2022屆安徽省安慶一中江淮十校高三下學(xué)期第三次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

安徽省江淮十校2022屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，，則實數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足記（i為虛數(shù)單位），則（

）A．2 B． C． D．3．某學(xué)校對高三年級800名學(xué)生進行系統(tǒng)抽樣編號分別為001，002，…，800，若樣本相鄰的兩個編號為028，068，則樣本中編號最大的為(

)A．778 B．780 C．782 D．7884．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．5．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．6．已知，，則(

)A． B． C． D．7．在梯形ABCD中，且，點P在邊BC上，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．8．直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．29．已知M為雙曲線的左頂點，過原點O的直線分別交雙曲線左支、右支于A，B兩點（異于實軸端點），則直線MA，MB的斜率之積為（

）A． B． C． D．10．一道單選題，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位學(xué)生分別選擇了、、、選項．他們的自述如下，甲：“我沒選對”；乙：“甲選對了”；丙：“我沒選對”；?。骸耙疫x對了”，其中有且僅有一位同學(xué)說了真話，則選對正確答案的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．已知等差數(shù)列的首項，且，正項等比數(shù)列的首項，且，若數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的最大項的值為（

）A． B．1 C． D．212．已知正方體，的中點為M，過，D、M的平面把正方體分成兩部分，則較小部分與較大部分的體積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______．15．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積等于______．16．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相鄰的三個交點依次為A，B，C，則的面積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17．已知函數(shù)的最小正周期為6．(1)已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若，，求的值；(2)若，求數(shù)列的前2022項和．18．第24屆冬季奧林匹克運動會（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕．2022年北京冬季奧運會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目，延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目，張家口賽區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項目．為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某中學(xué)進行了一次抽樣調(diào)查，統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表．了解不了解合計男生60200女生110200合計(1)完成列聯(lián)表，并判斷有超過多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，按照性別采用分層抽樣的方法、從樣本中不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取5人，再從這5人中抽取2人進行面對面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828附：．19．矩形ATCD中，，，B為TC的中點，沿AB翻折，使得點T到達點P的位置．連結(jié)PD，得到如圖所示的四棱錐，M為PD的中點．(1)求線段CM的長度；(2)若平面平面ABCD，求三棱錐的體積．20．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．21．在直角坐標系中，已知點，點，的周長為，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過的直線交曲線于兩點（不與軸重合），是否存在軸上的定點滿足？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．(1)求曲線C的普通方程；(2)若直線l與曲線C交于M，N兩點，求線段MN的長．23．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)已知，，且，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：1．C【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)求實數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.【詳解】因為集合化簡可得又，，所以或，故實數(shù)a的取值集合為，故選：C.2．C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求得及其共軛復(fù)數(shù)，再求結(jié)果即可.【詳解】因為，故可得，則，，故.故選：C.3．D【解析】【分析】根據(jù)樣本中兩個相鄰編號求出組距和分組數(shù)，再根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法即可求出樣本編號最大的一個．【詳解】∵樣本相鄰的兩個編號為028和068，故組距為68－28＝40，由800÷40＝20知樣本容量為20，系統(tǒng)抽樣時分為20組：001－040，041－080，…，760－800，∵從第1組抽出的數(shù)據(jù)為028，∴從第20組抽出的數(shù)據(jù)為760＋28＝788．故選：D．4．B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得，根據(jù)奇偶性定義可得為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可排除C；由時，可排除AD，由此可得結(jié)果.【詳解】，定義域為，，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，可排除C；當(dāng)時，，，，可排除AD.故選：B.5．A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：，，，所以，故選：A.6．C【解析】【分析】根據(jù)正切差角公式求出tanα，再根據(jù)α范圍求出α及sinα即可．【詳解】∵，故，故．故選：C．7．A【解析】【分析】延長、交于點，根據(jù)三點共線的推論得到，再根據(jù)梯形上下底的比例關(guān)系，即可得到，代入即可得解；【詳解】解：延長、交于點，則、、三點共線，于是可得，因為且，所以，所以，故；故選：A8．B【解析】【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.9．C【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合兩點斜率公式求直線MA，MB的斜率之積可得.【詳解】因為M為雙曲線的左頂點，所以的坐標為，設(shè)，由雙曲線的對稱性可得，且，設(shè)直線MA，MB的斜率為，則，所以直線MA，MB的斜率之積為，故選：C.10．C【解析】【分析】對四人分別選對進行分類討論，結(jié)合題意進行合情推理，可得出合適的選項.【詳解】若甲選對了，則甲、丁說了假話，乙、丙說了真話，不合乎題意；若乙選對了，則甲、丙、丁說了真話，乙說了假話，不合乎題意；若丙選對了，則甲說了真話，乙、丙、丁都說了假話，合乎題意；若丁選對了，則甲、丙說了真話，乙、丁說了假話，不合乎題意.故選：C.11．C【解析】【分析】先求出，的得到，再求出，從而得出，然后分析出數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公比為，由，則即，故，則則設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，則所以，解得，則，設(shè)，則當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即所以最大.故選：C12．B【解析】【分析】先由面面平行的性質(zhì)定理確定截面的位置，再用錐體體積公式求較小部分的體積，由此可得兩部分的比值.【詳解】設(shè)平面與平面的交線為，則直線過點，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，連接，為的中點，則，故直線與重合，即過，D、M的截面為四邊形，連接，較小部分的幾何體可分為三棱錐和四棱錐,設(shè)三棱錐和四棱錐,的高分別為，設(shè)正方體的邊長為,三棱錐的體積，四棱錐的體積，所以較小部分的體積為，即，所以較大部分的體積為，所以較小部分與較大部分的體積之比為，故選：B.13．5【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可得解.【詳解】解：如圖所示，畫出可行域，聯(lián)立，解得，即，由，得，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為5．故答案為：5.14．【解析】【分析】根據(jù)切點在曲線上及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再結(jié)合直線的點斜式即可求解.【詳解】因為，所以，即切點，，所以，所以在點處的切線的斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15．##【解析】【分析】根據(jù)三視圖畫出直觀圖，然后可求出各個面的面積，從而可求出其表面積【詳解】根據(jù)三視圖可知，該直三棱柱的直觀圖如圖所示其中，則，所以該“塹堵”的表面積為，故答案為：16．【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象性質(zhì)求出三角形的底與高即可求解面積．【詳解】作出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，取中點，連接，則由得即，則所以的縱坐標為，的縱坐標為，故所以的面積為故答案為：17．(1)2；(2).【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡為標準型，結(jié)合最小正周期求得解析式，再結(jié)合已知條件求得，利用正弦定理即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用并項求和法求解即可.(1)，因為的最小正周期為6，故可得，，解得，故，因為，，故可得，又，則，；因為，故可得，又，則或，或，因為，則，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，舍去；由正弦定理可得：.(2)根據(jù)（1）中所求可得：，故.即數(shù)列的前2022項和.18．(1)表格見解析；有超過的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；(2)【解析】【分析】（1）完善2×2列聯(lián)表，根據(jù)的計算可得出關(guān)于n的等式，即可求得正整數(shù)n的值，結(jié)合臨界值，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，以及古典概型的概率公式，即可求解．(1)求列聯(lián)表可得:了解不了解合計男生14060200女生11090200合計250150400根據(jù)所給數(shù)據(jù)得故有超過的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；(2)由于在“不了解冬季奧運會項目”的學(xué)生中，按男女比例為2:3，所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，設(shè)“男、女生各抽到一名”的事件為，則19．(1)(2)【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，證得且，得到四邊形為平行四邊形，得出，在直角中，求得的長，即可得到線段的長度；（2）取的中點，可知平面，再將問題轉(zhuǎn)化為可求解.(1)取的中點，連接、，在中，因為分別為的中點，所以，且，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，在直角中，因為，所以，所以線段的長度為.(2)取的中點，連接，則，又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面，則，則，又，所以，則，故.20．(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)極值點的性質(zhì)列方程求，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可證明.(1)由已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，所以，又是函數(shù)的極值點，所以，故，所以，所以，設(shè)，，又，所以，所以在上為減函數(shù)，而，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，(2)設(shè)，函數(shù)的定義域為，函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以21．(1)(2)存在定點滿足【解析】【分析】（1）由周長可確定點軌跡為橢圓，由此可確定，進而得到軌跡方程；（2）假設(shè)存在定點，由可知；設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，用韋達定理表示出，整理可得定點.(1)，，，又的周長為，，則點軌跡即為以為焦點，長軸長為的橢圓（不包含與軸交點），，，，曲線的方程為：.(2)假設(shè)軸上存在定點滿足，，，又，，；設(shè)，，，由得：，，，即，，即；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：定點滿足.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系；④消去變量可求得定點.22．(1)曲線C的普通方程為；(2)線段MN的長等于.【解析】【分析】(1)根據(jù)極坐標方程與直角坐標方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可，(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義可求.(1)因為曲線C的極坐標方程為所以，又，所以，化簡可得，(2)設(shè)，因為直線l