蘇州市昆山市部分學(xué)校2023~2024高二下學(xué)期綜合能力測評數(shù)學(xué)試卷及答案

昆山市部分學(xué)校2023-2024高二下學(xué)期綜合能力測評數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則符合條件的有序集合對的個數(shù)為（）A.81 B.90 C.108 D.1142最接近下列哪個數(shù)字（）A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.233.，，若在其定義域上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4.超市舉辦抽獎活動．箱子里裝有十張參與獎與兩張100元代金券．顧客第一次可使用5積分進(jìn)行一次抽獎，若摸中100元代金券則結(jié)束，若摸中參與獎則可將獎券放回并花費(fèi)2積分再抽一次．若紫阿姨鐵了心也要抽中100元代金券，則她所花費(fèi)積分的數(shù)學(xué)期望為（）A.12 B.15 C.17 D.205.已知復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則符合，記是的反函數(shù)，則（）A. B. C. D.6.叢雨和芳乃玩猜硬幣正反面的游戲，其中一人拋硬幣，另一人猜硬幣正反面，猜中則猜方獲勝，猜不中則對方獲勝，每輪的勝者可獲得對方的一枚硬幣，直到其中一人贏完所有硬幣之后游戲結(jié)束．已知游戲開始時，叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣，則叢雨最后贏得所有硬幣的概率為（）A. B. C. D.7.下列比大小正確的是（）A. B.C. D.8.設(shè)為函數(shù)的定義域，若對于且，都有，我們稱為“不減函數(shù)”．對于映射：，符合條件的不減函數(shù)有（）A.16個 B.18個C.20個 D.22個二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列組合恒等式正確的有（）A. B.C. D.10.對于，若使，則稱是的正因數(shù)，易知也是的正因數(shù)．正因數(shù)只有1與自身的數(shù)叫做素數(shù)，如：2、3、5、7、11……．若對于正整數(shù)與，它們之間最大公因數(shù)為1，則稱與互素．已知一個正整數(shù)可以被唯一分解為一組素數(shù)的乘積：，其中，是兩兩不同的素數(shù)，則下列說法正確的是（）A.從中隨機(jī)取出兩數(shù)，則它們互素的概率是B.360的正因數(shù)個數(shù)為25C.360的所有正因數(shù)之和為D.360的所有正因數(shù)之積為11.設(shè)非常值函數(shù)定義域為，，且對于任意都滿足，則下列說法正確的是（）A.B.奇函數(shù)C.D.若有且僅有一個整數(shù)解，則的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．將符合每小題的答案填寫到空格上．12.隨機(jī)取中的一個元素，則，，，的概率為__________．13.用個種不同顏色扇形拼成一個圓，相鄰的扇形不共色，設(shè)拼法數(shù)為，寫出數(shù)列的一個遞推公式__________．14.“指數(shù)找基友”是高中導(dǎo)數(shù)的重要思想，如和，這揭示了它們導(dǎo)數(shù)之間的奇妙關(guān)系．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)和滿足以下關(guān)系：，，，，則__________，__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．將符合題目的答案填寫在空白處．15.回答下列問題（1）求的個位數(shù)字（2）若隨機(jī)變量，試求最大時的取值（3）證明：是偶數(shù)16.已知，（1）若，試證明：，恒成立（2）若，討論的零點個數(shù)17.對數(shù)均值不等式在各個領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用．（1）討論，的單調(diào)性（2）試證明對數(shù)均值不等式：（3）設(shè)，試證明：18.設(shè)樣本空間，，其中兩兩互相獨立．設(shè)隨機(jī)事件對應(yīng)的結(jié)果值為，隨機(jī)變量和的取值分別為樣本空間和中所發(fā)生事件的結(jié)果值，從而它們的數(shù)學(xué)期望，.（1）證明：，；（2）小明拋一枚奇葩的硬幣，有的概率朝上，的概率朝下，的概率立起來．記朝上為分，朝下為分，立起來是分，設(shè)隨機(jī)變量是小明拋次硬幣所得的分?jǐn)?shù)，求，；（3）若隨機(jī)變量，證明：，.19.已知集合.（1）“算兩次”思想在組合數(shù)學(xué)中有著重要應(yīng)用．例如：對于一個元集合的所有子集個數(shù)，一方面有，另一方面：對于所有子集，每個中的元素有“出現(xiàn)”和“不出現(xiàn)”兩種選擇，由分布計數(shù)原理可得，因此有．令，試用算兩次思想化簡；（2）對于的子集個數(shù)還可以這樣理解：，展開式中每一項都唯一對應(yīng)著的一個子集．令，試化簡；（3）對偶原理也是組合數(shù)學(xué)的重要方法，例如數(shù)學(xué)王子高斯小時候在計算的值時，他把與配對，與配對，從而化變量為常量，大大簡化了計算．這其實就是對偶原理的一種體現(xiàn)．令，其中是中元素從小到大的一個排列，試用對偶原理化簡.昆山市部分學(xué)校2023-2024高二下學(xué)期綜合能力測評數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.A2.C3.B4.B5.B6.B7.D8.C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.BCD10.ACD11.AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.13.14.，四、解答題：本題共5小題，共77分．15.（1）因為，所以當(dāng)時，的個位數(shù)字都是0因為所以的個位數(shù)字為3；（2）設(shè)最大，則因為，所以所以即，所以，解得因為，所以或（3）證明：因為，所以所以是偶數(shù)16.（1）證明：要證明，恒成立，即證明恒成立又即只需要證明當(dāng)時，恒成立，令，則令解得，所以在上單調(diào)遞增令解得，所以在上單調(diào)遞減所以，當(dāng)時，取得極大值，也是在上的最大值即所以，當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，恒成立所以，恒成立（2）當(dāng)時，（i）當(dāng)時，，所以恒成立，即無零點（ii）當(dāng)時恒成立，即在上單調(diào)遞增又，由零點存在性定理可得，在上存在唯一的零點，且零點小于0當(dāng)時，令，即又因此零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了與圖象的交點個數(shù)問題由（1）知，令，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖所示當(dāng)，即時，又，即此時，與圖象沒有交點，所以沒有零點當(dāng)，即時，又，即此時，與圖象有兩個交點，所以有2個正零點綜上所述，當(dāng)時，無零點當(dāng)時，有一個零點當(dāng)時，有兩個零點當(dāng)時，有三個零點17.（1）在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）不妨設(shè)因為設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為：，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故，成立，所以：又因為.由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，故，成立，所以所以：成立（3）根據(jù)，所以,所以，成立.18.（1）根據(jù)兩兩互相獨立，可知且.（2）對，設(shè)小明第次拋硬幣時的得分為，則，，.從而，.而顯然兩兩獨立，故.所以由即知，且（3）對，據(jù)二項式定理有在兩邊同時對求導(dǎo)，得，再在兩邊對同時求導(dǎo)，得.在以上三個等式中令，就得到根據(jù)二項分布的定義有.故.且故，這就得到19.（1）對任意，的包含的子集數(shù)目與集合的全體子集數(shù)目一一對應(yīng)，共有個所以，將展開成若干項的求和后，每個在表達(dá)式中都出現(xiàn)次.這就得到（2）對集合，由于的展開式中，除第一項的外，每一項都唯一對應(yīng)著的一個子集的各個元素的乘積故特別地取，就有，（3）將的子集分為兩類：第一類是不包含元素的子集，第二類是包含元素的子集那么第一類和第二類子集之間可以實現(xiàn)一一對應(yīng)：將任意一個第一類子集