1.2.1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式（2知識(shí)點(diǎn)5題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

1.2.1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義;（2）能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題。（1）掌握等差數(shù)列的概念，會(huì)證明某數(shù)列是等差數(shù)列;（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)求某等差數(shù)列通項(xiàng)公式.（難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，記為d.代數(shù)形式：an-解析(1)公差是每一項(xiàng)減前一項(xiàng)，常數(shù)指的是與n無關(guān)；(2)公差d∈R，當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)d(3))an-aan+1-aan+1-【即學(xué)即練1】以下數(shù)列是等差數(shù)列的.(1)2,,4,8,16；(2)1,3,5,7,9；(3)數(shù)列an滿足a知識(shí)點(diǎn)02等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則an解析(1)證明若等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為由等差數(shù)列的定義可得，an+1所以a2把以上n-1項(xiàng)等式累加可得an當(dāng)n=1時(shí)，上式為a1=a故an等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差數(shù)列的定義證明，以上證明方法為累加法.(2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中共含有四個(gè)變數(shù)，即a1，【即學(xué)即練2】已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=4，公差d=-2，則通項(xiàng)公式anA．4-2n B．2n-4C．6-2nD．2n-6【題型一：等差數(shù)列的判定與證明】例1．已知數(shù)列an滿足：a1=1，a(1)證明：an+1-a(2)設(shè)bn=an+k變式11．下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（

）A．a(chǎn)n=3n+1 B．a(chǎn)n=3n變式12．若數(shù)列an是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（A．a(chǎn)n B．C．pan+q（p,q為常數(shù)）變式13．已知數(shù)列an滿足a1=(1)證明數(shù)列1an-1(2)若數(shù)列bn滿足，bn=an-1a【方法技巧與總結(jié)】1證明某數(shù)列是等差數(shù)列，可利用定義法：an-an-1=d2由遞推公式證明等差數(shù)列，若直接對(duì)遞推公式進(jìn)行變形有時(shí)候有些難度，而直接去求an-3判斷某數(shù)列是等差數(shù)列，若是選擇題，可采取取前三項(xiàng)檢驗(yàn)是否可能為等差數(shù)列來排除選項(xiàng).【題型二：利用等差數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式】例2．已知數(shù)列an中，a1=1且an+1=A．18 B．17 C．16變式21．在數(shù)列an中，an>0,a1A．12 B．23 C．24變式22．已知數(shù)列an中，a1=1，a2=2，aA．3 B．113 C．213 D變式23．已知數(shù)列an滿足a1=13，aA．121 B．112 C．12 D變式24．在數(shù)列an中，a1=1,a2=1A．18 B．24 C．30 D．36【方法技巧與總結(jié)】要對(duì)常見的遞推公式較為熟練，方能辨識(shí)出等差數(shù)列；往往是對(duì)遞推公式通過作差、作商等方式進(jìn)行變形，得到an【題型三：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算】例3．已知{an}為等差數(shù)列，a2+a3A．56 B．58 C．59 D．62變式31．設(shè)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（

A．1 B．2 C．4 D．8變式32．若an是正項(xiàng)無窮的等差數(shù)列，且a3+a9=6，則A．1，2 B．0，35 C變式33．在等差數(shù)列an中，p，q∈N*，且p≠q，若ap=q2A．-p+q B．-12p+q C．【方法技巧與總結(jié)】1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，說明a2等差數(shù)列的基本量計(jì)算，可采取列方程組的方法，若學(xué)了等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，則有時(shí)候會(huì)簡便些.【題型四：實(shí)際問題中的等差數(shù)列】例4．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題；現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則自上而下的第1節(jié)的容積為.變式41．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當(dāng)日日影長為10.5尺，立夏當(dāng)日日影長為4.5尺，則春分當(dāng)日日影長為（

）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．7.5尺變式42．我國古代數(shù)學(xué)著作(九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，新本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箱，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一段截下一尺，重四斤：在細(xì)的一端截下一尺，重二斤，問依次每一尺各重幾斤？“根據(jù)已知條件，若金蕃由粗到細(xì)是均勻變化的，中間三尺的重量為()A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤變式43．我國古代數(shù)學(xué)家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)，當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛的應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2022這2022個(gè)數(shù)中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

A．17 B．18 C．19 D．20【方法技巧與總結(jié)】實(shí)際問題中，要先理解題意，提取出“等差數(shù)列”的信息，把其化為等差數(shù)列的基本量問題進(jìn)行求解.【題型五：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用】例5．已知公差不為0的等差數(shù)列an滿足am+an=2a4A．6 B．16 C．32 D．變式51．如果a1,aA．a(chǎn)1a8C．a(chǎn)1+a變式52．在等差數(shù)列an中，a1=-11,?a5=-3A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)變式53．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)之積為Tn，滿足an+2Tn=1A．10111012 B．10111013 C．40474049變式54．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a(1)求數(shù)列{a(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足；bn=(an【方法技巧與總結(jié)】利用題中的已知條件把等差數(shù)列的基本量求出，把問題轉(zhuǎn)化為其他的問題，根據(jù)具體的要求進(jìn)行求解.一、單選題1．已知數(shù)列2an+1為等差數(shù)列，且a1=1,A．20212023 B．-20212023 C．20192.在等差數(shù)列{an}中，a5=1，a8+aA．1 B．2 C．3 D．43.已知等差數(shù)列an各項(xiàng)均為正整數(shù)，a11=a1+aA．0 B．1 C．2 D．44.已知數(shù)列an滿足an+1+anA．18 B．19 C．20 D．215.若數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式an+1=2anaA．11012 B．22023 C．110116.已知等差數(shù)列an的公差為π2，若集合S=sinanA．22 B．-12 C．17.在等差數(shù)列an中，a3能被3整除，a4能被7整除，則下列各項(xiàng)一定能被21A．a(chǎn)16 B．a(chǎn)17 C．a(chǎn)188.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=97-3nn∈N*，那么當(dāng)數(shù)列anA．30 B．31 C．32 D．33二、多選題9．若正項(xiàng)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=5A．當(dāng)a3=7時(shí)，a7=15 BC．當(dāng)a7為整數(shù)時(shí)，a7的最大值為29 D．a(chǎn)10.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn=-A．a(chǎn)n是遞減數(shù)列 B．a(chǎn)C．當(dāng)n>4時(shí)，an<0 D．當(dāng)n=3或4時(shí)，11.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在an中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列A．a(chǎn)n=8n-6B．當(dāng)k=3C．當(dāng)k=3時(shí)，b29不是數(shù)列an中的項(xiàng)D．若b9是數(shù)列an三、填空題12.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種質(zhì)量單位）．這個(gè)問題中，戊所得為錢．13.把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到數(shù)列an，則（1）a33=；（2）若an14.設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的n∈N+,an,Sn,an2成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T四、解答題15．已知等差數(shù)列an中，a3=4(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)-56和-40是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由．16.已知數(shù)列an滿足a(1)求證：1an-2是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列17.如圖，點(diǎn)Aii∈N*均在x軸的正半軸上，△OA1B1，△A1A(1)求第n個(gè)等邊三角形的邊長an(2)求數(shù)列1an?