二次函數(shù)的動點問題(含答案)

二次函數(shù)與四邊形

一.二次函數(shù)與四邊形的形狀

例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線yx22x3與x軸交A、B兩點(A點在B點

左側)，直線I與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.

(1)求A、B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；

(2)P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平

行線交拋物線于E點:，求線段PE長度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F,使A、C、F、G這樣的四個

點為頂點的四邊形是平行四邊形如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.

7

練習1.(河南省實驗區(qū))23.如圖，對稱軸為直線X—的拋物線經(jīng)過點

A(6,0)和B(0,4).入2

I

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；\:/

(2)設點后(*,y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是B(0,4)；/

以OA為對角線的平行四邊形.求平行四邊形OEAF的面積S與X之間的函數(shù)關系\/

式，并寫出自變量x的取值范圍；—《二_-------------?

O/A(6,0)X

①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱A1/

形V/

i

②是否存在點E,使平行四邊形OEAF為正方形若存在，求出點E的坐標；若不存

在，請說明理由.

練習2.(四川省德陽市)25.如圖，已知與X軸交于點A(1,0)和B(5,0)的拋物線h的頂點為

C(3,4),拋物線I2與h關于x軸對稱，頂點為C.

(1)求拋物線|2的函數(shù)關系式；

(2)已知原點O,定點D(0,4),I2上的點P與卜上的點P始終關于x軸對稱，則當點P運動到

何處時，以點D,0,P,P為頂點的四邊形是平行四邊形

(3)在I2上是否存在點M,使△ABM是以AB為斜邊且一個角為30°的直角三角形若存，求

出點M的坐標；若不存在，說明理由.

練習3.（山西卷）如圖，已知拋物線Ci與坐標軸的交點依次是

A（40），B（2,0）,E（0,8）.

（1）求拋物線Cl關于原點對稱的拋物線C2的解析式；

（2）設拋物線G的頂點為M,拋物線C2與X軸分別交于

C,D兩點（點C在點D的左側），頂點為N,四邊形MDNA的

面積為S.若點A，點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分

別向右、向左運動；與此同時，點M,點N同時以每秒2個單位

的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為

止.求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫

出自變量t的取值范圍；

（3）當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出

此最大值;

（4）在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由.

二.二次函數(shù)與四邊形的面積

例1.（資陽市）25.如圖10,已知拋物線P：y=ax+bx+c（a￥0）與x軸交于A、B兩點（點A在x

軸的正半軸上）,與y軸交于點C,矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、

AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下:

X-3-212

,55

y-40

22

(1)求A、&C三點的坐標;

口若點D的坐標為(m,0),矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關

系，并指出m的取值范圍；

6)當矩形DEF@勺面積S取最大值時，連接DF并延長至點M使FM=kQF,

若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍.

練習1.(遼寧省十二市第26題).如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH點H的坐標為

(-8,0),點N的坐標為(-6,-4).

(1)畫出直角梯形OMN繞點。旋轉180°的圖形OABC并寫出頂點A,B,C的坐標(點M的對

應點為A,點N的對應點為B,點H的對應點為C)；

(2)求出過A,B,C三點的拋物線的表達式；

(3)截取CE=OF=AGm且E,F,G分別在線段COOAAB上，求四邊膨_BEFG勺面積S與m之

間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值若存在，請求出這個最小值；

若不存在，請說明理由；

(4)在(3)的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，

并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由.Av

練習3.(吉林課改卷)如圖，正方形ABCD的邊長為2cm,在對稱中心O處有一,釘子.動

M(-8?0)

點P,Q同時從點A出發(fā)，點P沿ABC方向以每秒2cm的，

速度運動，到點C停止，點Q沿AD方向以每秒1cm的速度運動，到\

-4

點D停止.P,Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯(lián)結，設x秒后橡皮筋掃過的

面積為ycm2.

(1)當0<xW1時，求y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)當橡皮筋剛好觸及釘子時，求X值；

(3)當1wX<2時，求y與X之間的函數(shù)關系式，并寫出橡皮筋從觸及

釘子到運動停止時ZPOQ的變化范圍；

(4)當0WxW2時，請在給出的直角坐標系中畫出y與x之間的函數(shù)圖

O12x

象.

練習4.(四川資陽卷)如圖，已知拋物線I,：y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線I

?上的動點(B不與A、C重合)，拋物線I?與I,關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCWJ

第四個頂點為D.

(1)求12的解析式;

(2)求證：點D一定在I2上;

(3)DABCDi自否為矩形如果能為矩形,求這些矩形公共部分的面積(若

只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積；如果不能為矩形，請說明理

由.注：計算結果不取近似值

三.二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究

例1.(荊門市)28.如圖1,在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC已知Q0,0),A(4,0),

Q0,3),點P是OA邊上的動點(與點QA不重合).現(xiàn)將△PABfflPB翻折，得到△PDB再在OC邊

上選取適當?shù)狞cE,將aPOB仆PE翻折，得到△PFE并使直線PDPF重合.

0設P(x,0),E(0,y),求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值；

H如圖2,若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關系式；

6在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q,使^PEQ是以PE為直角邊的直角三角形若不存

在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標.

fyfy8

pAX

圖1

第26邈困

例2.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,其中點B在x軸的正半

軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OBOQW長（O&OO是方程x2—10x+16=0的兩個根，且拋

物線的對稱軸是直線x=-2.

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求此拋物線的表達式；

（3）連接ACBC若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EWAC交

BC于點F,連接CE,設AE的長為m,Z\CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量

m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E

的坐標，判斷此時^BCE的形狀；若不存在，請說明理由.

例3..（湖南省郴州）如圖，矩形ABCD3AB=3,BG=4,將矩形ABCD&對角線A平移，平移后

的矩形為EFGHA、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重時停止移動.平移中EF與BC交

于點N.GH與BC的延長線交于點M,EH與DC交于點P,FG與DC的延長線交于點Q.設S表示矩形

PCMIffl面積，S表示矩形NFQQ勺面積.

（1）S與S相等嗎請說明理由.

（2）設AE=x,寫出S和x之間的函數(shù)關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少

（3）如圖11,連結BE,當AE為何值時，ABE是等腰三角形.

練習1.如圖12,四邊形OABCJ直角梯形，A（4,0),B(3,4),C(0,4).點M從O出

發(fā)以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從B同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向C運動.其

中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.過點N作NP垂直X軸于點P,連結AC交NP

于Q連結MQ

(1)點（填M或N）能到達終點;

（2）求△AQM9面積S與運動時間t的函數(shù)關系式，并寫出自

變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大;

(3)是否存在點M使得△AQMa直角三角形若存在，求出點M的坐標，

若不存在，說明理由.

練習2..(江西省)25.實驗與探究

(1)在圖1,2,3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標(如圖所示)，寫出圖1,

2,3中的頂點C的坐標，它們分別是(5,2),

(2)在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標(如圖所示)，求出頂點C的

坐標(C點坐標用含a.b,c,d,e,f的代數(shù)式表示)；

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過對圖1,2,3,4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處

于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如圖4)時，

則四個頂點的橫坐標a,c,m,e之間的等量關系為；縱坐標b,d,n,f之間的等量關

系為(不必證明)；

運用與推廣

215clQ

(4)在同一直角坐標系中有拋物線yx(5c3)xc和三個點G—c,-c，S'G±C，

2222

H(2c,0)(其中c0).問當c為何值時，該拋物線上存在點P,使得以G,S,H,P為頂點的四

邊形是平行四邊形并求出所有符合條件的P點坐標.

答案:

二次函數(shù)與四邊形的形狀

例1.解：(1)令y=0,解得X11或X23二A(-1,0)B(3,0)；

2

將C點的橫坐標x=2代入yx2x3得y=-3,AC(2,-3)直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1

(2)設P點的橫坐標為x(-1WxW2)則P、E的坐標分別為:P(X,-X-1),

222

E((x,x2x3)P點在E點的上方，PE=(x1)(x2x3)XX2

19

???當x—時，PE的最大值=—

24

(3)存在4個這樣的點F,分別是Fi(1,0),F2(3,0),F3(4V710),F4(4x/7.0)

I,可設解析式為,

練習1.解：(1)由拋物線的對稱軸是x

27

yX

2

ya(xk.把A、B兩點坐標代入上式,得

7

^2

a\z6/k

20,2B(0,4)

25

7解之，得a_卜

azo^2k,3

\2F

2725725

故拋物線解析式為y_(xL)2----頂點為(一，一).A(6,0)X

32626

(2)?.?點E(x,y)在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合

2

7225

y一(x~)—

326

???yv0,即一y>0,—y表示點E到OA的距離.丁OA是YOEAF的對角線，

???S2S21OAy6y4(7)225.

VOAE-I-

因為拋物線與X軸的兩個交點是(1,0)的(6,0),所以，自變量X的

取值范圍是1<X<6.

7,

①根據(jù)題意，當S=24時，即4(X-)25

21

化簡，得xA解之,得\叫4.

24

故所求的點E有兩個，分別為E,(3,-4),E2(4,-4).

點Ei(3,-4)滿足OE=AE,所以YOEAF是菱形；

點E?(4,-4)不滿足OE=AE,所以YOEAF不是菱形.

②當OALEF,且OA=EF時，丫OEAF是正方形，此時點E的

坐標只能是(3,-3).

而坐標為(3,-3)的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E,

使YOEAF為正方形.

2

練習2.解：(1)由題意知點C的坐標為(3,4).設|2的函數(shù)關系式為ya(x3)4.

2

又Q點A(1,0)在拋物線ya(x3)4上，(13『a40,解得a1.

拋物線I2的函數(shù)關系式為y(x3)24(或yx26x5).

(2)QP與P始終關于x軸對稱，PP與y軸平行.

設點P的橫坐標為m,則其縱坐標為m26m5,QOD4,21m26m目4,即

m26m52.當m26m52時，解得m3G.當m26m52時，解得

m3后.當點P運動到(3芯,2)或(3芯,2)或(3金,2)或(3品,2)時，

PP^OD，以點D,0,P,P為頂點的四邊形是平行四邊形.

(3)滿足條件的點M不存在.理由如下：若存在滿足條件的點M在卜上，則

AMB90°-QBAM30°(或ABM30°)

BM-AB-42.

22

過點M作MEAB于點E,可得BMEBAM30°.

EB-BM—21,EMOE4.

22

的坐標為(4,6).

點M

3G

但是，當X4時，y4264516245

不存在這樣的點M構成滿足條件的直角三角形.

練習3」解］(1)點A(4,0),點8(2,0),點E(0,8)關于原點的對稱點分別為D(4,0),C(2,0),

F(0,8).設拋物線C2的解析式是

16a4bc0，a1

2

yaxbxc(a0),則4a2bc0,解得b6,

c8.c8

所以所求拋物線的解析式是yx26x8.

(2)由(1)可計算得點M(3,1)N(3,1).

過點N作NHAD,垂足為H.

當運動到時刻t時，AD2OD82t，NH12t.

根據(jù)中心對稱的性質OAOD,OMON,所以四邊形MDNA

是平行四邊形.

所以S2SAADN所以，四邊形MDNA的面積

2

S(82t)(12t)4t14t8.因為運動至點A與點D重合為止，據(jù)題意可知0Wt4.

所以，所求關系式是S4t214t8,t的取值范圍是OWt4.

78"!

(3)S4t一一，(0Wt4).

44

7

所以t一時，s有最大值一?

44

提示：也可用頂點坐標公式來求.

(4)在運動過程中四邊形MDNA能形成矩形.

由(2)知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD,MN,所以當ADMN時四邊形MDNA

是矩形.

所以ODON.所以OD2ON2OH2NH2.

所以t24t220.解之得ti丘2,t2五2(舍).

所以在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時t五2.

［點評］本題以二次函數(shù)為背景，結合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，

能力要求較高。

二.二次函數(shù)與四邊形的面積

例1.解：(1)解法一：設yaxbxc(a0),

2

任取x,y的三組值代入，求出解析式y(tǒng)=lx2+x-4,

2

令y=0,求出Xi=-4,X2=2；令x=0,得y=-4,

???A、B、C三點的坐標分別是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4)...............................

解法二：由拋物線P過點(1，-2),(-3,一:)可知，

22

拋物線P的對稱軸方程為x=-1,

又,:拋物線P過(2,0)、(-2,-4),則由拋物線的對稱性可知，

點A、B、C的坐標分別為A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).

(2)由題意，”=巴，而AO=2OC=4AD=2-m故DG=4-2m...........................

AOOC

opEF

又__________EF=DG得BE=4-2mDE=3m,

BOOC

2

SDEFG=DGDE=(4-2m)3m=12m-6m(0<rr<2).

注：也可通過解Rt^BOC及Rt^AOC或依據(jù)△BO提等腰直角三角形建立關系求解.

(3),.-SDEFG=12m-6n<0<m<2),二m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6.

當矩形面積最大時，其頂點為D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0),

oo22

設直線DF的解析式為y=kx+b,易知，k=f,b=-_,Ay=_x-

3333

又可求得拋物線P的解析式為：y=-x2+x-4,

2

人2212161

令_x-_=_x+x-4,可求出X—!~221.設射線DF與拋物線P相交于點N,

3323

則N的橫坐標為上*1,過N作x軸的垂線交x軸于H,有

3

_2_-1->/67

FNHE3_5+

DF-DE=39

點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是

丘-5+叵且k>0

9

說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分.

若選擇另一問題:

(2)V_==，而AD=1,A0=2,0C=4,則DG=2,

AOOC

CP

又丁二=—,Tff]AB=6CP=2OC=4則FG=3

ABOC

S(JEFG=DGFG=6.

練習1.解?：利用中心對稱性質，畫出梯形0ABe..........................................................1分

?:A,B,C三點與M,N,H分別關于點。中心對稱，

A(0,4),B(6,4),C(8,0).................................................................3分

(寫錯一個點的坐標扣1分)

(2)設過A,B,C三點的拋物線關系式為

?.?拋物線過點A(0,4),

則拋物線關系式為

...............................................4分

將B(6,4),C(8,0)兩點坐標代入關系式，得

5AB,

垂足為G則sinZFEG=sinZCAB=分

解得...........................................................................................6

分

所求拋物線關系式為:7分

(3)V0A=4,0G8?/.AF^4—m0&8-m...............................8分

0A(AB-00

AFAG

OE-OF

CE-OA

(0<

<4)10分

當

時，S的取最小值.

又???ovm<4,?,?不存在m值，使S的取得最小值.............12分

(4)當時，GB=GF,當

時，B&BG14分

練習3.［解］(1)當0WxW1時，AP2x，AQx.y-AQgAPx2.

2

即yx2.

(2)當S1S時，橡皮筋剛好觸及釘子，

四邊形ABPQ2

正方形ABCD

1I4

BP2x2,AQx,-2x2x2-22,x

223

4

(3)當1WxW一時，AB2,

3

PB2x2,AQx,

AQ_BEx_Zx_-93x2

ygAABD乙JX乙

22

即y3x2.

作OE，AB,E為垂足.

4

當WxW2時，BP2x2,AQx,OE1,

3

ySS-~~——-1-_-13x,

梯形BEOP梯形OEAQ

222

即y3

X.

2

90°WNPOQW180?；?80。WNPOQW270°3

(4)如圖所示:

練習4」解］⑴設12的解析式為y=ax2+bx+c(a^O),

???3與x軸的交點為A(-2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,-4),12與|】關于*軸對稱,

二Iz過A卜2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,4),

4a2bc0,

4a2bc0,

c4.

?**a=-1,b=0,C=4,即I2的解析式為y=-x+4.

(還可利用頂點式、對稱性關系等方法解答)

22

0設點B(m,n)為I，：y=x-4上任意一點，則n=m-4(*).

四邊形ABC比平行四邊形，點A、C關于原點O對稱，

二B,D關于原點O對稱，

...點D的坐標為D(-m,-n).

由(*)式可知，-n=-(吊-4)=-(-9?+4,

即點D的坐標滿足y=-x；4,

.?.點D在I2上.

9口ABC眥為矩形.

過點B作BH1X軸于H,由點B在11：y=x-4上，可設點B的坐標為(Xo,Xo-4),

2

則OH|xo|,BH=|X0-4|.

易知，當且僅當BQAQ2時，OABC/j矩形.

2

在RtZXOBH中，由勾股定理得，|x°|+|x：4|

22

(Xo-4)(Xo-3)=0,Xo=i2(舍去)、Xo=±y§.

所以，當點B坐標為,-1)或B'(r/5,-1)時，C1ABCD為矩形，此時,

點D的坐標分別是1)、D'(、四，1).

因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCBH矩形ABCD.

設直線AB與y軸交于E,顯然，△AO&5AAHB

.EO=BH.EO1

"AO-AH,"v

:.EQ4-2場.

由該圖形的對稱性知矩形ABC函矩形ABCD重合部分是菱形，其面積為

1

S=2SAC=2X1XACXEO=2X_X4X(4-2^3)=16-8p

三.二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究

例1.解：(1)由已知PB平分NAPDPE平分NOPF且PDPF重合，則NBP&900.AZOPB-

ZAPB900.又NAPBl-ZABB9O0,AZOPEZPBA

???RtAPOE-RtABPA

.POBAx314

————.即nn一一.y=-x(4x)-x2-x(0<x<4).

OEAPy4x333

且當x=2時，y有最大值

3

期由已知，△PAB、均為等腰三角形，可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).

1

a3

C1,2

?3

設過此三點的拋物線為y=ax2+bx+c,則abc0,??b

16a4bc3..

c1.

22

9由(2)知NEPB9(r,即點Q與點B重合時滿足條件.

直線PB為y=x-1,與y軸交于點（0,-

1）.將PB向上平移2個單位則過

點E（o,1）,

...該直線為y=x+l.

yx1,x5

由y"1得y6.'95,6”

22

故該拋物線上存在兩點Q（4,3）、（5,6）滿足條件.

例2.解：（1）解方程x2—10x+16=0得x1=2,x2=81分

?.?點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且。氏0c

.?.點B的坐標為（2,0）,點C的坐標為（0,8）

又：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-2

,由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（一6,0）4分

（2）?點C（0,8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上

二C=8,將A（-6,0）、B（2,0）代入表達式，得

解得

，所求拋物線的表達式為y=x2

x+87分

(3)依題意，AE=m,則BE=8-m,

V0A=6,0G=8.AG=10

?；EF〃AC△BEF^ABAC

即

EF=

FG

=8

-m

/.S=SABCE-SABFE=(8-m)X8-

(8-m(8-nD

8m)(88+m)

8m)m

m2+4m10分

自變量m的取值范圍是0<m<811分

(4)存在.

理由???Sm2+4m=—

(m—4)2+8且一

<0,

.??當m=4時，S有最大值，S最大值=812分

.?.點E的坐標為（一2,0）

BCE為等腰三角形.14分

（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）

例3解：（1）相等

理由是：因為四邊形ABCDEFG展矩形，

所以SEGHSEGF，SECNSECp,SCQQSCGM

所以EQHCGMQ即：

SSecpSSegfSecnSCG,SS

(2)AB=3.BG=4,AG=5.設AE=x,則EC=5—X,pc2(5x),MC-x,

55

所以SPCgMC_X(5x)，即Sl￡x2_x(0x5)

25255

配方得：s—(x-)23,所以當x2時，

2522

S有最大值3

(3)當AE=AB=3或AE=BE=§或AE=時，ABE是等腰三角形

2

練習1.解：(1)點M1分(2)經(jīng)過t秒時，NBt,OM2t

則CN3t.AM42tBCA=MAQ=450/.QNCN3tPQ1t

2

???SAAMQLAMgPQ1(42t)(1t)

t2t2ASt2t29

2224

Y0WtW2當t1時，S的值最大.

2

(3)存在.設經(jīng)過t秒時，N&t,OM2t貝iJCN3t,AM42t，BCA=MAQ=45°

①若AQM90°,則PQ是等腰RtAMQA底邊MA上的高

111

PQ是底邊MA的中線PQAP-MA:.1t-(42t)At-

222

.??點M的坐標為（1,0）

②若QMA90°,此時與QP重合QMQPMA:.1t42tAt1

...點M的坐標為（2,0）

練習2.解：(1)(ec,d)，(cea,d).

（2）分別過點A,B,C,D作x軸的垂線，垂足分別為Ai,Bi,G,Di,

分別過A,D作AEBB1于E,DFCCi于點F.

y

在平行四邊形ABCD中，CDBA,又Q