人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)第01講 三角形有關(guān)的線段（解析版）

第01講三角形有關(guān)的線段課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①三角形的認(rèn)識(shí)與分類②三角形的三邊關(guān)系③三角形的中線、高線以及角平分線④三角形的穩(wěn)定性認(rèn)識(shí)三角形并了解三角形的相關(guān)元素，并能根據(jù)三角形的特點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行分類。掌握三角形的三邊關(guān)系，能夠利用三邊關(guān)系解題。掌握三角形的中線、高線、角平分線以及他們的性質(zhì)。掌握三角形的穩(wěn)定性并了解它在生活中的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01三角形的認(rèn)識(shí)與分類三角形的認(rèn)識(shí)：如圖：由三條不在同一直線上的線段首位順次連接組成的圖形。用符號(hào)“△”來表示，表示為△ABC。其中：點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C時(shí)三角形的頂點(diǎn)。線段AB、BC、AC是三角形的邊?！螦、∠B、∠C是三角形的角。AB、AC與∠A相鄰，所以是∠A的鄰邊，BC與∠A相對(duì)，所以是∠A的對(duì)邊；同理可得∠B、∠C的鄰邊與對(duì)邊。題型考點(diǎn)：①判斷認(rèn)識(shí)三角形。三角形的分類：三角形可按邊或角進(jìn)行分類。①按邊分類：②按角分類：題型考點(diǎn)：三角形的分類?！炯磳W(xué)即練1】1．圖中共有三角形個(gè)，其中以AE為邊的三角形有個(gè)．【解答】解：（1）①△BDO，△ABO，△AOE，共3個(gè)；②△ABD，△ADC，2個(gè)；③△ABE，△BCE，2個(gè)；④△ABC，1個(gè)；綜上，圖中共有共8個(gè)三角形；（2）以AE為邊的三角形有：△AOE，△ABE，2個(gè)；故答案為：8；2．【即學(xué)即練2】2．關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤 C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤【解答】解：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為：，故選：D．知識(shí)點(diǎn)02三角形的三邊關(guān)系三角形的三邊關(guān)系：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，三角形的任意兩邊之和大于第三邊。任意兩邊之差小于第三邊。解題時(shí)常用兩邊之差小于第三邊小于兩邊之和建立不等式。題型考點(diǎn)：①判斷能否構(gòu)成三角形。②求第三邊的范圍?！炯磳W(xué)即練1】3．將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，9【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故不符合題意；B、3+4＝7＞5，能組成三角形，故符合題意；C、2+3＝5，不能組成三角形，故不符合題意；D、3+5＝8＜9，不能組成三角形，故不符合題意．故選：B．【即學(xué)即練2】4．若一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和6，則這個(gè)三角形第三邊的長(zhǎng)可以是（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，則6﹣2＜x＜6+2，故4＜x＜8．故選：C．【即學(xué)即練3】5．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，5，x，則x不可能是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，∴2＜x＜8．故選：D．6．若三角形三邊長(zhǎng)為3，2x+1，10，則x的取值范圍是3＜x＜6．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0解得：3＜x＜6，即x的取值范圍是3＜x＜6．故答案為：3＜x＜6．知識(shí)點(diǎn)03三角形的中線三角形中線的定義：如圖，三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線段叫做三角形的中線。三角形中線的性質(zhì)：①AM是三角形的中線M是BC的中點(diǎn)BM＝CM＝BC。②中線平分三角形的面積。即：③中線分三角三角形的周長(zhǎng)差等于對(duì)應(yīng)另兩邊的差。即：④三角形有3條中線，且三條中線交于一點(diǎn)，叫做三角形的重心。題型考點(diǎn)：①利用中線的性質(zhì)進(jìn)行與周長(zhǎng)與面積有關(guān)的計(jì)算。【即學(xué)即練1】7．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，△ABC的面積等于8，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，故選：A．【即學(xué)即練2】8．如圖，AD是△ABC的中線，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周長(zhǎng)為10，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵△ACD的周長(zhǎng)為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝4，∴AD+CD＝6，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵AB＝5，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+CD＝11，故選：D．知識(shí)點(diǎn)04三角形的高線三角形高線的定義：如圖，過三角形的頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段是三角形的高線。BD是△ABC的高BD⊥AC銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形所有高線的畫法：三角形的垂心：三角形有3條高線，且三條高線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心。高線與垂心的位置與三角形形狀的關(guān)系：銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，垂心在三角形內(nèi)。直角三角形有兩條高是三角形的邊，垂心在三角形上。鈍角三角形有兩條高在三角形外，垂心在三角形外。題型考點(diǎn)：①三角形高線的判斷與作圖。②根據(jù)高線與垂心的位置判斷三角形的形狀?！炯磳W(xué)即練1】9．如所示的四個(gè)圖形中，線段BD是△ABC的高的圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圖形中，線段BD不是△ABC的高，不符合題意；B、圖形中，線段BD不是△ABC的高，不符合題意；C、圖形中，線段BD不是△ABC的高，不符合題意；D、圖形中，線段BD是△ABC的高，符合題意；故選：D．【即學(xué)即練2】10．如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【解答】解：A、銳角三角形，三條高線交點(diǎn)在三角形內(nèi)，故錯(cuò)誤；B、鈍角三角形，三條高線不會(huì)交于一個(gè)頂點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C、直角三角形的直角所在的頂點(diǎn)正好是三條高線的交點(diǎn)，可以得出這個(gè)三角形是直角三角形，故正確；D、能確定C正確，故錯(cuò)誤．故選：C．知識(shí)點(diǎn)05三角形的角平分線三角形角平分線的定義：如圖。三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與這個(gè)角對(duì)邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段是三角形的角平分線。三角形角平分線的性質(zhì)：①AD是三角形的角平分線∠1＝∠2。②三角形的角平分線把三角形分得的兩個(gè)小三角形的面積比等于被角平分線分邊分得的兩條線段比。即。③三角形有3條角平分線，三條角平分交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。題型考點(diǎn)：①角平分線的認(rèn)識(shí)?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則下列說法中，正確的是（）A．AD是△ABE的中線 B．AE是△ABC的角平分線 C．AF是△ACE的高線 D．AE是△DAF的中線【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分線，故選：B．知識(shí)點(diǎn)06三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性：三角形的三條邊確定，則這個(gè)三角形的形狀和大小就會(huì)確定。這就是三角形的穩(wěn)定性。題型考點(diǎn)：判斷三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】12．如圖是位于汾河之上的通達(dá)橋，是山西省首座獨(dú)塔懸索橋，是連接二青會(huì)的水上運(yùn)動(dòng)、沙灘排球等項(xiàng)目及場(chǎng)館的主要通道，被譽(yù)為“時(shí)代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．三角形的兩邊之和大于第三邊【解答】解：橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形具有穩(wěn)定性．故選：A．題型01利用三角形三邊關(guān)系求取值范圍【典例1】已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊，且a，b滿足．則c的取值范圍是（）A．c＞1 B．c＜2 C．1＜c≤2 D．1＜c＜3【解答】解：由題意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，∵2﹣1＝1，1+2＝3，∴1＜c＜3．故選：D．變式1：在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，則n的取值范圍是（）A．n＜11 B．7＜n＜11 C．9＜n＜17 D．n＞7【解答】解：在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，又∵BC﹣AC＜AB＜BC+AC，∴，解得：7＜n＜11，故選：B．變式2：已知三角形三邊分別為2，a﹣1，5，那么a的取值范圍是（）A．2＜a＜5 B．3＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜8【解答】解：依題意得：5﹣2＜a﹣1＜5+2，即：3＜a﹣1＜7，∴4＜a＜8．故選：D．題型02利用三角形三邊關(guān)系化簡(jiǎn)【典例1】已知a，b，c是三角形的三條邊，則|c﹣a﹣b|+|c+b﹣a|的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b﹣2c【解答】解：∵a，b，c是三角形的三條邊，∴a+b＞c，b+c＞a，∴c﹣a﹣b＜0，c+b﹣a＞0，∴|c﹣a﹣b|+|c+b﹣a|＝﹣（c﹣a﹣b）+（c+b﹣a）＝a+b﹣c+c+b﹣a＝2b，故選：C．變式1：已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝．【解答】解：∵a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c．故答案為：a+3b﹣c．變式2：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，a﹣1，4，則化簡(jiǎn)|a﹣3|﹣|a﹣7|的結(jié)果為．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|﹣|a﹣7|＝a﹣3﹣7+a＝2a﹣10．故答案為：2a﹣10．題型03三角形三邊關(guān)系與等腰三角形【典例1】等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．17 B．22 C．17或22 D．17和22【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)4為底邊長(zhǎng)，9為腰長(zhǎng)時(shí)，4+9＞9，∴三角形的周長(zhǎng)＝4+9+9＝22；②當(dāng)9為底邊長(zhǎng)，4為腰長(zhǎng)時(shí)，∵4+4＜9，∴不能構(gòu)成三角形；∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是22．故選：B．變式1：在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為16cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為16cm，∴設(shè)AB＝AC＝xcm，則BC＝（16﹣2x）cm，∴，解得4cm＜x＜8cm．故選：C．變式2：等腰三角形的周長(zhǎng)為26cm，一邊長(zhǎng)為6cm，那么腰長(zhǎng)為（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm【解答】解：①當(dāng)6cm為腰長(zhǎng)時(shí)，則腰長(zhǎng)為6cm，底邊＝26﹣6﹣6＝14cm，因?yàn)?4＞6+6，所以不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)6cm為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)＝（26﹣6）÷2＝10cm，因?yàn)?﹣6＜10＜6+6，所以能構(gòu)成三角形；故選：B．變式3：已知a，b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且a，b滿足+（2a+3b﹣13）2＝0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，2，3，周長(zhǎng)為7；當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，3，3，則周長(zhǎng)為8，∴等腰三角形的周長(zhǎng)為7或8．故選：D．題型04三角形的中線與周長(zhǎng)與面積的關(guān)系【典例1】如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為30，則△BCD的周長(zhǎng)是（）A．20 B．24 C．26 D．28【解答】解：∵BD是AC邊上的中線，∴CD＝AD，∵△ABD的周長(zhǎng)為30，∴AB+AD+BD＝30，∴16+CD+BD＝30，∴CD+BD＝14，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝14+10＝24，故選：B．變式1：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3，AB與AC的和為13，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則，解得，，故選：D．【典例2】已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為cm2．【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．1．如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解答】解：圖中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故選：C．2．下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲分法正確，乙分法錯(cuò)誤 C．甲分法錯(cuò)誤，乙分法正確 D．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤【解答】解：甲正確的分類應(yīng)該為，乙分法正確；故選：C．3．圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【解答】解：從圖中，只能看到一個(gè)角是銳角，其它的兩個(gè)角中，可以都是銳角或有一個(gè)鈍角或有一個(gè)直角．故選：D．4．下列長(zhǎng)度的三條線段中，能圍成三角形的是（）A．5cm，6cm，12cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，6cm，10cm D．3cm，4cm，8cm【解答】解：A、5+6＜12，所以不能圍成三角形；B、3+4＞5，所以能圍成三角形；C、4+6＝10，所以不能圍成三角形；D、3+4＜8，所以不能圍成三角形．故選：B．5．在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的長(zhǎng)為整數(shù)，則BC的長(zhǎng)可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得5﹣2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7．又BC的長(zhǎng)為整數(shù)，則BC的長(zhǎng)可能是6cm．故選：C．6．若a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝．【解答】解：∵a、b、c分別為△ABC的三邊的長(zhǎng)，∴a+c＞b，a＜b+c，∴b﹣a﹣c＜0，a﹣b﹣c＜0，∴|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝﹣b+a+c+a﹣b﹣c＝﹣2b+2a．故答案是：﹣2b+2a．7．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的邊BC上的高，故選：A．8．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長(zhǎng)相等的三角形【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．故選：B．9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB＝7，AC＝10，△ACE的周長(zhǎng)是25，則△ABE的周長(zhǎng)是．【解答】解：∵△ACE的周長(zhǎng)是25，∴AC+AE+CE＝25，∵AC＝10，∴AE+CE＝15，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴△ABE的周長(zhǎng)＝AB+BE+AE＝AB+CE+AE＝7+15＝22，故答案為：22．10．如圖，在生活中，我們經(jīng)常會(huì)看見如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的（）A．穩(wěn)定性 B．靈活性 C．對(duì)稱性 D．全等性【解答】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性．故選A．11．一個(gè)三角形3條邊長(zhǎng)分別為xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周長(zhǎng)不超過39cm，則x的取值范圍是．【解答】解：∵一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周長(zhǎng)不超過39cm，∴，解得1＜x≤12．故答案為：1＜x≤12．12．如圖，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，則點(diǎn)A到BD的距離是．【解答】解：∵BD⊥AC，AD＝1.8，∴點(diǎn)A到BD的距離為1.8，故答案為：1.8．13．如圖，在三角形ABC中，