數(shù)學(xué)-湖南省金太陽2025屆高三年級8月入學(xué)考試（下標(biāo)HUN）試題和答案

湖南省高三年級入學(xué)考試數(shù)學(xué)參考答案1.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的模,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由兒十2i=y十1—兒i(兒,y∈R),得兒=y十1且2=—兒,解得兒=—2,y=—3,則|兒2十yi|=|4—3i|=\16十9=5.2.D【解析】本題考查三角函數(shù)的周期,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因為w>0,所以T=≥3π,解得0<w≤3.A【解析】本題考查集合的交集,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為A={y|y=(兒十1)2—1}=[—1,十∞),B={兒|—5<兒<2},所以A∩B=[—1,2).4.C【解析】本題考查雙曲線的離心率與平面向量,考查直觀想象的核心素養(yǎng).依題意可得,所以=5.因為與同向,所以5.B【解析】本題考查等比數(shù)列,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為兩個等比數(shù)列{an},{bn}的公比相等,且a1十b1=1,a3十b3=—2(a2十b2),所以數(shù)列{an十bn}是首項為1,公比為—2的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an十bn}的前7項和為=43.6.D【解析】本題考查正態(tài)分布,考查應(yīng)用意識以及邏輯推理的核心素養(yǎng).依題可知,兒-=3.2,s2=1.44,所以Y~N(3.2,1.22),故P(Y>2)=P(Y>3.2—1.2)=P(Y<3.2十1.2)≈0.8413.因為X~N(2.8,1.22),所以P(X<4)=P(X<2.8十1.2)≈0.8413,所以P(X<4)=P(Y>2),P(X<4)十P(Y>2)≈1.6826>1.68.7.A【解析】本題考查兩角和與差的正切公式,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).所以tan(α—β)=3,故tan2α=tan[(α十β)十(α—β)]=1—73=—.8.D【解析】本題考查直線與半橢圓的位置關(guān)系,考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由兒得兒,即十,所以C為橢圓十的右半部分.當(dāng)m=0時,直線l:兒=0與C有兩個公共點;當(dāng)m≠0時,直線l:y=兒十3,令=k,將y=k兒十3代入十=1,得兒2十18k兒十15=0,【高三數(shù)學(xué)●參考答案第1頁(共8頁)】●HUN 則△=(18k)2—60(3k2十4)>0,得k2>,則m2<.由圖可知<0,所以m∈(—\,09.ACD【解析】本題考查統(tǒng)計,考查數(shù)據(jù)處理能力.該部門一年中請假天數(shù)為0的人數(shù)為3063443=10,A正確.該部門一年中請假天數(shù)大于5的人數(shù)為4十4十3=11,B錯誤.因為30×40%=12,且請假天數(shù)為0的人數(shù)為10,請假天數(shù)為4的人數(shù)為6,所以這30名員工一年中請假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4,C正確.這30名員工一年中請假天數(shù)的平均數(shù)為×(4×6十5×3十6×4十7×4十8×3)=<4,D正確.10.ABD【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).因為f(兒)的定義域為(—∞,—1)U(1,十∞),且f(—兒)=—兒十=—f(兒),所以f(兒)為奇函數(shù),A正確.f(兒)在(—∞,—1)和(1,十∞)上均為增函數(shù),當(dāng)兒∈(—∞,—1)時,f(兒)<0,當(dāng)兒∈(1,十∞)時,f(兒)>0,所以f(兒)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),B正確.當(dāng)兒∈(—∞,—1)U(1,十∞)時,f’(兒)=1十2<2,則曲線y=f(兒)的切線的斜率小于2,C錯誤.設(shè)曲線y=f(兒)上任意一點為,則y=兒—則2—1==22—1兒11.BC【解析】本題考查空間幾何體的新概念、體積、線面角以及外接球的表面積,考查空間想象能力與直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為圓錐PO的底面直徑與線長度分別為2,4,所以圓錐PO的母線長為4,高為\=\,則圓錐PO的體積為π×12A1 π,A錯誤.設(shè)圓錐PO內(nèi)切球的半徑為r,則,解得r=所以圓錐PO內(nèi)切球的線長度為2rA1 CDCDAD1MAD1MBBCC1NM1EFNM1EFB1=2\515,C正確.因為AB=2,A1B1=4,所以AC=2\<A1C1=4\<6,所以AC1=6.過A,C作A1C1的垂線,垂足分別為E,F,則EF=AC=2\2,A1E=FC1=4\22\2=\2,所以EC1=3\2,則AE=\62—(3\2)2=3\.AA1與底面A1B1C1D1所成的角為上AA1E,且tan上A=3,B正確.設(shè)正四棱臺ABCD-A1B1C1D1外接球的半徑為R,球心【高三數(shù)學(xué)●參考答案第2頁(共8頁)】●HUN為N,設(shè)正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心分別為M,M1,則MM1=AE=3\2,且N在MM1上.設(shè)NM1=h,由NA1=NA,得h2十(2\2)2=(3\—h)2十(\2)2,解得h=\2,則正四棱臺ABCD-A1B1C1D1外接球的表面積為4π×(h2十8)=40π,D錯誤.12.100【解析】本題考查對數(shù)的運算,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為lgy=1,所以y=10,又lg兒5=5lg兒=y=10,所以lg兒=2,則兒=102=100. 13.6\2π【解析】本題考查圓的方程,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).由(兒2十y2—1)2—8(兒2十y2)十15=0,得(兒2十y2—1)2—8(兒2十y2—1)十7=0,即[(兒2十y2—1)—1][(兒2十y2—1)—7]=0,即兒2十y2=2或兒2十y2=8,所以曲線C表示兩個同心圓,且這兩個圓的半徑分別為\2,2\2,所以曲線C的周長為2π×(\2十2\2)=6\2π.14.【解析】本題考查排列組合的實際應(yīng)用,考查應(yīng)用意識與分類討論的數(shù)學(xué)思想.甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的情況分為三種:第一種,這3人都在第二排,共有AA種不同的安排方法;第二種,這3人中1人在第一排,2人在第二排,共有CAA=3AA種不同的安排方法;第三種,這3人中2人在第一排,1人在第二排,若第二排的這1人安排在中間的位置,則有CCAA=4AA種不同的安排方法,若第二排的這1人不安排在中間的位置,則有C(C—2)AA=8AA種不同的安排方法.故甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的概率為1十34十8AA=6=.15.【解析】本題考查直線與拋物線、基本不等式的綜合,考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).解:(1)因為A(6,m十2),B(24,m十8)是拋物線C:y2=2p兒(p>1)上的兩點,((m十2)2=12p,所以〈………………………1分!(m十8)2=48p,則(())=4,整理得m2=16,解得m=士4.……………3分當(dāng)m=—4時,12p=(m十2)2=4,解得p=<1,不合題意;…………4分當(dāng)m=4時,12p=(m十2)2=36,解得p=3>1.…………5分故C的準(zhǔn)線方程為兒=—.………………6分(2)由(1)知C的焦點為,0),…………7分2=0.……8分設(shè)P(兒1,y1),Q(兒2,y2),則兒1十兒2=3k6,……………9分所以|PQ|=兒1十兒2十p=3k6十3=6十,…………11分【高三數(shù)學(xué)●參考答案第3頁(共8頁)】●HUN所以|PQ|十k2=6十十k2≥6十2\,…………………12分當(dāng)且僅當(dāng)=k2,即k2=\時,等號成立,所以|PQ|十k2的最小值為6十2\.……………………13分評分細(xì)則:【1】第(1)問中,C的準(zhǔn)線方程還可以寫為2兒十3=0,第(2)問中,未寫取等條件扣1分.【2】第(2)問中,也可以用弦長公式|PQ|=\求得|PQ|=6十不扣分.16.【解析】本題考查立體幾何與空間向量的綜合,考查空間想象能力與數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).(1)證明:連接A1C交AC1于點E,………1分則E為A1C的中點.………………………2分連接DE.因為D為A1B1的中點,所以DEⅡB1C,………3分又DEG平面AC1D,B1C丈平面AC1D,所以B1CⅡ平面AC1D.……………………5分(2)解:取AB的中點O,連接CO,DO.A1 A1因為AC=BC=6,AB=10,所以CO丄AB,且CO=\62—52=\11.…………7分→A以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC的方向為兒軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系→A則O(0,0,0),D(0,0,5),C(\11,0,0),A(0,—5,0),……8分B1EODB1EOyByC\→→所以AD=(0,5,5),AC=(\11,5,0).→→設(shè)平面ACD的法向量為m=(兒,y,z),則……………10分令兒=5,得m=(5,—\11,\11).………11分→易知平面A1AD的一個法向量為n=OC=(\11,0,0).………………→.……………13分由圖可知,二面角C-AD-A1為鈍角,所以二面角C-AD-A1的余弦值為…………15分評分細(xì)則:【1】第(1)問還可以先證明平面B1OCⅡ平面AC1D,再證明B1CⅡ平面AC1D,閱卷時,請按照步驟給分.【高三數(shù)學(xué)●參考答案第4頁(共8頁)】●HUN【2】第(2)問中,兩個平面的法向量均不唯一,只要與對應(yīng)法向量共線即可.【3】第(2)問還可以用這樣的方法求解:取AB的中點O,連接CO,DO.依題意可得四邊形AODA1為正方形.…6分因為AC=BC=6,AB=10,所以CO丄AB,………………7分 且CO=\62—52=\11.…………………8分在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1丄底面ABC,則AA1丄CO.…………9分因為AB∩AA1=A,所以CO丄平面ABB1A1.…………10分A1取AD的中點F,連接OF,CF,則OF丄AD.………………11分A1易證AD丄CF,………………12分所以上OFC為二面角C-AD-A1的補角.…13分A因為,所以CF=\,cos上OFC=,…………………14分DCB1B 所以二面角C-AD-A1的余弦值為—57.…………15分17.【解析】本題考查解三角形與平面向量,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).解:(1)因為b十c=3,b2十c2=5,所以(b十c)2=b2十c2十2bc=5十2bc=9,所以bc=2.…………………1分因為D為BC的中點,所以A—=(A—十A),…………2分則2,即|(c2十2bccosA十b2)……………4分=1,則AD=||=1.…………5分(2)因為sinAcosC=\19,sin(A—C)=sinAcosC—cosAsinC=,……………6分所以cosAsinC=,……………………7分則sinB=sin=sinAcosC十cosAsinC=,………………8分則,………………9分2=b,得a2—c2=b2.又b2十c2=5,所以a2=5—b2.…………10分因為1<b<\,所以\<c<2,所以b<c,則B<C,B為銳角,…11分【高三數(shù)學(xué)●參考答案第5頁(共8頁)】●HUN………12分整理得(5b2—23)(b2—2)=0,解得b2=2或b2=,……14分所以cosB=,…………整理得(5b2—23)(b2—2)=0,解得b2=2或b2=,……14分 又1<b<\,所以b=\2.………………15分評分細(xì)則:【1】第(1)問中,得到“bc=2”后,還可以這樣解答: 由余弦定理得a=\b2十c2—2bccosA=\6.……………2分因為b十c=3,bc=2,所以b=1,c=2或b=2,c=1.……3分不妨假設(shè)b=1,c=2,則AD2=22十(\)2—2×2×\×(\62)22—12=1,則AD=1.……………………5分理的核心素養(yǎng).解:不妨設(shè)提出的問題的3個選項依次為1,2,3,且設(shè)正確選項為1,人作答時能排除的選項為3,記Ci為人第一次答題時選擇的是第i個選項,Di為機(jī)器第一次答題時選擇的是第i(i=1,2,3)個選項,記E=測試者重復(fù)提問,F=測試者誤判,G=機(jī)器改變選項.(1)1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問的概率為P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=×十×十×=.……………6分(2)當(dāng)機(jī)器重復(fù)回答問題改變選項時,測試者誤判的情況有三種:①若第一次答題時人和機(jī)器都選擇1,則當(dāng)重復(fù)提問時,人選擇2,機(jī)器選擇2或3,且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人,則P(C1D1FG)=××××=;………9分②若第一次答題時人和機(jī)器都選擇2,則當(dāng)重復(fù)提問時,機(jī)器和人都選擇1且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人,或人選擇2且機(jī)器選擇1,或人選擇2,機(jī)器選擇3且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人,則P(C2D2FG)=××××十×十×××=;……12分③若第一次答題時人選擇2,機(jī)器選擇3,則當(dāng)重復(fù)提問時,人和機(jī)器都選擇1且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人,或人選擇2,機(jī)器選擇1,或人選擇2,機(jī)器選擇2且測試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人,則P(C2D3FG)=××××十×十×××=…………15分【高三數(shù)學(xué)●參考答案第6頁(共8頁)】●HUN所以P(F|EG)=P(C1D1FG十2()G十C2D3FG)=……………17分評分細(xì)則:【1】未寫“不妨設(shè)提出的問題的3個選項依次為1,2,3,且設(shè)正確選項為1,人作答時能排除的選項為3,記Ci為人第一次答題時選擇的是第i個選項,Di為機(jī)器第一次答題時選擇的是第i個選項,記E=測試者重復(fù)提問,F=測試者誤判,G=機(jī)器改變選項”,但是每一問的步驟都正確,不扣分.第(1)問中,“P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=×十×十×=”寫為“P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=××3=”,不扣分.(1)由題意可知,第一次提問時人回答正確的概率為,機(jī)器回答正確的概率為,…2分設(shè)“1位測試者在圖靈測試中不需要重復(fù)提問”為事件A,……………6分(2)設(shè)“第一次提問機(jī)器和人均回答正確,測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項”為事件B,“第一次提問機(jī)器和人均回答錯誤,測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項”為事件C,“測試者誤判”為事件D,“測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項”為事件E,B與C互斥,且E=B十C.P(BD)=××××=,………9分P(CD)=(1—×(1—××××十×十××=,……12分P(E)=[1—P(A)]×(1—=,……………………15分則P(D|E)==P(BDP)十(EP)(CD)==,所以在測試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項的前提下,測試者誤判的概率為…………17分的核心素養(yǎng).12232331122323313112=163×(29)十2×(43)=18.……………………2分22—3322—33(2)f(兒)=兒十兒十【高三數(shù)學(xué)●參考答案第7頁(共8頁)】●HUN—2兒十4.…………3分當(dāng)兒或兒>1時,f/>。;當(dāng)—<兒<1時,f/<。.………4分所以在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù),所以f(兒)的極大值點為極小值點為1