經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)量分析方法期末試題-2012(參考答案)

“經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)量分析方法”期末試題（2013.1.16）答案1、（20分）一個(gè)生產(chǎn)者，以r的價(jià)格租賃機(jī)器K，以w的工資雇傭勞動(dòng)L，生產(chǎn)產(chǎn)出Q，其中。（1）給定產(chǎn)量為Q時(shí)，求其成本最小化的條件要素需求。即求解最優(yōu)化問題（2）計(jì)算條件要素需求的價(jià)格效應(yīng)矩陣。（3）證明其拉格朗日乘子為：，說明拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)含義。解：（1）拉格朗日函數(shù)L為L則拉格朗日條件為r-w--可解得K=L=λ=則成本最小化的條件要素需求為K=w2Q（2）條件要素需求的價(jià)格效應(yīng)矩陣為?K（3）由（1）知拉格朗日乘子λ=2wrQw+r，把為K=w2C則?C(Q)?Q=2wrQw+r=λ，拉格朗日乘子表示的是“邊際成本”：當(dāng)產(chǎn)量增加1單位時(shí)，最優(yōu)成本增加了λ單位。λ2、（10分）對(duì)于單一產(chǎn)出的生產(chǎn)技術(shù)，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是。證明：生產(chǎn)集是凸集的充分必要條件是生產(chǎn)函數(shù)是凹函數(shù)。（注：與習(xí)題五第4題相類似）解：（1）充分性：對(duì)任意的x1,y1,(x2,yf[λ即[λx1+（2）必要性：對(duì)任意的x1,x2∈Enλ即有f[λ則生產(chǎn)函數(shù)fx是凹函數(shù)。3.（20分）分別用圖解法和庫恩-塔克條件求解下面不等式約束最優(yōu)化問題：（P）解：規(guī)劃（P）等價(jià)于(（1）庫恩塔克條件法：令φ其中u1(KT)若u1=0，則由(1)和(2)有x1=x2-1，代入(3)，則有2x2-12+1≤0，此不可能，故u1>0,g1x=1-x1-12-x22=0；同理，可證得u2>0則根據(jù)(KT)解得(P)的最優(yōu)解和廣義拉格朗日乘子為x（2）圖解法：4、（20分）求解下列優(yōu)化問題：（1）maxy解：（1）令Ft,y'F則有y其中C1y同理，C2為待定常數(shù)。由y0=1y又由yT-又由水平終結(jié)線的橫截性條件有[F-[即C1=12T，代入(1)，可解得即最優(yōu)路徑為y（2）maxu（2）令漢密爾頓函數(shù)H由最大值原理有?Hyλλ由(1)可得u=λ，代入(2)可得λ由(3)可得y由(6)可得y把(6)和(7)代入(5)，可得二階微分方程λ由r2-2=0解得λ=其中C1,Cλ則由(6)有y由y02C可解得CC則最優(yōu)路徑為y5、（30分）假定某經(jīng)濟(jì)的資本積累方程為：，其中總量生產(chǎn)函數(shù)是新古典的，表示總資本存量，表示總?cè)丝冢硎炯夹g(shù)進(jìn)步。假定人口增長率和技術(shù)進(jìn)步率是外生給定的。試將上述總量形式的資本積累方程改寫成按有效勞動(dòng)平均的人均項(xiàng)的形式（即用和描述的資本積累方程）；（2）假定具有無限壽命的代表性消費(fèi)者的即期效用函數(shù)為。假定時(shí)間偏好因子。試將上述問題寫成代表性消費(fèi)者所面臨的跨期最優(yōu)化問題；（3）考慮（2）中的優(yōu)化問題，試推導(dǎo)出和的運(yùn)動(dòng)方程，并解釋消費(fèi)行為和資本積累行為的穩(wěn)態(tài)和轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)特征。（注：可參考蔣中一《動(dòng)態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)》9.3，pp.308）解：（1）由F(K,AL)是新古典的，令F(K,AL)k即資本積累方程的有效勞動(dòng)平均的人均項(xiàng)形式為k社會(huì)的總即期效用為Uc0令L0maxs.t.k現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)為H由最大值原理有?km由(1