七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第二章第02講 平行線的判定和性質(zhì)(10類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第02講平行線的判定和性質(zhì)(10類熱點(diǎn)題型講練)1．掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系；2．掌握利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角判定判定兩條直線平行的條件，并能解決一些問題；3．掌握平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用；4．體會平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系．知識點(diǎn)01同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念1.同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角：填空：(1)如圖，∠1和∠5，分別在直線AB，CD的上方（同一方），在直線EF的右側(cè)（同側(cè)）.具有這種位置關(guān)系的一對角是同位角.(2)如圖，∠3和∠5，在直線AB，CD之間，在直線EF的兩側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角.(3)如圖，∠3和∠6，在直線AB，CD之間，在直線EF的同側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)角.【總結(jié)】(1)同位角：在被截直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對角.(2)內(nèi)錯(cuò)角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對角.(3)同旁內(nèi)角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的同側(cè)的一對角.知識點(diǎn)02平行線的定義及表示(1)定義：在同一平面內(nèi)內(nèi)，不相交的兩條直線.(2)表示：平行用“∥”符號表示，讀作“平行于”.1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.【注意】平行線的畫法四字訣1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；3.“移”：沿直尺移動(dòng)三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)；4.“畫”：沿三角板過已知點(diǎn)的邊畫直線.知識點(diǎn)03平行公理及推論(1)平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”強(qiáng)調(diào)直線的存在性和唯一性.(2)前提條件“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，若點(diǎn)在直線上，不可能有平行線.知識點(diǎn)04平行線的判定方法平行線的判定方法1：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行線的判定方法2：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行線的判定方法3：(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.(2)幾何語言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行線的其他判定方法：(1)在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.【總結(jié)】判定兩直線平行的方法方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.方法三：同位角相等，兩直線平行.方法四：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.方法五：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.知識點(diǎn)05平行線的性質(zhì)(1)文字表達(dá)：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②簡單說成：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)家相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(2)幾何語言表述：已知，如圖所示，若AB∥CD，則①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②內(nèi)錯(cuò)角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁內(nèi)角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).題型01同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別【例題】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，下列結(jié)論正確的是（

）A．與是對頂角B．與是同位角C．與是同旁內(nèi)角D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】本題考查同位角同旁內(nèi)角、對頂角，根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、對頂角的定義進(jìn)行判斷，熟練掌握各角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、與是對頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、與是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、與沒有處在兩條被截線之間，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、與是同旁內(nèi)角；故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川巴中·七年級四川省巴中中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，有下列五種說法：①和是同位角；②和是內(nèi)錯(cuò)角；③和是同旁內(nèi)角；④和是同位角；⑤和是同旁內(nèi)角；其中正確的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角的定義，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義尋找出各角之間的關(guān)系，再比照五種說法判斷對錯(cuò)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義分析五種說法．①和是同位角，即①正確；②和是內(nèi)錯(cuò)角，即②正確；③和是內(nèi)錯(cuò)角，即③不正確；④和是同位角，即④正確；⑤和是同旁內(nèi)角，即⑤正確．故選：D．2．（2023下·廣東河源·七年級期中）如圖，a，b，c三條直線兩兩相交，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是對頂角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】B【分析】本題考查相交直線所成相關(guān)角的概念，解答關(guān)鍵是熟知同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對頂角的相關(guān)概念和判斷方法．【詳解】解：A．與是直線a、直線b被直線c所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．與是直線a、直線c被直線b所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)B符合題意；C．與是對頂角，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．與是直線b、直線c被直線a所截，所得到的同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．題型02同位角相等，兩直線平行【例題】根據(jù)要求完成下面的填空：如圖，直線，被所截，若已知．

（______），又（已知），____________，∴____________（______）．【詳解】（對頂角相等），又（已知），，（同位角相等，兩直線平行），故答案為：對頂角相等，1，3，,，同位角相等，兩直線平行．【變式訓(xùn)練】1．請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據(jù)：如圖，，與平行嗎？為什么？

解：．理由如下：∵（已知），∴________°即________°（

）又∵（

），且（已知）∴（

）∴（

）【詳解】解：．理由如下：∵（已知），∴，即（等量代換）又∵（已知），且（已知）∴（等角的補(bǔ)角相等）∴（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：，等量代換，已知，等角的補(bǔ)角相等，同位角相等，兩直線平行．2．如圖，已知，，，．與平行嗎？與平行嗎？閱讀下面的解答過程，并填空或填寫理由．

解：與平行；與平行，理由如下：，（________）（________）（________________________）；又（________）同理可得（________）∴（________）（________）（_____________________________）．【詳解】解：與平行；與平行，理由如下：，(同位角相等，兩直線平行)；又同理可得(同位角相等，兩直線平行)．題型03內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【例題】如圖，交于，交于，交于，，，試判斷和的位置關(guān)系，并說明為什么．【詳解】解：．理由：，，，，∴．【變式訓(xùn)練】1．推理填空：已知：如圖于B，于C，，求證：．

證明：∵于B，于C（已知）∴∴與互余，與互余又∵（），∴＝（）∴（）．【詳解】解：∵于B，于C（已知）∴∴與互余，與互余又∵（已知），∴（等角的余角相等）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．2．如圖，直線交于點(diǎn)O，分別平分和，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)試說明的理由．【詳解】（1）∵分別平分和，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴．題型04同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【例題】如圖，已知直線被直線所截，平分，平分，，嗎？為什么？解：∵平分，平分（已知），∴___________，___________，∴___________（），∵（），∴___________°，∴．【詳解】解：平分，平分（已知），，，（等量代換）（已知），，．【變式訓(xùn)練】1．如圖，．試說明，根據(jù)圖形，完成下列推理：∵（已知）∴（等量代換）∴________//_________（_______________）∵相交，∴（____________）∵∴∴（___________________）【詳解】∵（已知）∴（等量代換）∴(同位角相等，兩直線平行）∵AB，DE相交，∴（對頂角相等）∵∴

∴(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)故答案為：，，同位角相等，兩直線平行；對頂角相等；，，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．2．完成下面的證明．已知：如圖，直線a，b，c被直線l所截，，．求證：．

證明：∵，∴______（______）．∵，∴______（______）．∴（______）．【詳解】證明：∵，∴b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∵，∴c（同位角相等，兩直線平行）．∴（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．題型05平行線及平行公理【例題】如圖，已知直線a，b，c被d所截，且，．試說明：．解：因?yàn)椋ㄒ阎╛__________）所以___________=___________（等量代換）所以______________________（___________）又因?yàn)椋ㄒ阎┧訽_____________________（___________）【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎▽斀窍嗟龋┧?=3（等量代換）所以ac（同位角相等，兩直線平行）又因?yàn)椋ㄒ阎┧詁c（平行于同一直線的兩條直線互相平行）【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，直線相交于點(diǎn)O，平分，平分，，垂足為點(diǎn)H，與平行嗎？說明理由．

【詳解】解：，理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，∵，∴．2．如圖，，，垂足分別是，，．(1)判斷與的位置關(guān)系；（不需要證明）(2)求證：．【詳解】（1）解：∵，，∴．（2）證明：，，（等式的性質(zhì)），即，（同位角相等，兩直線平行）．題型06添加一條件使兩條直線平行【例題】（2023下·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，寫出能判定的一個(gè)條件（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行線的判定．要判斷，要看它們的截線所構(gòu)成的“三線八角”圖中各角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理解答即可．【詳解】解：∵，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；∵，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；∵，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；∵，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；故答案為：（答案不唯一）．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在下列四組條件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序號）

【答案】①②④【分析】根據(jù)平行線的判定條件，逐一判斷即可解答．【詳解】解：①，能判斷，故此選項(xiàng)符合題意；②，，故此選項(xiàng)符合題意；③，，故此選項(xiàng)不符合題意；④，，故此選項(xiàng)符合題意，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定條件，即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，熟知上述判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線，垂足為，且，若增加一個(gè)條件使得，試寫出一個(gè)符合要求的條件．

【答案】．（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：可以添加條件，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．題型07根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度【例題】（2023下·新疆阿克蘇·七年級?？计谀┤鐖D，，直線分別交、于點(diǎn)、，平分，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義結(jié)合平角的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵，∴∵平分∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)、求出是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江金華·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)在的延長線上，連接，作的角平分線分別交線段，于點(diǎn)，點(diǎn)，已知，．

(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵∴，（2）解：∵，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·貴州黔南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，點(diǎn)E在線段上，，點(diǎn)F在直線上，．

(1)圖中與相等的角有__________；(2)若，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)C（點(diǎn)C不與B，H兩點(diǎn)重合）從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，求的度數(shù)．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等以及平行線的性質(zhì)，即可得到與相等的角；（2）根據(jù)，，可得，再根據(jù)，即可得到；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段上；點(diǎn)C在延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到的度數(shù)為或．【詳解】（1）解：，，，，，，，，；與相等的角為，，；（2）解：，，，，；（3）解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖a，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，點(diǎn)F在的延長線上，此時(shí)，，；②如圖b，當(dāng)點(diǎn)C在的延長線上時(shí)，點(diǎn)F在線段上．，，，綜上所述，的度數(shù)為或．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．題型08平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例題】（2023下·全國·七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，在A，B，C三處經(jīng)過三次拐彎，此時(shí)道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即），若，，則的度數(shù)是．【答案】/度【分析】首先過作，根據(jù)，可得，進(jìn)而得到，，然后可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，過作，，，又，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向會發(fā)生改變，這就是折射現(xiàn)象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水里時(shí)發(fā)生了折射，變成光線射到水底C處射線X是光線的延長線，，，則的度數(shù)為．【答案】/17度【分析】由平行線的性質(zhì)可知，再根據(jù)對頂角相等得出，最后由求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵,∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期中）圖1中所示是學(xué)校操場邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架、為固定支撐桿，燈體是，其中垂直地面于點(diǎn)，過點(diǎn)作射線與地面平行（即），已知兩個(gè)支撐桿之間的夾角，燈體與支撐桿之間的夾角，則的度數(shù)為．

【答案】/30度【分析】過點(diǎn)作．先利用平行線的性質(zhì)和垂直的定義、角的和差關(guān)系求出，再利用平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作．，．．，．，．．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．題型09平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用【例題】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見解析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過作，，∵，∴，，，故答案為：20．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南岳陽·八年級校考開學(xué)考試）如圖，，，點(diǎn)F在的延長線上，點(diǎn)C在的延長線上，且平分．

(1)求證：；(2)若，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對頂角相等結(jié)合題意推出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可判定；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意推出，即可判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可．【詳解】（1）證明：∵（對頂角相等），又（已知），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行）；（2）解：由（1）已證可得：（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵，∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，與的延長線交于點(diǎn)，，．

(1)與平行嗎？為什么？(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)平行，見解析(2)【分析】（1），理由如下：由已知條件，，根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，等量代換得到，即可得出答案；（2）結(jié)合（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1），理由如下：，，，，，；（2），又，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型10根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系【例題】（2023下·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線，且和分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上．(1)之間的關(guān)系為；(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間的關(guān)系為；(3)如果點(diǎn)P（點(diǎn)P和A、B不重合）在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間關(guān)系為．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一直線的兩條直線平行．（1）過點(diǎn)P作，如圖1，由于，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，所以；（2）由（1）中的證明過程，可知之間的關(guān)系不發(fā)生變化；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，分點(diǎn)P在延長線上和點(diǎn)P在延長線上兩種情況；利用平行線的性質(zhì)可推出之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)P作，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵（已知），∴（平行于同一條直線的兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴（等量代換）；故答案為：；（2）解：由（1）的證明過程知，之間的關(guān)系不發(fā)生變化；故答案為：；（3）解：過點(diǎn)P作，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)P在延長線上時(shí)，如左圖，則，，∴，即；當(dāng)點(diǎn)P在延長線上時(shí)，如右圖，∵，∴，，∴，即；綜上，或．故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江佳木斯·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，，分別平分和，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)圖中；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)隨點(diǎn)位置的變化，圖中與之間的數(shù)量關(guān)系始終為，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不變，：【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明即可；（2）想辦法證明即可解決問題；（3）不變．可以證明，．【詳解】（1）解：，，又，分別平分和，，故答案為：．（2），，又，，，，，故答案為：．（3）不變．理由如下：，，，又平分，，即：：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線與直線，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分交直線于點(diǎn)M，且．

(1)求證：；(2)點(diǎn)G是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合)，平分交直線于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交直線于點(diǎn)N，設(shè)．①點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)，且，求的度數(shù)；②點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）由角平分線的定義即得出，結(jié)合題意可證明，即得出；（2）①平分和，可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴．又∵，∴，∴；（2）解：①如圖1，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得．②和之間的數(shù)量關(guān)系為或．理由如下：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，由（2）得，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖2，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，綜上所述，和之間的數(shù)量關(guān)系為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對各項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，對頂角相等，不能判定，故此選項(xiàng)符合題意；C、，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定，此選項(xiàng)不符合題意；D、，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．2．（2023下·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，以下說法錯(cuò)誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】C【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、與是同位角，正確，不符合題意；B、與是同位角，正確，不符合題意；C、與不是內(nèi)錯(cuò)角，錯(cuò)誤，符合題意；D、與是同旁內(nèi)角，正確，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解答的關(guān)鍵是理解定義：如果兩條直線被第三條直線所截所形成的的角，在兩條被截直線之間且在截線兩側(cè)的兩個(gè)角互為內(nèi)錯(cuò)角；在兩條被截直線同一方且在截線同側(cè)的兩個(gè)角互為同位角；在兩條被截線之間且在截線同側(cè)的兩個(gè)角互為同旁內(nèi)角．3．（2023上·陜西銅川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列推理及括號中所注明的推理依據(jù)錯(cuò)誤的是（

）A．∵，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）B．，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）C．，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）D．，（同位角相等，兩直線平行）【答案】A【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，利用平行線的判定方法與性質(zhì)逐一分析即可得到答案，熟記平行線的判定方法與平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），故A符合題意；，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），故B不符合題意；，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故C不符合題意；，（同位角相等，兩直線平行），故D不符合題意；故選A4．（2023上·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，直線，直線與直線a相交于點(diǎn)P，與直線b相交于點(diǎn)Q，于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，平角的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，∵，，∴，∵，∴，故選A．5．（2023上·四川宜賓·七年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，即，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)以及，可求得結(jié)果；④根據(jù)即以及，可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、角平分線的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的四個(gè)圖形中，和是同位角的是．（填序號）

【答案】①②④【分析】根據(jù)同位角的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：①∠1和∠2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；②∠1和∠2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；③∠1與∠2分別是四條直線中的兩對直線的夾角，不符合同位角的定義，故它們不是同位角；④∠1和∠2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角的定義，掌握同位角的定義：“兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的同側(cè)，在第三條直線的同旁的兩個(gè)角，叫做同位角”，是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線DE經(jīng)過點(diǎn)A，請?zhí)砑右粋€(gè)條件使直線，則該條件可以是．

【答案】＃?！痉治觥扛鶕?jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可得出答案．【詳解】解：由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得：當(dāng)或時(shí)，都有【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理．熟記相關(guān)定理時(shí)解決此題的關(guān)鍵．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，，．若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】由對頂角相等可得，再由平行線的性質(zhì)可求得，，結(jié)合已知條件可求得，即可求解．【詳解】解：如圖，

，，∵，，，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是度．【答案】136【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握平行線的性質(zhì)定理．根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等就可以求解．【詳解】解：根據(jù)題意，所以第二次拐的角是136度，故答案為：136．10．（2023上·黑龍江大慶·八年級大慶一中校考期中）如圖，直線，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，，，固定的位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)F正好落在直線上，再將繞點(diǎn)F順時(shí)針方向以每秒的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與直線首次重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)經(jīng)過t秒時(shí)，線段與的一條邊平行，則t的值．

【答案】或或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．分類討論、、三種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)角的大小即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∴秒②當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，∴∴秒③當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∴秒綜上所述：t的值為或或三、解答題11．（2023上·新疆克孜勒蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，試判斷與的大小關(guān)系，請補(bǔ)全證明過程，即在橫線處填上結(jié)論或理由．解：．理由如下：∵（已知），（_______），∴（_______），∴_______（_______），∴（_______），∵（已知），∴∠______________（_______），∴______________（_______），（_______）．【答案】平角的定義；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：；B；等量代換；；，同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明的思路，把證明過程填寫完整即可．【詳解】．理由如下：∵（已知），（平角的定義），∴（等量代換），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵（已知），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：平角的定義；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：；B；等量代換；；，同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．12．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）在下列解答中，填空（理由或數(shù)學(xué)式）．如圖，已知直線，，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：直線．解：（1）∵（已知），且（），∴（）．∵（已知），∴（）．∴（等量代換）．證明：（2）∵（），∴（）．又∵（已知），∴（）．【答案】(1)對頂角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等；(2)已知；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)對頂角相等求出，再根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求解即可；（2）根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”推出，再根據(jù)“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”即可得解．【詳解】（1）解：（已知），且（對頂角相等），（等量代換），∵（已知），（兩直線平行，同位角相等），（等量代換）．故答案為：對頂角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等；；（2）證明：（已知），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．又∵（已知），∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．故答案為：已知；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．13．（2023上·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，已知，與相交于點(diǎn)E，從點(diǎn)E引一條射線交線段于點(diǎn)F，若，，求證：．證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵（已知），∴（____________________），∴__________（____________________），∴__________（____________________），∵（已知），∴（____________________），∵（已知），∴（____________________）．【答案】見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目已知條件及現(xiàn)有步驟結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)定理，即可得到答案．【詳解】證明：（已知），∴（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵（已知），∴（同角的補(bǔ)角相等）；∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等），∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（已知），∴（等量代換），故答案為：同角的補(bǔ)角相等；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換．14．（2023上·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，分別交，于點(diǎn)，，平分，，

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，是解決本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵．∴．∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴．15．（2023上·四川遂寧·七年級射洪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，直線，點(diǎn)分別在和上，，平分．(1)試說明：；(2)如圖2，若于點(diǎn)，請問與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到；（2）依據(jù)，可得，進(jìn)而得出，再依據(jù)即可得證．【詳解】（1）解：，，，，平分，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，．16．（2023上·吉林·七年級東北師大附中?？计谀靖兄咳鐖D①，若，平分，求證：．請將下列證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵平分，（已知），∴___________（角平分線的定義），∵（已知），∴___________（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴（等量代換）．【探索】如圖②，平分，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在線段上，若，求證：．【拓展】如圖③，將【探索】中的點(diǎn)移動(dòng)到線段的延長線上，其他條件不變，若，請直接寫出的度數(shù)．

【答案】感知：；；探索：見解析；拓展：【分析】感知：根據(jù)角平分線定義和平