12，CE=16∴AF=DE=12，DH=CE=16設(shè)BF=y，則AB=(y+12)在Rt△BDF中，∠BDF=30°∵tan∠BDF=∴DF=在Rt△ABC中，∠ACB=60°∵tan∠ACB=∴AC=即HF=AC=∵DF?FH=DH∴3∴y=(6+8∴AB=BF+FA=6+8答：該建筑物AB的高度約為31.9m．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，希望中學(xué)的教學(xué)樓AB和綜合樓CD之間生長著一棵高度為12.88米的白楊樹EF，且其底端B，D，F(xiàn)在同一直線上，BF＝FD＝40米．在綜合實踐活動課上，小明打算借助這棵樹的高度測算出綜合樓的高度，他在教學(xué)樓頂A處測得點C的仰角為9°，點E的俯角為16°．科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287問小明能否運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度？若能，請求出其高度（結(jié)果精確到0.01米）；若不能，說明理由．（解答過程中可直接使用表格中的數(shù)據(jù)喲?。敬鸢浮磕?，綜合樓的高度約是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函數(shù)求得AG的長，在Rt△ACH中，利用正切函數(shù)求得CH的長，據(jù)此求解即可得到綜合樓的高度．【詳解】解：小明能運用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足為G，作AH⊥CD，垂足為H，如圖：·由題意知，EG=BF=40米，EF=BG=12.88米，∠HAE=16°=∠AEG=16°，∠CAH=9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG=AGEG∴tan16°=AG40，即0.287≈AG∴AG=40×0.287=11.48（米），∴AB=AG+BG=11.48+12.88=24.36（米），∴HD=AB=24.36米，在Rt△ACH中，AH=BD=BF＋FD=80米，tan∠CAH=CHAH∴tan9°=CH80，即0.158≈CH∴CH=80×0.158=12.64（米），∴CD=CH＋HD=12.64＋24.36=37.00（米），則綜合樓的高度約是37.00米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角和俯角定義．4．（2014·河南·中考真題）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈【答案】潛艇C離開海平面的下潛深度為308米【分析】過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解．【詳解】解：過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據(jù)題意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°，設(shè)AD=x，則BD=BA+AD=1000+x，在Rt三角形ACD中，CD=AD在Rt三角形BCD中，BD=CD?tan68°，∴1000+x=3解得：x=1000∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解．5．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）某班同學(xué)在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】13.6米【分析】如圖，連接EF，交BD于點M，用DM的長度分別表示EM和FM的長度，再根據(jù)EM和FM的和等于AC的長度，求出DM的長，在用DM和BM的和求出BD的長度即可．【詳解】解：連接EF，交BD于點M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM，設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，tan37°＝DMFM即x28?x解得x＝12，經(jīng)檢驗，x＝12是原方程的根，即DM＝12米，∴DB＝12+1.6＝13.6（米），答：樹BD的高度為13.6米．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角和俯角問題．準(zhǔn)確的構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，在解題的過程中可以巧用公共邊列方程進行計算．6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180【答案】(170+603)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×32=90由題意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，則AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度為(170+603)cm．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．7．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2【答案】主塔AB的高度約為78m．【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定義求出AB=3BD，然后根據(jù)【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABD中，AB=BD?tan60°=3在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴AB＝BC，∴3BD=BD+33∴BD=33∴AB＝BC＝BD+33=33×答：主塔AB的高度約為78m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量紀(jì)念塔的高度．無人機在點A處測得紀(jì)念塔頂部點B的仰角為45°，紀(jì)念塔底部點C的俯角為61°，無人機與紀(jì)念塔的水平距離AD為10m，求紀(jì)念塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）【答案】烈士塔的高度約為28m．【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=CDAD【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∠DAC=61°，tan61°=CDAD解得CD≈18，∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．∴紀(jì)念塔的高度約為28m．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·四川資陽·中考真題）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進1003米后到達(dá)點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D(1)求點D與點A的距離；(2)求隧道AB的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)點D與點A的距離為300米(2)隧道AB的長為(1502【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；（2）過點D作DE⊥AB于點E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長【詳解】（1）由題意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°?45°?45°=90°在Rt△ADC中，∴AD=DC×tan∠ACD=1003答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作DE⊥AB于點E．∵AB是東西走向∴∠ADE=45°,∠BDE=60°在Rt△ADE中，∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×在Rt△BDE中，∴BE=DE×tan∠BDE=150∴AB=AE+BE=1502答：隧道AB的長為(1502【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達(dá)E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）【答案】旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m【分析】延長DF交AB于點G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長，從而求出DG的長，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進行計算即可詳解．【詳解】解：延長DF交AB于點G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG=AG∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°=AG∴x＝43+經(jīng)檢驗：x＝43+∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．模塊二〖押題沖關(guān)〗1．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）酒駕猛于虎，但很多人不以為是，為了加強人們對酒駕危害的認(rèn)識，交警部門加大了對酒駕的檢查力度，某市交警在2023年2月28日這天對本市各大主要交通路口進行車輛檢查，如圖，AC是該市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，與解放路AC的交叉路口分別是A，B，C．已知出警點D位于點A的北偏東45°方向、點B的北偏東30°方向上，BD=2km(1)求A、B的距離；(2)第一組交警負(fù)責(zé)路口A，求該組從出警點D到路口A的路程（行駛路線為D?C?B?A）．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)2km(2)4【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明：∠DAB=∠ADB，根據(jù)等角對等邊即可證明AB=BD從而求解；（2）過B作BO⊥DC，交直線DC于點O，在Rt△DBO中，利用三角函數(shù)即可求得DO的長，再在Rt△【詳解】（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，∠DBC=30°，∴∠FBC=∠FBD+∠DBC=30°+30°=60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60°，∴∠DAB=15°，又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∠DBC=30°，∴∠ADB=15°，∴∠DAB=∠ADB，∴AB=BD=2km即A，B之間的距離為2km；（2）過B作BO⊥DC，交直線DC于點O，∵BF∥CD，∴∠FBD=∠BDC=30°，在Rt△DBO中，∵∴DO=2×cos30°=2×32=在Rt△CBO中，∵∴CO=BOtan30°=3∴CD=DO?CO=3∵∠BDC=∠DBC=30°，∴CD=BC=2∴該組從出警點D到路口A的路程即D?C?B?A的行駛距離為43【點睛】本題主要考查了解直角三角形-方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）小軍與小明放學(xué)后看見樓前的小廣場上有一架無人機正在定點拍攝小區(qū)全景，此時如圖所示，小軍在一樓B處測得無人機C的仰角∠CBE=60°，在樓頂A處的小明測得無人機C的仰角∠CAD=28°，他們所在的樓高約為120米，求此時無人機C離地面BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88【答案】173米【分析】過點C作CE⊥BE，得到AD=BE，設(shè)AD=BE=x，分別解Rt△BEC和Rt△ACD，求出CE,CD，利用【詳解】解：過點C作CE⊥BE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，AB⊥BE，∴四邊形ABED是矩形，∴AD=BE，AB=DE．設(shè)AD=BE=x，在Rt△BEC中，∴tan∠CBE=CE∵tan60°=3∴CE=3在Rt△ACD中，∴tan∠CBE=CD∵tan60°=0.53，∴CD=0.53x，∵DE=CE?CD=3又AB=DE=120，∴3x?0.53x=120∵3≈1.73∴1.2x=120，

解得x=100；∴CE=173（米）．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．3．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，我邊防雷達(dá)站A處的工作人員測得在北偏東60°方向的點C處有一艘可疑船只，該船正在以每小時10海里的速度向正東方向航行，點A到點C的距離為103海里，此時，我方一艘軍艦在距離點A的正東方向12海里的點B(1)求點B到點C之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)當(dāng)發(fā)現(xiàn)可疑船只后，我方軍艦立即沿著與正東方向成37°夾角的BD方向前往攔截，軍艦航行的速度為每小時20海里，請通過計算說明我方軍艦?zāi)芊裨诳梢纱坏恼胺降狞cD處成功攔截？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin37°≈35，【答案】(1)221(2)我方軍艦?zāi)茉诳梢纱坏恼胺降狞cD處成功攔截【分析】（1）過B作BH⊥AC于H，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；（2）過C作CM⊥BE于M，過D作DN⊥BE于N，則CM=12AC=53，四邊形CMND是矩形，可得到DN=CM=53，分別在和Rt【詳解】（1）解：過B作BH⊥AC于H，由題意，AB=12海里，AC=103海里，∠BAC=90°?60°=30°∴BH=12AB=6∴CH=AC?AH=43∴BC=B即點B到點C之間的距離為221（2）解：如圖，過C作CM⊥BE于M，過D作DN⊥BE于N，則CM=12AC=5∴DN=CM=53在Rt△BDN中，sin∠DBN=sin37°=DN解得BD=2533∴我方軍艦到達(dá)D的時間為253在Rt△CBM中，則CD=MN=20∴可疑船只到達(dá)D點的時間為8.3÷10=0.83小時，∵0.71<0.83，∴我方軍艦?zāi)茉诳梢纱坏恼胺降狞cD處成功攔截．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及銳角三角函數(shù)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，理解題意，添加合適的輔助線是解答的關(guān)鍵．4．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成的，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知主臂MP長為6米，伸展臂PQ長為42米，當(dāng)伸展臂伸展角∠MPQ=135°時，求挖掘機能挖得到的距離MQ【答案】2【分析】作QH⊥MP于H點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出QH和PH的長，然后在Rt△QHM中根據(jù)勾股定理求【詳解】解：如圖，作QH⊥MP于H點，∴∠QPH=45°，∴QH=PH=PQsin45°=42∴MH=MP+PH=6+4=10（米），在Rt△∴QM=Q即挖掘機能挖得到的距離MQ的長為229【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）某次科學(xué)實驗中，小王將某個棱長為10cm正方體木塊固定于水平木板OM上，OB=50cm，將木板OM繞一端點O旋轉(zhuǎn)40°至OM'（即(1)求點C到C'豎直方向上升高度（即過點C，C(2)求點D到D'豎直方向上升高度（即過點D，D（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64,【答案】(1)38cm(2)36cm【分析】（1）過點C'作C'E⊥OM，在Rt（2）過點D'作D'F⊥C'E，交EC'的延長線于點F，設(shè)【詳解】（1）解：過點C'作C'E⊥OM∵正方體木塊的棱長為10cm，OB=50cm，∴OC=OB+BC=60cm，∵旋轉(zhuǎn)，∴OC∴在Rt△C'∴點C到C'（2）過點D'作D'F⊥C'E，交EC'則：四邊形AHEB矩形，HE=AB=10cm，∵旋轉(zhuǎn)，∴C'D'∴∠D在Rt△D'∴FH=C∴點D到D'【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．6．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）圖1是一款擺臂遮陽篷的實物圖，圖2是其側(cè)面示意圖．如圖2，點A，O為墻壁上的固定點，AO=1.5m，擺臂OB可繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中遮陽篷AB可自由伸縮，篷面始終保持平整，當(dāng)擺臂OB與墻壁垂直時，身高為1.65m的同學(xué)（MN=1.65m）站在遮陽篷下距離墻角1.2m（EN=1.2m）處，剛好不被陽光照射到，測得此時AB與擺臂OB的夾角∠ABO=45°，光線與水平地面EF的夾角∠BNF=71°，求AE的高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90【答案】AE的高度約為2.4m【分析】過點B作BD⊥EF于點D，解直角三角形求出BD，即可解答．【詳解】解：過點B作BD⊥EF于點D，如圖所示.∵AE⊥OB，∠ABO=45°，∴BO=AO=1.5m.由題意，可知四邊形OBDE為矩形，則OE=BD，DE=BO=1.5m.∴DN=DE?EN=1.5?1.2=0.3m，在Rt△BDN中，∴BD=DN?tan∠BND≈0.3×2.90=0.87m，∴AE=AO+OE=AO+BD=1.5+0.87≈2.4m，答：AE的高度約為2.4m．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD=6米，坡面BC的傾斜角∠CBD=45°，距B點8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD=30°．若新坡面底端A處與建筑物NM之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請說明理由．（結(jié)果精確到0．1米；參考數(shù)據(jù)：2≈1.14，3【答案】該建筑物不需要拆除，理由見解析【分析】先解Rt△DBC求出BD=6，再解Rt△ADC求出AD=63，進而求出AB=63【詳解】解：該建筑物不需要拆除，理由如下：在Rt△DBC中，∴BD=CD在Rt△ADC中，∴AD=CD∴AB=AD?BD=6∵BN=8米，∴AN=BN?AB=8?6∵14?63∴該建筑物不需要拆除．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確求出AN的長是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在坡角α為30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為18米，求大樹AB的高．（結(jié)果精確到0.1米，2≈1.414，3【答案】6.6米【分析】過C點作CD垂直于AB的延長線于點D，垂足為D．由題意得，CD平行于水平地面，在Rt△BCD中，求得BD=9，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，可得【詳解】解：過C點作CD垂直于AB的延長線于點D，垂足為D．由題意得，CD平行于水平地面∴∠BCD=α=30°，∠ACD=45°．在Rt△BCD中，CD=BC?cos30°=18cos30°=93在Rt△ACD∴CD=AD，即93∴AB=93答：大樹AB的高約為6.6米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學(xué)綜合實踐小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的東偏北60°方向上，沿正東方向行走60米至觀測點D，測得B在D的西偏北30°方向上，A在D的西偏北69°方向上．求A，B兩點間的距離是多少米（精確到個位）？（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63【答案】A，B兩點間的距離約為42米．【分析】先求出∠C=60°，∠1=30°，進而得到∠2=∠3=90°，解Rt△CDB求出BD=303米，然后再解Rt【詳解】解：∵A，B均在C的東偏北60°方向上，B在D的西偏北30°方向上∴∠C=60°，∠1=30°，∴∠2=180°?60°?30°=90°=∠3，在Rt△CDB中，∴BD=CD?sin∠C=60×sin60°=303法①∵A在D的西偏北69°方向上，B在D的西偏北30°方向上∴∠4=69°?30°=39°，在Rt△ABD中，∴AB=BD×tan39°≈30×1.73×0.81=42.039≈42（米）；法②∵A在D的西偏北69°方向上∴∠CDA=69°，∴∠A=180°?60°?69°=51°，在Rt△ABD中，∴AB=BD答：A，B兩點間的距離約為42米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確求出BD的長是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）某學(xué)校數(shù)學(xué)活動小組決定利用所學(xué)的解直角三角形知識測量校園內(nèi)一棵樹AB的高度．如圖，他們在地面上C處測得樹頂A的仰角為30°，再往樹的方向前進20m至D處，測得仰角為60°，點C，D，B在同一直線上，求樹高AB【答案】該樹高AB為10【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CAD=30°，即AD=CD=20m，再利用銳角三角函數(shù)進行求解即可．【詳解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=60°?30°=30°，∴AD=CD=20m，在Rt△ABD中，∵∴AB=AD?sin60°=20×3∴該樹高AB為103【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得AD=CD=20m是解題的關(guān)鍵．知識點二：反比例和一次函數(shù)綜合模塊一〖真題回顧〗1．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=mx相交于A（1，2），B兩點，與x軸相交于點C(1)分別求直線AC和雙曲線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接OA，OB，求△AOB的面積；(3)直接寫出當(dāng)x＞0時，關(guān)于x的不等式kx+b＞mx【答案】(1)y=?23x+83(2)△AOB的面積為83(3)1<x<3【分析】（1）將點A(1，2)代入y=mx（2）解方程組求得點B的坐標(biāo)，根據(jù)SΔAOB（3）觀察圖象，寫出直線的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方的自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）解：將點A(1，2)代入y=mx∴雙曲線的表達(dá)式為：y=2x把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：y=k+b=24k+b=0，解得：k=?∴直線的表達(dá)式為：y=?23x+（2）解：聯(lián)立y=2解得x=1y=2，或x=3∵點A的坐標(biāo)為（1，2），∴點B的坐標(biāo)為（3，23∵S==83∴△AOB的面積為83（3）解：觀察圖象可知：不等式kx+b>mx【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，學(xué)會利用分割法求三角形面積．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=2x+b與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像交于點A1,4，與(1)k=_________，b=_________；(2)連接并延長AO，與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像交于點C，點D在y軸上，若以O(shè)、C、D為頂點的三角形與△AOB【答案】(1)4，2(2)點D的坐標(biāo)為0,?2、0,?【分析】對于（1），將點A的坐標(biāo)代入兩個關(guān)系式，即可得出答案；對于（2），先求出AO，BO，CO，再確定點D的位置，然后分兩種情況△COD∽△AOB和△COD∽△BOA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出答案即可．【詳解】（1）將點A（1，4）代入一次函數(shù)y=2x+b，得4=2+b，解得b=2，一次函數(shù)的關(guān)系式為y=2x+2；將點A（1，4）代入反比例函數(shù)y=k4=k，反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=4故答案為：4，2；（2）點A與點C關(guān)于原點對稱，可知點C的坐標(biāo)是（-1，-4）．當(dāng)x=0時，y=2，∴點B（0，2），∴OB=2．根據(jù)勾股定理可知AO=CO=1當(dāng)點D落在y軸的正半軸上，則∠COD>∠ABO，∴△COD與△ABO不可能相似．當(dāng)點D落在y軸的負(fù)半軸上，若△COD∽△AOB，則COAO∵CO=AO，∴BO=DO=2，∴D0,?2若△COD∽△BOA，則ODOA∵OA=CO=17，BO=2∴DO=17∴D0,?綜上所述：點D的坐標(biāo)為0,?2、0,?17【點睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求關(guān)系式，相似三角形的性質(zhì)和判定等．3．（2022·寧夏·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別相交于C、B兩點，與反比例函數(shù)y=mx(m≠0,x>0)的圖象相交于點A，OB=1，tan∠OBC=2，BC(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點D是線段AB上任意一點，過點D作y軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點E，連接BE．當(dāng)△BDE面積最大時，求點D【答案】(1)y=(2)點D的坐標(biāo)為1,?【分析】（1）過點A作AF⊥x軸于點F，先證△ACF∽△BCO，根據(jù)對應(yīng)邊成比例得BCAC=OBAF=OCCF=12，結(jié)合已知條件推出（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=12x?1，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，則D(t,【詳解】（1）解：如圖，過點A作AF⊥x軸于點F，∴∠AFC=∠BOC=90°，又∵∠ACF=∠BCO，∴△ACF∽△BCO，∴BCAC∵OB=1，tan∠OBC=2，∴OC=2OB=2，∴AF=2，CF=4，∴OF=OC+CF=2+4=6，∴A6,2∵點A在反比例函數(shù)y=m∴m=2×6=12．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=12（2）解：由題意可知B0,?1設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A6,2，B0,?1代入得2=6k+b?1=b解得k=1∴直線AB的解析式為：y=1設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，則D(t,12t?1)∴ED=12∴△BDE的面積為：12=?1=?1∵?1∴t=1時，△BDE面積取最大值，最大值為254將x=1代入y=12∴點D的坐標(biāo)為1,?1【點睛】本題屬于一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解直角三角形，以及二次函數(shù)的最值等，解第一問的關(guān)鍵是求出點A的坐標(biāo)，解第二問的關(guān)鍵是求出△BDE面積的函數(shù)表達(dá)式．4．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=6(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)結(jié)合圖象，寫出當(dāng)x>0時，滿足y1>y(3)將一次函數(shù)的圖像平移，使其經(jīng)過坐標(biāo)原點．直接寫出一個反比例函數(shù)表達(dá)式，使它的圖像與平移后的一次函數(shù)圖像無交點．【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+4(2)x>1(3)y=?【分析】（1）將A、B兩點的坐標(biāo)解出來，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x>0，求得一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)的圖像上方對應(yīng)x的即可；（3）將一次函數(shù)平移后即可得到新的一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像即可判斷反比例函數(shù)的系數(shù)k，進而得到反比例函數(shù)的解析式．【詳解】（1）解：由題意得：m=61=6∴m=6,n=?3，∴A(1,6),B(?3,?2)，由題意得k+b=6?3k+b=?2解得：k=2b=4∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+4；（2）解：由圖像可知，當(dāng)x>0時，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)的圖像上方對應(yīng)x的值為x>1，當(dāng)x>0時，滿足y1>y（3）解：一次函數(shù)y=2x+4的圖像平移后為y=2x，函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三象限，要使正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)沒有交點，則反比例的函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四象限，則反比例函數(shù)的k<0，∴當(dāng)k=?1時，滿足條件，∴反比例函數(shù)的解析式為y=?1【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象交于點A1,m，與(1)求點A的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；(2)點B是反比例函數(shù)圖象上一點且縱坐標(biāo)是1，連接AB，CB，求△ACB的面積．【答案】(1)y=3(2)6【分析】（1）由一次函數(shù)的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作BD∥x軸，交直線AC于點D，則D點的縱坐標(biāo)為1，利用函數(shù)解析式求得B、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y＝x＋2的圖象過點A（1，m），∴m＝1＋2＝3，∴A（1，3），∵點A在反比例函數(shù)y=k∴k＝1×3＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=3（2）∵點B是反比例函數(shù)圖象上一點且縱坐標(biāo)是1，∴B（3，1），作BD∥x軸，交直線AC于點D，則D點的縱坐標(biāo)為1，代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝?1，∴D（?1，1），∴BD＝3＋1＝4，∴S△ABC【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象都經(jīng)過(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，連接BC，求△ABC的面積．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?8x(2)12【分析】（1）由點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)表達(dá)式，再由點B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)表達(dá)式即可求出m值，結(jié)合點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用分解圖形求面積法，利用SΔABC【詳解】（1）將A(2，-4)代入y=kx得到?4=k∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=?8將B(-4，m)代入y=?8x，得：∴B?4,2將A，B代入y=ax+b，得：2a+b=?4?4a+b=2，解得：∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=?x?2．（2）設(shè)AB交x軸于點D，連接CD，過點A作AE⊥CD交CD延長線于點E，作BF⊥CD交CD于點F．令y=?x?2=0，則x=?2，∴點D的坐標(biāo)為(-2，0)，∵過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，∴A(2，-4)關(guān)于原點的對稱性點C坐標(biāo)：(-2，4)，∴點C、點D橫坐標(biāo)相同，∴CD∥y軸，∴S=====12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式；（2）利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．7．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點D在y軸上，A，C兩點的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,m)，直線CD：y=ax+b(a≠0)與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于C(1)求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；(2)判斷點B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【答案】(1)y=16x(2)點B在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解答【分析】（1）因為點P(?8,?2)在雙曲線y=kx上，所以代入P點坐標(biāo)即可求出雙曲線y=kx的函數(shù)關(guān)系式，又因為點C(4,m)在（2）先求出點B的坐標(biāo)，判斷即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將點P(?8,?2)代入y=kx中，得∴反比例函數(shù)的解析式為y=16將點C(4,m)代入y=16得m=16（2）解：因為四邊形ABCD是菱形，A(4,0)，C(4,4)，∴m=4，B(8,1∴B(8,2)，由（1）知雙曲線的解析式為y=16∵2×8=16，∴點B在雙曲線上．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用m表示出點D的坐標(biāo)．8．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=4x的圖象交于A，(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)將直線y=x向下平移a個單位長度，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點C，與x軸交于點D，與y軸交于點E，若CDDE=1【答案】(1)A(2)a=3【分析】（1）聯(lián)立y=x與y=4（2）過點C作CF⊥y軸于點F，可得CF∥OD，根據(jù)平行線分線段成比例可得OFOE=CDDE=13，根據(jù)平移求得平移后的解析式為y=x?a，求得OE=a,進而求得F【詳解】（1）解：聯(lián)立y=x與y=4解得x1∴A2,2（2）解：如圖，過點C作CF⊥y軸于點F，∴CF∥OD，∵CDDE∴OF∵直線y=x向下平移a個單位長度得到y(tǒng)=x?a，根據(jù)圖象可知a>0,令x=0，得y=?a，令y=0，得x=a，∴E0,?a，D∴F0,∴y∵y=x?a與反比例函數(shù)y=4x在第一象限的圖象交于點∴x將C12a,得13解得a=3或a=?3（舍去）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，平行線分線段成比例，解一元二次方程，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝mx（x＜0）的圖像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點D(1)根據(jù)圖像直接寫出不等式mx＜ax+b(2)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(3)點P在y軸上，且S△AOP＝12S△AOB，請求出點P【答案】(1)?4<x<?2(2)y＝﹣8x(3)P（0，3）或（0，﹣3）【分析】（1）通過圖像位置關(guān)系解不等式．（2）用待定系數(shù)法法求解析式．（2）先求△AOB的面積，再求P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)y＝mx的圖像在y＝ax+b圖像的下方時，m∴?4<x<?2；（2）解：將A（﹣2，4）代入y＝mx∴反比例函數(shù)為：y＝﹣8x將A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：{4=?2a+b解得：{a=1∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x+6；（3）解：在y＝x+6中，當(dāng)y＝0時，x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC＝12＝12＝6，∴S△AOP＝12∵P在y軸上，∴12∴OP＝3．∴P（0，3）或（0，﹣3）．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，數(shù)形結(jié)合，將線段的長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算是求解本題的關(guān)鍵．10．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2x在第一象限交于M(2,8)、N兩點，NA垂直x軸于點(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；(2)點P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動點，請簡要描述使△PMN的面積最小時點P的位置（不需證明），并求出點P的坐標(biāo)和△PMN面積的最小值．【答案】(1)y=16x，(2)P(?4,?4)，S△PMN【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，再利用四邊形OANM的面積為38．求出N(8,2)，進一步利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）平移一次函數(shù)與y=16x在第三象限有唯一交點P，此時P到MN的距離最短，△PMN的面積最小，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：y=?x+a，聯(lián)立y=16x，解得：a=?8，進一步求出：x=?4，即P(?4,?4)，連接PM，PN，過點P作PB⊥NA的延長線交于點B，作MC⊥PB交于點C，根據(jù)【詳解】（1）解：∵M(2,8)在y=k∴k2=16，即反比例函數(shù)解析式為：設(shè)N(n,16∵四邊形OANM的面積為38．∴12×2×8+1解得：n=?12（舍去），∴N(8,2)，將N(8,2)和M(2,8)代入y=k1x+b可得：{∴一次函數(shù)解析式為：y=?x+10．（2）解：平移一次函數(shù)y=?x+10到第三象限，與y=16x在第三象限有唯一交點P，此時P到MN的距離最短，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：y=?x+a，聯(lián)立y=16x可得：?x+a=16∵有唯一交點P，∴Δ=a2?4×1×16=0，解得：a=?8將a=?8代入x2?ax+16=0得：x經(jīng)檢驗：x=?4是分式方程?x+a=16∴P(?4,?4)，連接PM，PN，過點P作PB⊥NA的延長線交于點B，作MC⊥PB交于點C，則：S△PMN∵P(?4,?4)，N(8,2)，M(2,8)，∴S△PMCS四邊形MCBNS△PNB∴S△PMN【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握平行線之間的距離，解分式方程，解一元二次方程知識點．模塊二〖押題沖關(guān)〗1．（2023·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=k2x第一象限交于M(1,6)、N(6,m)兩點，點P是x軸負(fù)半軸上一動點，連接PM(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式：(2)若△PMN的面積為452，求點P【答案】(1)y=?x+7(2)P(?2,0)【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)直線MN交x軸于點H，則點H(7,0)，設(shè)點P(x,0)(x<0)，則PH=7?x，再根據(jù)S△PMN【詳解】（1）將點M(1,6)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k2則反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=6x，則點由題意得：k+b=66k+b=1，解得：k=?1故一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=?x+7；（2）設(shè)直線MN交x軸于點H，則點H(7,0)，設(shè)點P(x,0)(x<0)，則PH=7?x，S△PMN=1∵△PMN的面積為452∴5解得：x=?2，即P(?2,0)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，解題關(guān)鍵三角形面積的求法．2．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖像直接寫出k1x+b>k【答案】(1)y=?4x(2)?4<x<?1【分析】（1）將點B(?4,1)代入反比例函數(shù)y=k2x求得k2，進而求得（2）根據(jù)函數(shù)圖像，結(jié)合交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，寫出直線在雙曲線上方的自變量的取值范圍，即可求解．【詳解】（1）解：∵點B(?4,1)在反比例函數(shù)y=k∴k2?4=1∴反比例函數(shù)的解析式為：y=?4∵A(m，4)在反比例函數(shù)y=?4∴?4m=4∴A(?1,4)把A(?1,4)，B(?4,1)代入y=k?k解得：k1一次函數(shù)的解析式為：y=x+5．（2）解：∵A(?1,4)，B(?4,1)，結(jié)合函數(shù)圖像可知，k1x+b>k2x【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東青島·校聯(lián)考一模）如圖，直線y=?x+2與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于A?1,m,Bn,?1兩點，過A作AC⊥x軸于點C，過(1)求m，n的值及反比例函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)kx≤?x?2時，(3)在直線y=?x+2上是否存在點P，使得S△PAC=S【答案】(1)m=3,n=3，反比例函數(shù)的解析式為y=?(2)x≤?3或0<x≤1(3)存在，點P?3,5或P0,2【分析】（1）把A?1,m,Bn,?1代入，可得m=3,n=3（2）設(shè)直線y=?x?2反比例函數(shù)y=?3（3）設(shè)Px,?x+2，則P到AC、BD的距離分別為x+1、x?3，根據(jù)S【詳解】（1）解：∵直線y=?x+2與反比例函數(shù)y=kxk≠0∴m=??1解得：m=3,n=3，∴點A?1,3把點A?1,3代入y=k=?1×3=?3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=?3（2）解：如圖，設(shè)直線y=?x?2反比例函數(shù)y=?3聯(lián)立得：y=?3解得：x1=?3y∴點E?3,1觀察圖象得：當(dāng)x≤?3或0<x≤1時，kx∴當(dāng)kx≤?x?2時，x的取值范圍是x≤?3或故答案為：x≤?3或0<x≤1（3）解：存在．理由如下：∵點A?1,3,B3,?1，AC⊥x∴AC=3,BD=1，設(shè)Px,?x+2，則P到AC、BD的距離分別為x+1∵S△ACP即12∴AC×x+1∴3×x+1∴|x+1||x?3|∴x+1x?3=1解得x=?3或x=0，∴P?3,5或0,2綜上所述，在直線y=?x+2上存在點P為?3,5或0,2，使得S△ACP【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖一：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b與雙曲線y=kxk≠0交于A，B兩點，已知A(1)求直線和雙曲線的解析式及點B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b>k(3)如圖二，設(shè)直線y=x+b與x軸交于點M，與y軸交于點N．將直線y=x+b向下平移a個單位長度，與雙曲線在第一象限交于點C，與x軸交于點D，與y軸交于點E，若CDDE=1【答案】(1)y=x+3；y=4(2)?4<x<0,或x>1(3)正方形，理由見解析【分析】（1）把點A1,4代入y=x+b求出b，代入y=kx（2）根據(jù)兩函數(shù)交點坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得出不等式x+b>k（3）先求出平移后的直線解析式，用含有a的式子表示點D，E的坐標(biāo)，過點C作CH⊥x軸于點H，證明△CHD～△EOD，求出CH,OH，得到點C的坐標(biāo)，代入反比例解析式并求出a的值，得到點D，E坐標(biāo)，進一步得出結(jié)論【詳解】（1）A1,4在函數(shù)y=x+b∴4=1+b，解得，b=3，∴一次函數(shù)解析式為：y=x+3；A1,4在函數(shù)y=∴4=k∴k=4∴y=4B?4,m在直線y=x+3∴m=?4+3，∴m=?1，∴B（2）∵直線y=x+b與雙曲線y=kx交于A1,4，B?4，?1，且當(dāng)直線y=x+b的圖象在雙曲線y=k∴不等式x+b>kx的解集為：?4<x<0,或（3）四邊形DEMN是正方形，理由如下：對于直線y=x+3，當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時，x=?3，∴N把直線y=x+3向下平移a個單位后的解析式為y=x+3?a，當(dāng)y=0時，x=a?3，當(dāng)x=0時，y=3?a，∴Da?3,0，E過點C作CH⊥x軸于點H，如圖，則有：CH∥OE，∴△CHD～△EOD，∴DHOD∵CDDE∴DHOD∴DH=∴OH=OD+DH=a?3+∴C4又點C43a?3∴4解得，a=6,或a=0（會去）∴D∴NE⊥MD，NE=MD，ON=OE，OM=OD∴四邊形DEMN是正方形【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題、考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題．5．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖1，直線y=23x+2與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=mx(1)求m的值；(2)如圖2，點E4，a在反比例函數(shù)y=mx的圖象上，過點E作EC⊥x軸垂足為C，以EC為對角線的菱形CDEF的頂點D【答案】(1)m=12；(2)點F也在反比例函數(shù)的圖象上．見解析【分析】（1）先求得B0，2（2）利用菱形的性質(zhì)求得點G4，32【詳解】（1）解：∵直線y=23x+2與y軸交于點B，令x=0∴B0，2設(shè)點A到y(tǒng)軸的距離為h，∵△AOB的面積等于3，∴12×2?∴點A的橫坐標(biāo)為3，則y=2∴A3，4∵點A在反比例函數(shù)y=m∴m=3×4=12；（2）解：連接DF與EC相交于點G，∵四邊形CDEF是菱形，且EC⊥x軸，∴EG=GC，DG=GF，∵點E4，a，a=∴點E4，3∴點G4，∵頂點D在y軸上，∴DG=4=GF，∴點F8，∵8×3∴點F也在反比例函數(shù)的圖象上．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求出點F的坐標(biāo)是解第2問的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D4,3在對角線OB上，且ODOB=13．反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過C，(1)求k的值；(2)求△ODE的面積．【答案】(1)12(2)8【分析】（1）將D4,3代入y=（2）先證△ODE∽△BDC，再根據(jù)ODOB=13求出點C的縱坐標(biāo)，進而求出點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線【詳解】（1）解：∵點D4,3在反比例函數(shù)y=∴3=k∴k=3×4=12；（2）解：∵ODOB∴ODBD∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA∥BC，∴∠DOE=∠DBC，∠DEO=∠DCB，∴△DOE∽△DBC，∴yDyC解得yC∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點C，∴點C的坐標(biāo)為129,9，即設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，將D4,3，C43,9代入解得m=?9∴直線CD的解析式為y=?9令y=?94x+12=0∴OE=16∴S△ODE【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求一次函數(shù)圖象解析式等，涉及知識點比較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是利用相似求出點C的坐標(biāo)．7．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，點Am,1在雙曲線y=kxx<0上，點B在x軸上．將線段AB平移到CD，點C仍在雙曲線上，點D在(1)求m和k的值；(2)直線AC與x軸交于E，與y軸交于F．求證：OE=2OF．【答案】(1)m=?4，k=