八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第五章第02講 分式的乘除法(6類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第02講分式的乘除法(6類熱點(diǎn)題型講練)1.掌握分式的乘除運(yùn)算法則；2.能夠進(jìn)行分子、分母為多項(xiàng)式的分式乘除法運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)01分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．知識(shí)點(diǎn)02分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．知識(shí)點(diǎn)03分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．題型01分式的乘法運(yùn)算【例題】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了分式的乘法運(yùn)算，熟練進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵；先分解因式，再分子，分母進(jìn)行約分即可；【詳解】解：【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東威?！ぞ拍昙?jí)校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式化簡(jiǎn)運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用分式的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘法，掌握分式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．題型02分式的除法運(yùn)算【例題】（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了分式的除法，先將除法化為乘法，再計(jì)算乘法得到結(jié)果，熟練掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，（1）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；（2）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型03分式乘除混合運(yùn)算【例題】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了分式乘除法運(yùn)算，熟練掌握分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)平方差公式和分式乘除法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算以及分式乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算；（2）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，正確分解因式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．題型04分式的乘方運(yùn)算【例題】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方法則和積的乘方法則先算乘方，然后再算乘法即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘法運(yùn)算，掌握冪的乘方，積的乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；

（2）﹣a﹣1．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算分式的乘方，冪的乘方，再算分式的乘除，最后化為最簡(jiǎn)分式；（2）先通分，利用公式展開，再合并同類項(xiàng)．【詳解】解：（1）===；（2）====．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運(yùn)算，掌握分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的除法；（3）根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的乘法．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的乘方運(yùn)算法則和分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型05含乘方的分式乘除混合運(yùn)算【例題】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】先計(jì)算乘方運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運(yùn)算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，將除法化為乘法，最后約分即可得出答案．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算乘方，同時(shí)將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（2）先計(jì)算乘方，將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計(jì)算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計(jì)算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點(diǎn)睛】此題考查分式的計(jì)算，掌握分式的乘方計(jì)算法則，乘除法計(jì)算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型06分式乘除混合運(yùn)算中化簡(jiǎn)求值【例題】（2023秋·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】將除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）化簡(jiǎn)并求值：，其中．【答案】，9【分析】先對(duì)各分式進(jìn)行因式分解，然后將除法變?yōu)槌朔?，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式乘除法的運(yùn)算法則．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先利用分式的除法法則將原式變形，再利用分式的乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后把的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法、除法法則和求值．能正確根據(jù)分式的乘除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式乘方運(yùn)算，根據(jù)分式性質(zhì)結(jié)合乘方法則進(jìn)行運(yùn)算，即可作答．【詳解】解：依題意，，故選：D．2．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)約分化簡(jiǎn)即可判定A、D，根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算判定C，根據(jù)分式除法法則計(jì)算判定C．【詳解】解：A．原式，故此選項(xiàng)不符合題意；B．原式，故此選項(xiàng)符合題意；C．原式，故此選項(xiàng)不符合題意；D．原式，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題詞考查分式化簡(jiǎn)和分式乘除法，熟練掌握分式化簡(jiǎn)與分式乘除法法則是解題的關(guān)鍵．3．（2024上·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了分式的乘除運(yùn)算．根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算，即可求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4．（2022上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）公園普通景觀燈天耗電千瓦．改用節(jié)能景觀燈后，同樣千瓦的電量可多用天．普通景觀燈每天的耗電量是節(jié)能景觀燈每天耗電量的（

）倍．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求得普通景觀燈每天的耗電量與節(jié)能景觀燈每天耗電量，即可求解．【詳解】解：∵公園普通景觀燈天耗電千瓦∴普通景觀燈每天的耗電量為，∵改用節(jié)能景觀燈后，同樣千瓦的電量可多用天∴節(jié)能景觀燈每天耗電量為，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，關(guān)于甲、乙、丙的說(shuō)法，下列判斷正確的是（

）甲：的計(jì)算結(jié)果為；乙：當(dāng)時(shí)，；丙：當(dāng)時(shí)，的值為正數(shù)A．乙錯(cuò)，丙對(duì) B．甲和乙都對(duì) C．甲對(duì)，丙錯(cuò) D．甲錯(cuò)，丙對(duì)【答案】C【分析】此題考查了分式的乘除運(yùn)算，分式的求值，首先將分式化簡(jiǎn)即可判定甲，然后將代入求解即可判斷乙，然后根據(jù)x的范圍即可判定A的正負(fù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則．【詳解】，故甲對(duì)；當(dāng)時(shí)，，故分式無(wú)意義，故乙錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，∴，故丙錯(cuò)．故選：C．二、填空題6．（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】/18x/【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式乘方和分式乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先算乘方，然后再算乘法．【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)，時(shí)，.【答案】【分析】先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的乘除，然后代值計(jì)算即得答案.【詳解】解：；當(dāng)，時(shí)，原式；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘方和乘除運(yùn)算，熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.8．（2021上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一箱蘋果售價(jià)p元，總重m千克，箱重n千克；每千克梨元，那么每千克蘋果的售價(jià)是梨的倍．【答案】【分析】根據(jù)題意用蘋果的單價(jià)除以梨的單價(jià)，而蘋果的單價(jià)等于蘋果的總價(jià)除以總重與箱重的差，由此列式計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．9．（2022上·上海松江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們定義一種新運(yùn)算：記，如果設(shè)為代數(shù)式，則（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)可得，據(jù)此把變形求解即可．【詳解】∵，∴可變形為：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及分式的乘除混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．10．（2023下·山西太原·八年級(jí)山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行，這種運(yùn)算的過(guò)程如下：

則第4次運(yùn)算的結(jié)果．【答案】【分析】根據(jù)題干中的程序圖分別計(jì)算出，，，找到規(guī)律，可以得到．【詳解】解：，，，觀察上式可得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律-數(shù)字的變化類，分式的運(yùn)算，根據(jù)程序圖計(jì)算找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算．（1）先把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行計(jì)算，約分，即可求解；（2）先把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行約分即可求解；（3）先把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行約分即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．12．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算：分式的乘除混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．13．（2023上·湖北黃石·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解，分式的化簡(jiǎn)，其中準(zhǔn)確使用法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘方，再把除法變乘法，最后用乘法進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）先把除法變乘法，第一個(gè)式子和第二個(gè)式子先因式分解，再約分即可；（3）先把除法變乘法，第一個(gè)式子和第三個(gè)式子先因式分解，再約分即可．（4）先把除法變乘法，第一個(gè)式子和第二個(gè)式子先因式分解，再約分即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．14．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在解答題目“已知，求的值”時(shí)，小明誤將看成了，但算出的結(jié)果仍然正確，你能解釋原因嗎？【答案】見解析【分析】根據(jù)分式的除法法則，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，即可．【詳解】解：．因?yàn)樵浇Y(jié)果是常數(shù)2，與x的值無(wú)關(guān)，所以小明誤將看成了，其結(jié)