5.1.1分類加法計數(shù)原理5.1.2分步乘法計數(shù)原理課件高二上學期數(shù)學北師大版選擇性

第五章計數(shù)原理1.1分類加法計數(shù)原理1.2分步乘法計數(shù)原理北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

分類加法計數(shù)原理1.內(nèi)容:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=

種方法.(也稱“加法原理”)

2.特點:①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不交;

分類標準明確,做到不重不漏

②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;③把各類的方法數(shù)

,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

m1+m2+…+mn相加

名師點睛1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎樣才算完成這件事;(3)完成這件事可以有哪些辦法.2.獨立性:(1)完成這件事的n類辦法是相互獨立的;(2)每一類辦法中的方法都可以單獨完成這件事,不需要用到其他的方法.3.分類:這是利用分類加法計數(shù)原理解題的關(guān)鍵,分類必須明確標準,(1)每一種方法都必須屬于某一類,不同類的任意兩種方法是不同的;(2)每一類中的任意兩種方法也不相同.思考辨析從甲地到乙地,可以乘飛機,可以乘火車,也可以乘輪船,還可以乘汽車.每天有4個班次的飛機,有5個班次的火車,有3個班次的輪船,有2個班次的汽車.那么,乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地,在一天中共有多少種選擇呢?提示

所有方法可以分成乘飛機、火車、輪船、汽車4類辦法,每類辦法中分別有4,5,3,2種方法.于是,乘坐以上交通工具從甲地到乙地,共有4+5+3+2=14(種)方法.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.(

)×√2.[人教B版教材例題]某班班委由2位女同學、3位男同學組成,現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動,要求至少要有1位女同學參加,則不同的選法共有多少種?解

按照選擇的女同學人數(shù)分為兩種情況,即2位都是女同學和只有1位女同學.2位都是女同學的選法顯然只有1種.只有1位女同學的選法,可以分為兩步完成:先從2位女同學中選出1人,有2種選法;再從3位男同學中選出1人,有3種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有不同的安排方法2×3=6(種).依據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法共有6+1=7(種).3.[人教A版教材習題]一個商店銷售某種型號的電視機,其中本地的產(chǎn)品有4種,外地的產(chǎn)品有7種.要買1臺這種型號的電視機,有多少種不同的選法?解

這件事情是“買1臺某種型號的電視機”,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,選法有4+7=11(種).知識點2

分步乘法計數(shù)=原理1.內(nèi)容:完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么,完成這件事共有N=

種方法(也稱“乘法原理”).

2.特點:①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各個步驟的方法數(shù)

,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

這n個步驟都要完成

m1·m2·…·mn相乘

名師點睛1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要經(jīng)過幾步才能完成這件事.2.相關(guān)性:(1)完成這件事需要分成若干個步驟;(2)只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少任一步驟,這件事都不可能完成.3.分步:這是利用分步乘法計數(shù)原理解題的關(guān)鍵,(1)準確確定分步的標準,一般地,分步的標準不同,分成的步驟數(shù)也會不同;(2)要注意各步驟之間必須連續(xù);(3)各步驟之間既不能重復,也不能遺漏.思考辨析某幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃里有草莓、蘋果、芒果3種水果.李老師的果籃里有蘋果、櫻桃、香蕉、獼猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有多少種?提示

分兩種情況:①小華拿到的水果里沒有蘋果,則在王老師的果籃里有2種選法,在李老師的果籃里有3種選法,共有2×3=6(種)選法;②小華拿到的水果里有蘋果,再分蘋果來自王老師還是李老師的果籃,共有1×3+2×1=5(種)選法,由分類加法計數(shù)原理知,共有6+5=11(種)選法.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成.(

)√√2.一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩個袋子里各取一個球,共有

種不同的取法.

48解析

由分步乘法計數(shù)原理知,共有6×8=48(種)不同的取法.3.[人教A版教材習題]由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復)?解

分3步來解決.由于各位上的數(shù)字可重復,因此三位數(shù)中每一位都有5種取法,所以共可以組成5×5×5=125(個)三位數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一分類加法計數(shù)原理【例1】

個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?解

(方法一)按個位數(shù)字分類,有以下幾類:個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故有7個;同理,個位是7的有6個;個位是6的有5個;……個位是2的有1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).(方法二)按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).規(guī)律方法

分類加法計數(shù)原理的示意圖集合S共有m1+m2+…+mn個元素完成事件S共有m1+m2+…+mn種方法

變式訓練1若a,b均屬于{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解,則有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為(

)A.14 B.13 C.12 D.10B解析

因為a,b均屬于{-1,0,1,2},可分為兩類:①當a=0時,b可能為-1或0或1或2,即b有4種不同的選法;②當a≠0時,依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當a=-1時,b有4種不同的選法;當a=1時,b可能為-1或0或1,即b有3種不同的選法;當a=2時,b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為4+4+3+2=13.探究點二分步乘法計數(shù)原理【例2】

(1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},則xy可表示不同的值的個數(shù)為(

)A.8 B.9 C.10 D.12B解析

x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},從x中選1個值,從y中選1個值,共有3×3=9(種)運算結(jié)果,且沒有相同的運算結(jié)果.★(2)[蘇教版教材習題]3名同學每人從5本不同的電子書中任選1本,共有多少種不同的選法?分析3名同學選電子書,每名同學依次選電子書要分3步進行.每名同學選電子書都有5種不同的選法.解

第一名同學選1本電子書有5種不同的選法,第二、第三名同學各選1本電子書,仍各有5種不同的選法.因此,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,3名同學每人各選1本電子書的不同選法種數(shù)是5×5×5=125.規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理的解題流程

變式訓練2(1)現(xiàn)有3名教師、8名男學生和5名女學生共16人.若需1名教師和1名學生參加評選會議,則不同的選法種數(shù)為(

)A.39 B.24 C.15 D.16A解析

先從3名教師中任選1名,有3種選法,再從13名學生中任選1名,有13種選法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為3×13=39.★(2)給一些書編號,準備用3個字符,其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c(允許重復),則不同編號的書共有(

)A.8本 B.9本C.12本 D.18本D解析

需分三步完成:第一步,首字符有2種編法;第二步,第二個字符有3種編法;第三步,第三個字符有3種編法,故由分步乘法計數(shù)原理知不同編號的書共有2×3×3=18(本).探究點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】

現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解

(1)從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+2+7=14(種)不同的選法.(2)從國畫、油畫、水彩畫各選一幅,分別有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70(種)不同的選法.(3)第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2=10(種)不同的選法;第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35(種)不同的選法;第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14(種)不同的選法.所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.規(guī)律方法

1.在處理具體的應(yīng)用題時,首先必須弄清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么,選擇合理的標準處理事件,關(guān)鍵是看能否獨立完成這件事,避免計數(shù)的重復或遺漏.2.對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.3.明晰兩個原理,進行正確運算,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).變式訓練3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},從A,B中各取1個元素,作為點P(x,y)的坐標.(1)可以得到多少個不同的點?(2)這些點中,位于第一象限的有幾個?解

(1)可分為兩類:A中元素為x,B中元素為y或A中元素為y,B中元素為x,則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.(2)第一象限內(nèi)的點,即x,y均為正數(shù),所以只能取A,B中的正數(shù),共有2×2+2×2=8(個)不同的點.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練18191.[探究點一·2024山東日照月考]某同學從4本不同的科普雜志,3本不同的文摘雜志,2本不同的娛樂新聞雜志中任選1本閱讀,則不同的選法共有(

)A.24種 B.9種

C.3種 D.26種B解析

不同的雜志本數(shù)為4+3+2=9,從中任選1本閱讀,共有9種選法.123456789101112131415161718192.[探究點二]5名同學報名參加兩個課外活動小組,每名同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(

)A.10種

B.20種 C.25種

D.32種D解析

每名同學限報其中的一個小組,各有2種報名方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的報名方法共有25=32(種).123456789101112131415161718193.[探究點三]如果一條直線與一個平面平行,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(

)A.60 B.48 C.36 D.24B解析

長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6=36(個),另外含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2=12(個),所以共有36+12=48(個).123456789101112131415161718194.[探究點二·蘇教版教材習題]若4名學生報名參加數(shù)學、計算機、航模興趣小組,每人選報1項,則不同的報名方式有(

)A.34種

B.43種C.3×2×1種

D.4×3×2種A123456789101112131415161718195.[探究點一]已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},則能使logab>1的對數(shù)值有

個.

9解析

分四類,當a=2時,b取3,5,7,9四種情況;當a=4時,b取5,7,9三種情況;當a=6時,b取7,9兩種情況;當a=8時,b取9一種情況,所以總共有4+3+2+1=10種,又因為log23=log49,所以對數(shù)值有9個.123456789101112131415161718196.[探究點三]用0到9這十個數(shù)字,可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為

.

328解析

若個位數(shù)字為0,則前兩位的排法種數(shù)為9×8=72;若個位數(shù)字不為0,則確定個位數(shù)字有4種方法,確定百位數(shù)字有8種方法,確定十位數(shù)字有8種方法,所以排法種數(shù)為4×8×8=256.所以可以組成256+72=328(個)沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).123456789101112131415161718197.[探究點一]如圖所示,在A,B間有四個焊接點,若焊接點脫落,則可能導致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A,B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有

種.

13解析

按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類:第1類,脫落1個,有1,4,共2種;第2類,脫落2個,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6種;第3類,脫落3個,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種;第4類,脫落4個,有(1,2,3,4),共1種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2+6+4+1=13(種)焊接點脫落的情況.123456789101112131415161718198.[探究點三]有一項活動,需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.(1)若只需1人參加,則有多少種不同的選法?(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加,則有多少種不同的選法?解

(1)選1人,可分3類:第1類,從教師中選1人,有3種不同的選法;第2類,從男同學中選1人,有8種不同的選法;第3類,從女同學中選1人,有5種不同的選法.共有3+8+5=16(種)不同的選法.(2)選教師、男同學、女同學各1人,分3步進行:第1步,選教師,有3種不同的選法;第2步,選男同學,有8種不同的選法;第3步,選女同學,有5種不同的選法.共有3×8×5=120(種)不同的選法.123456789101112131415161718199.[探究點三]已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,組成數(shù)對(m,n),問:(1)有多少個不同的數(shù)對?(2)其中m>n的數(shù)對有多少個?解

(1)從集合A中先選出m有5種方法,從集合B中再選出n有5種方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有5×5=25(個)不同的數(shù)對.(2)在(1)中的25個數(shù)對中,m>n的數(shù)對可以分類來解,當m=2時,n=1,有1種結(jié)果;當m=4時,n=1,3,有2種結(jié)果;當m=6時,n=1,3,5,有3種結(jié)果;當m=8時,n=1,3,5,7,有4種結(jié)果;當m=10時,n=1,3,5,7,9,有5種結(jié)果.綜上所述,共有1+2+3+4+5=15(個)滿足條件的數(shù)對.1234567891011121314151617181910.某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分,如圖所示.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,則不同的栽種方法有(

)A.80種

B.120種

C.160種 D.240種

BB級關(guān)鍵能力提升練12345678910111213141516171819解析

第一步,對1號區(qū)域,栽種有4種選擇;第二步,對2號區(qū)域,栽種有3種選擇;第三步,對3號區(qū)域,栽種有2種選擇;第四步,對5號區(qū)域,栽種分為三種情況,①5號與2號栽種相同,則4號栽種僅有1種選擇,6號栽種有2種選擇,②5號與3號栽種相同,情況同上,③5號與2,3號栽種都不同,則4,6號只有1種.綜上所述,不同的栽種方法有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120(種).故選B.1234567891011121314151617181911.某單位有4位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是0,1,2,5,為遵守所在城市1月15日至18日4天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),四人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車(車牌尾數(shù)為2)最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)是(

)A.4 B.12 C.16 D.24B12345678910111213141516171819解析

15日至18日,有2天奇數(shù)日和2天偶數(shù)日,車牌尾數(shù)中有2個奇數(shù)和2個偶數(shù).第一步安排奇數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有22=4(種).第二步安排偶數(shù)日出行,分兩類:第一類,先選1天安排甲的車,另外一天安排其他車,有2種;第二類,不安排甲的車,只有1種選擇,共計1+2=3(種).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的用車方案種數(shù)共有4×3=12.1234567891011121314151617181912.(多選題)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},則方程

可表示不同的橢圓的個數(shù)用式子表示為(

)A.3+3+3 B.3+3+2C.3×3-1 D.3×3BC1234567891011121314151617181913.(多選題)某校實行選課走班制度,張毅同學選擇的是地理、生物學、思想政治這三科,且其所選的生物學課在B層上,該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示,張毅選擇三個科目的課各上1節(jié),另外1節(jié)上自習,則下列說法正確的是(

)第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學A層3班地理2班化學A層4班生物學A層1班化學B層2班生物學B層2班歷史B層1班物理A層1班生物學A層3班物理A層2班生物學A層4班物理B層2班生物學B層1班物理B層1班物理A層4班思想政治1班物理A層3班思想政治2班思想政治3班A.該同學有4種選課方式 B.該同學有5種選課方式C.自習不可能安排在第2節(jié) D.自習可安排在4節(jié)課中的任1節(jié)BD12345678910111213141516171819解析

由于生物學在B層,只有第2,3節(jié)有,故分兩類:若生物學選第2節(jié),則地理可選第1節(jié)或第3節(jié),有2種選法,其他兩節(jié)思想政治、自習任意選,故有2×2=4(種)(此種情況自習可安排在第1,3,4節(jié)中的某節(jié));若生物學選第3節(jié),則地理只能選第1節(jié),思想政治只能選第4節(jié),自習只能選第2節(jié),故有1種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得選課方式有4+1=5(種).綜上,自習可安排在4節(jié)課中的任1節(jié).故選BD.1234567891011121314151617181914.(多選題)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù).如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小,則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.組成的三位數(shù)的個數(shù)為60B.在組成的三位數(shù)中,偶數(shù)的個數(shù)為30C.在組成的三位數(shù)中,“凹數(shù)”的個數(shù)為20D.在組成的三位數(shù)中,“凹數(shù)”的個數(shù)為30BC解析

對于A,因為百位上的數(shù)字不能為零,所以組成的三位數(shù)的個數(shù)為4×4×3=48,故A錯誤;對于B,將所有三位數(shù)中的偶數(shù)分為兩類,①個位為0,則有4×3=12(種),②個位為2或4,則有2×3×3=18(種),所以在組成的三位數(shù)中,偶數(shù)的個數(shù)為12+18=30,故B正確;對于C,D,將這些“凹數(shù)”分為三類,①十位為0,則有4×3=12(種),②十位為1,則有3×2=6(種),③十位為2,則有2×1=2(種),所以在組成的三位數(shù)中,“凹數(shù)”的個數(shù)為12+6+2=20(種),故C正確,D錯誤.故選BC.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181915.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個:11,22,33,…,99,3位回文數(shù)有90個:101,111,121,…,191,202,…,999.則(1)5位回文數(shù)有

個;

(2)2n(n∈N+)位回文數(shù)有

個.

9009×10n-1

解析

(1)5位回文數(shù)相當于填5個方格,首尾相同,且不為0,共9種填法,第2位和第4位一樣,有10種填法,中間一位有10種填法,共有9×10×10=900(種)填法,即5位回文數(shù)有900個.(2)根據(jù)回文數(shù)的定義,結(jié)合分步乘法計數(shù)原理,知有9×10n-1個回文數(shù).1234567891011121314151617181916.如圖所示的電路,若合上兩只開關(guān)以接通從A到B的電路,則有

種不同的接通電路的方法.

13解析

由A到B的通電線路接通方法可分為三類:第一類,上路接通,有2×1=2(種)方法;第二類,中路接通,有1×7=7(種)方法;第三類,下路接通,有2×2=4(種)方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2+7+4=13(種)不同的方法.1234567891011121314151617181917.已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的兩個非空子集,則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對{A,B}的個數(shù)為多少?解

根據(jù)題意,分4種情況討論:當A中的最大數(shù)為1,即A={1}時,B={2},{3},{4},{5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}