經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷1（共197題）

經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷1（共5套）（共197題）經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第1套一、單項(xiàng)選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx’和fy’都存在，則()。A、f(x，y)在P點(diǎn)必連續(xù)B、f(x，y)在P點(diǎn)必可微C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，則必有()。A、B、C、D、當(dāng)(△x)2+(△y)2→0時(shí)f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)一[fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y]=標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、已知f(x，y)=則()。A、fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C、fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()。A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于0B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于0C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于0D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、已知函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且則()。A、點(diǎn)(0，0)不是f(x，y)的極值點(diǎn)；B、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極大值點(diǎn)；C、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極小值點(diǎn)；D、無法斷定點(diǎn)(0，0)是否為f(x，y)的極值點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數(shù)，且φ’y(x，y)≠O，已知P(x0，y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的是()。A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)A、不存在B、0C、一1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在，是f(x，y)在該點(diǎn)可微的()。A、充分條件，但非必要條件B、必要條件，但非充分條件C、充分必要條件D、既非充分也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)其中D={(x，y)：(x一1)2+(y一1)2≤2}，則()。A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(a，b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則=()。A、fx’(a，b)B、fx’(2a，b)C、2fx’(a，b)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)u=的值為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)z=x+y+f(x一y)，且當(dāng)y=0時(shí)，z=x2，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2(x一y)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(u，v)是二元可微函數(shù)，z==________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)y=y(x)是由所確定的隱函數(shù)，則=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)z=z(x，y)是由方程x+y—z=ez所確定的函數(shù)，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：一y，一1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、交換積分次序：=______標(biāo)準(zhǔn)答案：+∫12dy∫01+∫23dy∫03-yf(x，y)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、累次積分=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、計(jì)算題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)21、設(shè)f(x)在[1，+∞)可導(dǎo)，f(1)=0，f(ex+1)=3e2x+2，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令ex+1=t得f’(t)=3(t一1)2+2f(t)=∫[3(t一1)2+2]dt=(t一1)3+2(t一1)+C由f(1)=0知C=0，f(x)=(x一1)3+2(x一1)=(x一1)(x2一2x+3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0．試證明：在[0，π]內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，則F(0)=F(π)=0。又因?yàn)?=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=[F(x)cosx]0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx所以存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，因?yàn)槿舨蝗?，則在(0，π)內(nèi)恒正或者恒負(fù)，均與∫0πF(x)sinxdx=0矛盾。但當(dāng)ξ∈(0，π)時(shí)，sinξ≠0，所以只有F(ξ)=0。由以上可知，存在滿足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0；再對(duì)F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1∈[0，ξ]，ξ2∈[ξ，π]，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即得到：在[0，π]內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x,y)=x2+(y一1)求fx’(2，1)，fy’(2，1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：fx’(2，1)=fy’(2，1)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)z=yxln(xy)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=xyx-1lny.ln(xy)+yx-1ln(xy)+yx-1lny+yx-1代入x=1，y=e可得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：令xy=u，x+y=v，則=yf"(u)+f’(v)+yf"(v)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(x，y)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由駐點(diǎn)的定義可得：fx’(x，y)=2x(2+y2)=0fy’(x，y)=2x2y+lny+1=0解方程可得：x=0，，即函數(shù)有唯一的駐點(diǎn)又有由于在駐點(diǎn)處AC一B2＞0，且A＞0，故函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)處取得極小值，且極值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素，x1與x2分別為兩要素的投入量，Q為產(chǎn)出量；若生產(chǎn)函數(shù)為Q=2x1αx2β，其中α，β為正常數(shù)，且α+β=1，假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為P1何P2，試問：當(dāng)產(chǎn)出量為12時(shí)，兩要素各投入多少可以適當(dāng)投入總費(fèi)用最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：minp1x1+p2x2s．t．2x1αx2β=12即：L(x1，x2，λ)=p1x1+p2x2+λ(12—2x1αx2β)L(x1，x2，λ)分別對(duì)x1，x2，λ求偏導(dǎo)可得方程組：對(duì)于條件極值的問題駐點(diǎn)惟一就是極值點(diǎn)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)u=f(ux，v+y)，g(u一x，v2y)=0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：兩個(gè)均兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)由此解得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)z=z(x，y)是方程x+y+z—xyz=0所確定的隱函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程x+y+z一xyz=0等號(hào)兩邊同時(shí)關(guān)于x求偏導(dǎo)，得整理得到同理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、計(jì)算下列函數(shù)指定的偏導(dǎo)數(shù)：(I)設(shè)u=f(2x一y)+g(x，xy)，其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(Ⅱ)設(shè)u=u(x，y)由方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dy確定，其中φ可微，P連續(xù)，且φ’(u)≠1，求(Ⅲ)設(shè)z3—2xz+y=0確定z=z(x，y)，求z的三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅱ)在u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)可得(Ⅲ)在方程兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得將(*)式再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)確定了函數(shù)t=t(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=f(x,t(x，y))兩端對(duì)x求導(dǎo)得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f(x，y)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將題設(shè)的兩個(gè)方程的兩端分別對(duì)x求偏導(dǎo)，得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)z=z(x，y)是由方程F(x一z，y—z)=0確定的隱函數(shù)，其中F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且F1’+F2’≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析38、求函數(shù)u=xyz在約束條件(x＞0，y＞0，z＞0，a＞0)下的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)拉格朗日函數(shù)為F(x，y，z)=分別對(duì)x，y，z，a求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)的值為0可得到方程組：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第2套一、單項(xiàng)選擇題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)1、積分sinx2dx的值()。A、大于0B、小于0C、等于0D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、不定積分∫sinxcosxdx不等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、不定積分=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)則I，J的大小關(guān)系是()。A、I＜JB、I＞JC、I≤JD、I≥J標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分∫0axf’(x)dx在幾何上表示()。A、曲邊梯形的面積B、梯形的面積C、曲邊三角形的面積D、三角形的面積標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在[a，b]連續(xù)，且f(x)≤g(x)，則對(duì)任何c∈(0，1)，有()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)函數(shù)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是()。A、∫0xf(t2)dtB、∫0xf2(t)dtC、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtD、∫0xt[f(t)+f(一t)]dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)∫f(x)dx=x2+C，則∫xf(1一x2)dx為()。A、一2(1一x2)2+CB、2(1—x2)2+CC、(1-x2)2+CD、(1-x2)2+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、下列反常積分發(fā)散的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、下列反常積分中收斂的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)則I1與I2的關(guān)系為()。A、I1＜I2B、I1＞I2C、I1=I2D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)的原函數(shù)是F(x)，可導(dǎo)函數(shù)g(x)的原函數(shù)是G(x)，g(x)是f(x)在區(qū)間I上的反函數(shù)，則()。A、F’(x)G’(x)=1B、f’(x)g’(f(x))=1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、把x→0+時(shí)的無窮小量α=∫0xcost2dt，排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是()。A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(t)=則f(t)在t=0處()。A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，則f(x)=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x一1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、∫0πxsinxdx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：4一π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、∫0nπx|sinx|dx=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：n2π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、函數(shù)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)，且反常積分∫1+∞f(x)dx收斂，并滿足則函數(shù)f(x)的表達(dá)式是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)位于曲線(e≤x＜+∞)下方，x軸上方的無界區(qū)域?yàn)镚，則G繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、計(jì)算題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)25、試求下列反常積分的值標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)0＜x≤有一∞＜lnx≤一1，因此令t=一lnx，則有：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求由曲線y=xex與直線y=ex所圍成圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3—4，我們可得：即S=∫01|ex一xex|dx=∫01(ex一xex)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求曲線y=sinx與y=sin2x在[0，π]上所圍成圖形的面積S。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3—5，我們可以求出曲線相交的點(diǎn)：所以兩曲線所圍圖形的面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、過P(1，0)作拋物線的切線，與拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則斜率為即過點(diǎn)P(1，0)的切線方程為：將(x0，y0)代入切線方程，得出x0=3，得出切線方程為即所要求的體積可以通過由切線繞軸旋轉(zhuǎn)形成的椎體的體積減去由拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)形成的體積之差。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、某產(chǎn)品的邊際成本C’(x)=4+(萬元/百臺(tái))，邊際收益R’(x)=8一x(萬元／百臺(tái))，試求：(1)產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)的總成本與總收益的增加值；(2)若固定成本C(0)=1(萬元)，求總成本函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)；(3)當(dāng)產(chǎn)量為多大時(shí)，利潤(rùn)最大?(4)求最大利潤(rùn)時(shí)的總成本與總收益。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)總成本的增加值為△C=∫15C’(t)dt==19(萬元)總收益的增加值為△R=∫15R’(t)dt=∫15(8一x)dx=20(萬元)(2)總成本函數(shù)C(x)=C(0)+∫0xC’(x)dx=1+總收益函數(shù)R(x)=∫0xR’(x)dx=∫0x(8一x)dx=總利潤(rùn)函數(shù)L(x)=R(x)一C(x)=(3)L’(x)=令L’(x)=0得駐點(diǎn)又L"(x)＜0，故當(dāng)(百臺(tái))時(shí)，利潤(rùn)最大知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)中的積分表達(dá)式中的e-x變成再化簡(jiǎn)可得然后再將上述得到的積分表達(dá)式中的ex轉(zhuǎn)換成e-x即得到：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、計(jì)算不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：=In|x+2|—In|x+3|+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、求定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：第一步，換元設(shè)t=1+Inx，則原式=第二步，計(jì)算定積分。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、求f(t)=6∫01x|x一t|dt。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)=6∫01x|x-t|dx=6∫01x(x一t)dx=2—3t；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，f(t)=6∫01x|x-t|dx=6∫0tx(t—x)dx+6∫t1x(x一t)dx=t3+[2x3一3x2t]t1=2—3t+2t3當(dāng)t＞1時(shí)，f(t)=6∫01x|x一t|dx=6∫01x(t一x)dx=3t一2。所以f(t)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、求定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)F(x)=試求：(1)F(x)的極值；(2)曲線y=F(x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)∫-23x2F’(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F’(x)==0得駐點(diǎn)x=0，又F"(0)=2＞0，故x=0是函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn)，其極小值為F(0)=0。(2)令F"(x)=0，得0．所以曲線y=F(x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(3)∫-23x2F’(x)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，證明∫0x[∫0uf(t)dt]du=∫0x(x一u)f(u)du。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(u)=∫0af(t)dt,F(0)=0則∫0x(x一u)f(u)du=∫0u(x一u)F’(u)du=[(x一u)F(u)]0x+∫0xF(u)dx=∫0xF(u)dx=∫0x[∫0uf(t)dt]du知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明c∈(0，1)使得f’(c)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分中值定理可知存在即存在使得f(ξ)=f(0)在[0，ξ]上用羅爾中值定理知：∈(0，1)(0，1)，使f’(c)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析38、計(jì)算∫max(1，|x|)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：max(1，|x|)=故原式=由于連續(xù)性知，若記C2=C，則則∫max(1，|x|)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析39、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析40、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)≠0，x∈[a，b]，試證明：至少存在一個(gè)ξ∈a，6)使得∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=。標(biāo)準(zhǔn)答案：欲證∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=將其中的ξ變成x，令F(x)=∫axf(x)dx，G(x)=∫axg(x)dx則原欲證明結(jié)論可化為F(b)／G(b)=故可寫出輔助函數(shù)W(x)=F(b)∫axg(t)dt—G(b)∫axf(t)dt因?yàn)閃(a)=0W(b)=F(b)G(b)一G(b)F(b)=0故至少存在一個(gè)ξ∈(a，b)使得W’(ξ)=F(b)g(ξ)一G(b)f(ξ)即得到∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析41、求曲線y=x2—2x，y=0，x=1，x=3所圍成的平面圖形的面積S，并求該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)所求面積是可以通過兩部分構(gòu)成的，一個(gè)為x軸下半部分S1，一個(gè)為x軸上半部分S2，那么S1=∫12(2x一x2)dx=S2=∫23(x2—2x)dx=即得到S=S1+S2=2(2)平面圖形S1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積平面圖形S2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積故，所求旋轉(zhuǎn)體體積為V=V1+V2=9π。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第3套一、單項(xiàng)選擇題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160-2P，其中Q，P分別表示需要量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1，則商品的價(jià)格是()A、10。B、20。C、30。D、40。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題可知：|Ep|=1，則即P=40，應(yīng)選2、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x)|在x=a點(diǎn)處不可導(dǎo)的充分條件是()。A、f(a)=0且f’(a)=0B、f(a)=0且f’(a)≠0C、f(a)＞0且f’(a)＞0D、a(a)＜0且f’(a)＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f’(x)在[a，b]上連續(xù)，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()。A、至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)。B、至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)。C、至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0。D、至少存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f(x0)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(一δ，δ)內(nèi)有定義，若當(dāng)x∈(一δ，δ)時(shí)，恒有|f(x)|≤x2，則x=0必是f(x)的()。A、間斷點(diǎn)B、連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)C、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)=0D、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)f(x)=在x=0處可導(dǎo)，則()。A、a=1，b=0B、a=0，b為任意常數(shù)C、a=0，b=0D、a=1，b為任意常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)=3x3+x2|x|，則使f(n)(0)存在的最高導(dǎo)數(shù)n為()。A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、某商品的需求量Q對(duì)階格的彈性為η=pln3，已知該商品的最大需求量為1200，則需求量Q關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系式為()。A、Q=1200×3-PB、Q=1200×3e-PC、Q=1200×e-3PD、Q=1200×3P標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)f(x)在X=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則X=1是f(x)的()。A、不可導(dǎo)點(diǎn)B、可導(dǎo)點(diǎn)，但非駐點(diǎn)C、駐點(diǎn)，但非極值點(diǎn)D、駐點(diǎn)，且為極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、若極限，則函數(shù)f(x)在x=a處()。A、不一定可導(dǎo)B、不一定可導(dǎo)，但f’+(a)=AC、不一定可導(dǎo)，但f’+(a)=AD、可導(dǎo)，且f’(a)=A標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域連續(xù)且f(0)=0，，則f(x)在x=0處()。A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)且f’(0)≠0C、有極大值D、有極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、若xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，則()。A、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)B、f(x0)是f(x)的極小值C、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(x0)是f(x)的極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=arccos(x2)則，f’(x)=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、函數(shù)f(x)=x3+6x2+9x，那么()。A、x=一1為f(x)的極大值點(diǎn)B、x=一1為f(x)的極小值點(diǎn)C、x=0為f(x)的極大值點(diǎn)D、x=0為f(x)的極小值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有f’(x)＜0，且f"(x)＜0，則y=f(x)在(a，b)內(nèi)()A、單調(diào)增加，圖像上凹B、單調(diào)增加，圖像下凹C、單調(diào)減少，圖像上凹D、單調(diào)減少，圖像下凹標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、函數(shù)f(x)=Inx—In(1-x)的定義域是()。A、(一1，+∞)B、(0，+∞)C、(1，+∞)D、(0，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、x=0是函數(shù)f(x)=的()。A、零點(diǎn)B、駐點(diǎn)C、極值點(diǎn)D、非極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)17、設(shè)f(x)=其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則λ的取值范圍是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：λ∈(2，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)y=f(lnx)f(x)，其中f可微，則dy=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)，則y(0)(0)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e一1所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，1)處的法線方程為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x一2y+2=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+2t)e2t知識(shí)點(diǎn)解析：先求出f(t)，再求f’(t)。由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t。24、設(shè)y=f(x)由方程y=1+xexy確定，則dy|x=0=________，y"|x=0=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)隱函數(shù)微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)。由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx。另外，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則得到y(tǒng)’=exy+xexy(y+xy’)①兩邊再次關(guān)于x求導(dǎo)一次，得到②yn=exy(x2y"+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y(tǒng)’(0)=1，由②式得到y(tǒng)"(0)=2。25、f(x)=的極大值點(diǎn)是x=_____，極小值點(diǎn)是x=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)某商品的需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為Q=100-5P。若商品的需求彈性的絕對(duì)值大于1，則該商品價(jià)格P的取值范圍是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：10＜P≤20。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、計(jì)算題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)27、證明拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。標(biāo)準(zhǔn)答案：首先將上f’(ξ)中的ξ改成是自變量x，則我們可以得到f(b)-f(a)=f’(x)(b-a)，再進(jìn)一步積分可得：[f(b)-f(a)]x=f(x)(b-a)移項(xiàng)可得：F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)分別代入x=a，x=b可得：F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=f(b)a-f(a)bF(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=f(b)a-f(a)b即F(a)=F(b)，即至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0得至f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(0＜a＜b)，證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在ξ∈(a，b)，使又f(x)，lnx在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，故存在η∈(a，b)，使合并上兩式可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，f"(x)≥0，x∈(一∞，+∞)，函數(shù)u在區(qū)間[a，b](a＞0)上連續(xù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令將f(x)在x=x0處展開成一階泰勒公式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x一x0)2由于f"(x)≥0，則f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)。令x=u(t)，則f(u(t))≥f(x0)+f’(x0)(u(t)一x0)。上式兩邊[0，a]在上對(duì)t積分，得∫0af[u(t)]dt≥∫0af(x0)dt+∫0af’(x0)[(u(t)一x0)]dt=af(x0)+f’(x0)[∫0a[(u(t)一x0)]dt=af(x0)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、(1)求曲線C：y=x2+x在點(diǎn)(一1，0)上的切線。(2)求圓方程為x2+y2=4在點(diǎn)(2，2)的切線。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)y’=2x+1,則斜率k=一1則所求函數(shù)切線為：y=一1(x+1)=一x一1(2)令f(x，y)=x2+y2則所求的切線為：4(x-2)+4(y一2)=0即為：y=4-x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、計(jì)算下列各題：(Ⅲ)y=exsinx,求dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可得(Ⅱ)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．因lny=兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(Ⅲ)dy=d(exsinx)=exsinxd(xsinx)=exsinx[sinxdx+xd(sinx)]=exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、已知函數(shù)f(x)=xx+，求f’(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、計(jì)算下列各題：(I)由方程xy=yx確定x=x(y)，求。(II)方程y-xey=1確定y=y(x)，求yn。(Ⅲ)設(shè)2x—tan(x一y)=∫0x-ysec2tdy(x≠y)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因xy=yx,ylnx=xlny，其中x=x(y)，將恒等式兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)得(Ⅱ)因y-xey=1,ey=yx,y=xlny。將恒等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得可解得。將(*)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，可得(Ⅲ)因2x—tan(x—y)=∫0x-ysec2tdt=tan(x—y),x=tan(x—y)。將恒等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得將上式兩端再對(duì)x求導(dǎo)，又得y”=2sin(x-y)cos(x-y).(1-y’)=sin2(x-y).cos2(x—y)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)有反函數(shù)g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)。標(biāo)準(zhǔn)答案：記y=f(x),應(yīng)注意到，g(x)為f(x)的反函數(shù)，已經(jīng)改變了變量記號(hào)，為了利用反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，必須將g(x)改寫為g(y)。由反函數(shù)求導(dǎo)公式有f’(x)g’(y)=1，將該等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g”(y)=0。注意到g’(3)==1，在上式中令x=a，應(yīng)有y=3，因此得到g"(3)=-f"(a)g’(3)=一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f’(x)=cosx一2x，且f(0)=2，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫f’(x)dx=∫(cosx一2x)dx=sinx一x2+C故f(x)=sinx-x2+C又f(0)=2，得C=2，故f(x)=sinx一x2+2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)f(x)=求a，b，C的值，使f"(0)存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：為使f’(0)存在，需f(x)，f’(x)在x=0處連續(xù)。由f(x)的連續(xù)性，有由f’(x)在x=0處的連續(xù)性，有從而可得b=1。欲使f"(0)存在，需f"-(0)=f"+(0)。又f"-(0)=(ax2+bx+c)"|x=0=2a，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、求函數(shù)f(x)=2x3+3x2一12x+1的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f’(x)=6x2+6x一12，并令其為零，可得x=1，x=一2再求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f"(x)=12x+6f"(1)=18＞0，f"(-2)=-18＜0故函數(shù)在x=1處取得極小值，在x=-2處取得極大值，故f極小值=一6，f極大值=一21知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析38、求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x+1)2的單調(diào)增減區(qū)間和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=[(x一)2(x+1)2]=4x3-4x，f"(x)=12x2-4由f’(x)＞0得到單調(diào)增區(qū)間為[一1，0]∪[1，+∞)由f’(x)＜0得到單調(diào)增區(qū)間為(一∞，一1)∪(0，1)由f’(x)=0得到駐點(diǎn)x=0，x=1，x=一1又f”(0)=一4＜0，f"(-1)=f"(一1)=8＞0故x=0是極大值點(diǎn)；x=1，x=一1是極小值點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析39、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)的定義域是(一∞，1)∪(1，+∞)，且函數(shù)無奇偶性、對(duì)稱性與周期性，又從而函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分別是x=0與x=列表討論函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(-∞，一1)∪(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，在(一1，0)內(nèi)單調(diào)減少；極大值f(一1)=，極小值f(0)=2；拐點(diǎn)為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析40、設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=。證明：存在使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一，F(xiàn)(1)=F(0)=0，F(xiàn)’(ξ)+F’(ξ)=0→,[f’(ξ)一ξ2]+[f’(η)一η2]=0，即：f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第4套一、單項(xiàng)選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、若f(x)=x+sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)為()。A、B、C、x—cosx+5D、x-sinx+5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：首先對(duì)f(x)=x+sinx計(jì)算其不定積分：∫f(x)dx=∫(x+sinx)dx=-cosx+C。2、如圖3-2，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-3，一2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[一2，0]，[0，2]上的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x)=∫0xf(t)dt，則下列結(jié)論正確的是().A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分的幾何意義F(一2)=∫02f(t)dt=-∫-20f(t)dt=,可見應(yīng)該選擇(B)。二、計(jì)算題(本題共34題，每題1.0分，共34分。)3、試證明：當(dāng)x＞0時(shí)(x2一1)lnx≥(x一1)2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(x2—1)lnx-(x-1)2，則f(1)=0，又f’(x)=2xlnx—x+2-，f’(1)=0f"(x)=2lnx+1+，f”(1)=2＞0可見，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’"(x)＜0；當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，f"’(x)＞0；因此，有當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，f”(x)≥f”(1)=2＞0又由f’(1)=0及f’(x)是單調(diào)增函數(shù)推知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，f’(x)＞0；因此f(x)＞f(1)=0，即得證：當(dāng)x＞0時(shí)(x2一1)lnx≥(x一1)2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、已知f(u)可導(dǎo)，y=f[In(x+)]，求y’。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)y=xlnx，求f(n)(1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(n)(1)=(-1)n-2(n-2)!知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、已知某函數(shù)的需求函數(shù)為P=成本函數(shù)為C=50+2Q，求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：收益=需求×價(jià)格，故本題中的收益為而利潤(rùn)=收益一成本，故本題中的利潤(rùn)為令導(dǎo)可得F’(Q)=0，可得Q=20當(dāng)Q＜20時(shí)，F(xiàn)’(Q)＞0；當(dāng)Q＞20時(shí)，F(xiàn)’(Q)＜0，可知當(dāng)Q=20時(shí)，利潤(rùn)最大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)某商品的總成本函數(shù)為C(x)=200一x+需求函數(shù)為求(1)邊際收入R’(x)(2)邊際利潤(rùn)L’(x)。(3)收益對(duì)價(jià)格的彈性η。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[一1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，證明：在開區(qū)間(一1，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f"’(ξ)=3。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)有三階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)該考慮泰勒公式，又注意到f’(0)=0，應(yīng)在x=0處展開：當(dāng)x=1時(shí)，1=f(1)=f(0)+當(dāng)x=一1時(shí)，0=f(一1)=f(0)+則兩式相加可得：f"’(η1)+f"’(η2)=6由f"’(x)的連續(xù)性，f"’(η1)+f"’(η2)=6在閉區(qū)間[η1，η2]上有最大值M和最小值m，則有介值定理可得：m≤[f"’(η1)+f"’(η2)]≤M故必在開區(qū)間(一1，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f"’(ξ)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)，求f(x)并討論f(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。標(biāo)準(zhǔn)答案：僅當(dāng)a=2，b=一1時(shí)，f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)a＞0，試確定方程e2x=ax2實(shí)根的個(gè)數(shù)及每個(gè)根所在的區(qū)間。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜a＜e2時(shí)，有且只有一個(gè)負(fù)根。當(dāng)a=e2時(shí)，恰有兩根x1＜0和x2=1當(dāng)a＞e2時(shí)，恰有三個(gè)根x1＜0，0＜x2＜1，x3＞1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于這一類的積分應(yīng)該首先進(jìn)行因式分解，由于本題比較復(fù)雜，不能輕易看出如何分解，故此類型的題目我們可以采用待定系數(shù)法來鎖定因式分解的系數(shù)。令左右同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等，則可得出A=2，B=1，C=0因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、試?yán)脺愇⒎址ń庀旅娓黝}標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤x＜1，于是可令x=sin2t，且故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求下列不定積分(1)∫aretanxdx(2)∫(x2+1)sinxdx(3)(4)∫xexdx標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)∫(x2+1)sinxdx=一∫(x2+1)dcosx=一(x2+1)cosx+∫2xcosxdx=一(1+x2)cosx+∫2xdsinx一(1+x2)cosx+2xsinx一∫sinxd2x=一(1+x2)cosx+2xsinx一2∫sinxdx=一(1+x2)cosx+2xsinπ+2cosx(4)∫xexdx=∫xdex=xex—∫exdx=(x一1)ex+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、分別求下列不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：比較兩端分子中相同次冪的系數(shù)，即可得：解出：A=一1，B=5，C=23。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、分別求下列不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、分別求下列不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)應(yīng)該選擇取次數(shù)的最小公倍數(shù)，即應(yīng)令t=x6，(2)因此可以利用公式“1+tan2t=sec2t”來去掉根號(hào)，即設(shè)x+1-tant知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=求∫f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0時(shí)，∫f(x)dx=x+C1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，∫f(x)fx=∫(x+1)dx=+x+C2，當(dāng)x＞1時(shí)，∫f(x)dx=∫2xdx=x2+C3。根據(jù)原函數(shù)的連續(xù)性，則在點(diǎn)x=0，x=1處均連續(xù)。C1=C2即有：+1+C2=1+C3解得：C1=C2=C3一從而∫f(x)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求不定積分f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=cost，t∈(0，π)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、比較的大小。標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=u+π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求定積分(x2arctanx+cos8x+sin7x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、分別求下列定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求下列定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、試用分部積分法來求下列定積分(1)∫12(x2+1)exdx(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫12(x2+1)exdx=∫12(x2+1)dex=(x2+1)ex|12一∫12ex(2x)dx=(4+1)e2-2e-2∫12xdex=5e2-2e一2xex|12+2∫12exdx=5e2一2e一4e2+2e+2ex|12=3e2一2e(2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)求∫-11f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求定積分∫0tt|t一x|dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0時(shí)，∫01t|t一x|dt=∫01(t一x)dt=當(dāng)0≤x≤1時(shí)，∫01t|t-x|dt=∫0xt(x-t)dt+∫x1t(t-x)dt=當(dāng)x＞1時(shí)，∫01t|t-x|dt=∫01(x一t)dt=綜上所述，∫01t|t-x|=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)=，求積分∫01(x一1)2f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)F(x)=lnf(x)，且F’(1)=1，F(xiàn)’(0)=0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，證明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=∫01(f(x)∫x1f(y))dy)x經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)[∫x1f(y)dy]’=一f(x)，則可設(shè)F(x)=∫x1f(y)dy∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=一∫01dF(x)==知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f’(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)f’(2a—t)dt，證明F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)標(biāo)準(zhǔn)答案：左邊：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt=∫a2af(t)f’(2a-t)f’(2a一t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt對(duì)于上式結(jié)果前半部分有：∫a2af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a一t)=一[f(t)f(2a—t)]|a2a+∫a2af(2a一t)f’(t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt令u=2a一t，則有∫a2af(2a一t)f’(t)dt=一∫a0f(u)f’(2a一u)du=∫0af(u)f’(2a一u)du則左邊=F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫0af(u)f’(2a—u)du—∫0af(t)f’(2a—t)dt=f2(a)-f(0)f(2a)即：F(2a)一2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)≠0，x∈[a，b]，試證：至少存在一個(gè)ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：首先將證明的等式中的ξ換成x。則→g(x)∫abf(x)dx一f(x)∫abg(x)dx=0→F’(x)=g(x)∫abf(x)dx一f(x)∫abg(x)dx→F(x)=∫axg(x)dx∫abf(x)dx一∫axf(x)dx∫abg(x)dx由于F(a)=F(b)=0故必存在一點(diǎn)至少存在一個(gè)ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[a，b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試證明：在(a，b)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：將函數(shù)F(x)=∫axf(t)dt在點(diǎn)處展開為二階泰勒公式，則有：由于f(x)在[a，b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則必存在一點(diǎn)ξ∈(η1，η2)(a，b)使得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[0，1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：當(dāng)x∈[0，1]，有|f(x)|≤∫01(|f(t)|+|f’(t)|)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：由中值定理可知：∫01|f(t)|dt=|f(ξ)|，0≤ξ≤1f(x)一f(ξ)=∫ξxf’(t)dt則：f(x)=f(ξ)+∫ξxf’(t)dt則：|f(x)|≤|f(ξ)|+|∫ξxf(t)dt|≤|f(ξ)|+∫ξx|f’(t)|dt≤|f(ξ)|+∫01|f(t)|dt即：|f(x)|≤∫01[|f(t)|+|f’(t)|]dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f(x)在[0，2]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)=0，記，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在x=1處展開為一階泰勒公式，則f(x)=f(1)+f’(1)(x一1)+f"(ξ)(x一1)2則∫02f(x)dx=f’(1)∫02(x一1)dx+∫02f"(ξ)(x一1)2dx=f"(ξ)(x-1)2dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、試計(jì)算下列反常積分的值標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)位聯(lián)考綜合能力數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）模擬試卷第5套一、單項(xiàng)選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè)f(x)=，則=________A、0B、+∞C、-∞D(zhuǎn)、不存在，但也不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，故?yīng)分左右極限來討論。由于當(dāng)x←∞時(shí)，對(duì)含有a’(a＞0，a≠1)或aretanx或crccotx的函數(shù)極限，一定要對(duì)x→+∞與x→一∞分別求極限，若兩者相等，則x→時(shí)極限存在，否則不存在。2、設(shè)f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=則當(dāng)x→0時(shí)f(x)是g(x)的A、高階無窮小。B、低價(jià)無窮小。C、同階非等價(jià)無窮小。D、等價(jià)無窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由等價(jià)無窮小因子替換及洛必達(dá)法則可得因此選(C).3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、在函數(shù)中當(dāng)x→0時(shí)極限不存在的是A、①B、②C、③D、①②③③④標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、f(x)=xsinxA、在(一∞，+∞)內(nèi)有界B、當(dāng)x→∞時(shí)為無窮大C、在(一∞，+∞)內(nèi)無界D、當(dāng)x→∞時(shí)有極限標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)在x=a連續(xù)，φ(x)在x=a間斷，又f(a)≠0，則()A、φ[f(x)]在x=a處間斷B、f[φ(x)]在x=a處間斷C、[φ(x)]2在x=a處間斷D、在x=a處間斷標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、“f(x)在點(diǎn)a連續(xù)”是f(x)|在點(diǎn)a處連續(xù)的()條件。A、必要非充分B、充分非必要C、充分必要D、既非充分又非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、若當(dāng)x→∞時(shí)，則a，b，c的值一定為A、a=0，b=1，c為任意常數(shù)B、a=0，b=1，c=1C、a≠0，b，c為任煎常數(shù)D、a=1，b=1，c=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x)=則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A、x=1，x=0，x=一1為間斷點(diǎn)B、x=0為可去間斷點(diǎn)C、x=一1為可去間斷點(diǎn)D、x=0為跳躍間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、把當(dāng)x→0+時(shí)的無窮小量α=tanx一x，β=∫0x(1一)dt，γ=一1排列起來，使排在最后的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γB、γ，β，αC、β，α，γD、γ，α，β標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、在無窮大量是A、①②B、③④C、②④D、②標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、極限=()A、1B、0C、一1D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)=其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處有()A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)但不可微E、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，而在一元函數(shù)中，可導(dǎo)即意味著可微。所以本題應(yīng)該選擇E二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、設(shè)K，L，δ為正常數(shù)，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：KδL1-δ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=在x=0連續(xù)，則常數(shù)a與b滿足的關(guān)系是_____