八年級數學人教版（上冊）12.3 第2課時 角平分線的判定

第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質第2課時

角平分線的判定目錄頁講授新課當堂練習課堂小結新課導入新課導入教學目標教學重點學習目標1.理解角平分線判定定理.(難點）2.掌握角平分線判定定理內容的證明方法并應用其解題.（重點）3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.新課導入ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質定理不必再證全等E復習回顧新課導入2.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.講授新課典例精講歸納總結講授新課1角平分線的判定PAOBCDE角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質中的已知和結論，你能得到什么結論，這個新結論正確嗎？角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個結論正確嗎？講授新課已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，∴點P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE證明猜想判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.總結

如圖，要在S區(qū)建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點撥：根據角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據要求取點.例1

如圖，BE＝CF，DF⊥AC于點F，DE⊥AB于

點E，BF和CE相交于點D.求證：AD平分∠BAC.

導引：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個垂直，

即有點到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即可證明結論，證這兩條垂線段相等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成．例2證明：∵DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∠BDE＝∠CDF∠DEB＝∠DFCBE＝CF∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.

又∵DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，∴AD平分∠BAC.練一練如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點P是(

)A．線段CD的中點B．CD與過點O作CD的

垂線的交點C．CD與∠AOB的平分線的交點D．以上均不對C總結證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應用角平分線的定義.(2)定理法：應用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”來判定.判定角平分線時，需要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”.2三角形的內角平分線活動1分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發(fā)現了什么？發(fā)現：三角形的三條角平分線相交于一點活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現了什么？發(fā)現：過交點作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個結論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明結論想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？點P在∠A的平分線上.

結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.這個交點叫作三角形的內心.D

E

F

A

B

C

P

N

M

練一練到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的(

)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條高的交點

D．以上均不對

BMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構造應用答案：12解：連接OCMENABCPOD變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.1、應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2、聯系角平分線性質：距離面積周長條件知識與方法

如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O是內心，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例3方法總結：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內心，再利用三角形內角和定理即可求出∠BOC的度數．角的平分線的性質圖形已知條件結論OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPCOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPC角的平分線的判定歸納總結當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1、在正方形網格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是()A．點MB．點NC．點PD．點QA2、如圖，在△ABC中，分別與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點F，連接AF，則下列結論正確的是(

)A．AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BC

D．以上結論都正確B當堂練習3、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得S△PAB＝S△PCD，則滿足此條件的點P(

)A．有且只有1個B．有且只有2個C．組成∠E的平分線D．組成∠E的平分線所在的直線(E點除外)D當堂練習4、如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.4∶5∶6當堂練習5、如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．證明：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，

∴點D在∠EPF的平分線上．

∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．

同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，

∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

當堂練習6、如圖，點P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分線的交點，求證：AP平分∠BAC.證明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分別為Q，M，N.∵P點在∠CBE和∠BCF的平分線上，

∴PM=PQ，PN=PQ，

∴PM=PN.NQM

又PM⊥AE，PN⊥AF，

∴AP平分∠BAC.當堂練習7、已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分線∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.

在△AOD與△BOD中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，

∴△AOD≌△BOD.

∴∠ADO=∠BDO.

∵CM⊥A