2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)育英中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)育英中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（單選，本題共10小題，共30分）1．（3分）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行且另一組對邊相等 C．兩組鄰邊相等 D．對角線互相垂直3．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）若以下列長度的三條線段為邊，可以組成直角三角形的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．6，8，105．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，則∠D的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．140°6．（3分）如圖所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD長度為單位1，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，測量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)M、N，測量得MN＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．BO＝DO B．∠BAD＝∠BCD C．CD＝AB D．AC＝BD9．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（）A．8 B．6 C．4 D．1010．（3分）如圖，在直角△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D是邊AC上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△DBE，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．過點(diǎn)B作BQ⊥DE于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q．下面結(jié)論中正確的有（）個．①△ABD≌△CBE；②∠CDE＝∠ABD；③AD2+CQ2＝DQ2；④當(dāng)AD：DC＝1：2時，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；⑤當(dāng)CD＝BC時，BD：EF＝+1．A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題（本題共8小題，共16分）11．（2分）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．12．（2分）寫出一個在2和3之間的無理數(shù)．13．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，兩條對角線的和為18，AD的長為5，則△OBC的周長為．14．（2分）計(jì)算：（3+2）（3﹣2）＝．15．（2分）“趙爽弦圖”是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢運(yùn)動場規(guī)劃出一塊活動場地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，則EF的長是m．16．（2分）如圖．四邊形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么圖中陰影部分的面積的和為．17．（2分）平行四邊形的一個內(nèi)角平分線將對邊分成3cm和5cm兩個部分，則該平行四邊形的周長是cm．18．（2分）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過程，請補(bǔ)充完整：具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：；（2）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡：＝．三、解答題（本題共54分，19題10分，20-24題每小題10分，25-26題每題7分）19．（10分）計(jì)算：（1）；（2）．20．（6分）如圖，已知點(diǎn)P、Q是平行四邊形ABCD對角線BD上的兩個點(diǎn)，且BP＝DQ．求證：四邊形APCQ是平行四邊形．21．（6分）已知，如圖，等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的長．22．（6分）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線AP，以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑畫弧，交AP的延長線于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交l于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接BC；③以點(diǎn)B為圓心，BP長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)Q；④作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：∵PB＝PA，BC＝，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝．∴PQ∥l（）（填推理的依據(jù)）．23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個面積為10的正方形；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形，使三角形的三邊長分別為2，，，并求這個三角形的面積．24．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC與BD相交于O，且AC⊥BD，則a，b，c，d之間一定有關(guān)系式：a2+c2＝b2+d2，請說明理由．25．（7分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF＝CD；（2）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．26．（7分）小明在學(xué)習(xí)了“二次根式”后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的代數(shù)式可以寫成另一個根號的代數(shù)式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了把類似a+b的代數(shù)式化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代數(shù)式分別表示a、b，則：a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)育英中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）參考答案與試題解析一、選擇題（單選，本題共10小題，共30分）1．（3分）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、＝，故原式不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；B、是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；C、＝2，故原式不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D、＝2，故原式不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了最簡二次根式，關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．2．（3分）在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行且另一組對邊相等 C．兩組鄰邊相等 D．對角線互相垂直【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；B、一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形，不是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩組鄰邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對角線互相平分的四邊形才是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定定理，能熟記平行四邊形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：平行四邊形的判定定理有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對角分別平行的四邊形是平行四邊形，④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．3．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合題意．B、原式＝＝5，故B不符合題意．C、原式＝＝，故C不符合題意．D、原式＝＝6，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（3分）若以下列長度的三條線段為邊，可以組成直角三角形的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．6，8，10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定即可．【解答】解：A、12+12≠22，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、32+22≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．5．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，則∠D的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．140°【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝70°，∴∠D＝110°，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD長度為單位1，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A． B． C． D．【分析】先運(yùn)用勾股定理求得線段BC的長度，再根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，即可得出a的值．【解答】解：由題意得，BC＝＝，∴數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a為：﹣1，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意并列式、計(jì)算．7．（3分）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，測量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)M、N，測量得MN＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【分析】根據(jù)三角形中位線的定義推知MN是三角形ABC的中位線，然后利用三角形中位線定理求得AB的長度即可．【解答】解：∵點(diǎn)M、N是分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，MN＝16米，∴MN＝AB＝16米，∴AB＝32米．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查的是三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．BO＝DO B．∠BAD＝∠BCD C．CD＝AB D．AC＝BD【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（①平行四邊形的對邊平行且相等，②平行四邊形的對角相等，③平行四邊形的對角線互相平分）判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD（平行四邊形的對角線互相平分），正確，不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，正確，不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，正確，不符合題意；D、根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形不能推出AC＝BD，錯誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行四邊形的性質(zhì)是：①平行四邊形的對邊平行且相等，②平行四邊形的對角相等，③平行四邊形的對角線互相平分．9．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（）A．8 B．6 C．4 D．10【分析】設(shè)BN＝x，則由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD＝6，在Rt△BND中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝6，在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，解得x＝8．即BN＝8．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．10．（3分）如圖，在直角△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D是邊AC上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△DBE，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．過點(diǎn)B作BQ⊥DE于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q．下面結(jié)論中正確的有（）個．①△ABD≌△CBE；②∠CDE＝∠ABD；③AD2+CQ2＝DQ2；④當(dāng)AD：DC＝1：2時，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；⑤當(dāng)CD＝BC時，BD：EF＝+1．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由“SAS”可證△ABD≌△CBE，故①正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠ABD＝∠CDE，故②正確；由等腰三角形的性質(zhì)可得BQ是DE的中垂線，可得DQ＝QE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，由勾股定理可得AD2+CQ2＝DQ2；故③正確；分別求出△BEC，△DCE，△DBE的面積，可得S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④錯誤；分別求出EF2，BD2，即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），故①正確；∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝45°，∵∠DBE＝90°，DB＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠CDE，∴∠ABD＝∠CDE，故②正確；如圖，連接QE，∵∠DBE＝90°，DB＝BE，BQ⊥DE，∴BQ是DE的中垂線，∴DQ＝QE，∵△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，∴∠QCE＝90°，∴QC2+CE2＝QE2，∴AD2+CQ2＝DQ2；故③正確；∵AD：DC＝1：2，∴設(shè)AD＝a，DC＝2a，∴AC＝3a，∴BC＝AB＝a，∴DE＝＝a，∴BP＝DE＝a，∴S△BDE＝×a×a＝a2，∵S△BEC+S△DCE＝×a×a+×a×2a＝a2，∴S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④錯誤；如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于N，設(shè)AB＝BC＝x＝CD，則AC＝x，∴AD＝（﹣1）x，∵CB＝CD，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝∠CDB＝67.5°，∴∠ABD＝22.5°＝∠CDE，∴∠CED＝67.5°，∵△ABD≌△CBE，∴AD＝CE＝（﹣1）x，∠BCE＝∠A＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，∴CF＝CE＝（﹣1）x，∵∠BCE＝45°，EN⊥BC，∴∠CEN＝∠BCE＝45°，∴CN＝NE＝（﹣1）x＝（1﹣）x，∴FN＝（﹣2）x，BN＝x，∴EF2＝EN2+FN2＝（﹣）x2+（﹣6）x2＝（10﹣7）x2，BD2＝BE2＝EN2+BN2＝（﹣）x2+x2＝（2﹣）x2，∴＝，∴＝+1，故⑤正確，故選：B．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共8小題，共16分）11．（2分）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥5．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案為：x≥5．【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（2分）寫出一個在2和3之間的無理數(shù)（答案不唯一）．【分析】估算無理數(shù)的大小，寫出一個答案即可．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，兩條對角線的和為18，AD的長為5，則△OBC的周長為14．【分析】根據(jù)兩對角線之和為18，可得出OB+OC的值，再由AD＝BC，可得出△OBC的周長．【解答】解：由題意得，OB+OC＝（AC+BD）＝9，又∵AD＝BC＝5，∴△OBC的周長＝9+5＝14．故答案為：14．【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題需要掌握平行四邊形的對角線互相平分，對邊相等的性質(zhì)．14．（2分）計(jì)算：（3+2）（3﹣2）＝6．【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算．【解答】解：原式＝（3）2﹣（2）2＝18﹣12＝6．故答案為6．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．15．（2分）“趙爽弦圖”是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢運(yùn)動場規(guī)劃出一塊活動場地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，則EF的長是14m．【分析】先根據(jù)線段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如圖，由題意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝14（m）．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．16．（2分）如圖．四邊形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么圖中陰影部分的面積的和為60．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△IDM≌△BEN（SAS），進(jìn)而即可解決問題．【解答】解：四邊形ABCD，BIHG，ECGF都是正方形，∴AB＝BC＝12，BI＝BG＝13，∴在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理得AI＝CG＝5，∴ID＝BE，在△IDM和△BEN中，，∴△IDM≌△BEN（SAS），∵∠ABI＝90°﹣∠IBC＝∠CBG，在△ABI和△CBG中，，∴△ABI≌△CBG（ASA），∴△ABI和△CBG的面積相等，∴陰影部分的面積＝S△BAI+S△BCG＝2×5×12×＝60．故答案為：60．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是利用不同的方法表示同一個圖形的面積也是證明公式的一種常用方法．17．（2分）平行四邊形的一個內(nèi)角平分線將對邊分成3cm和5cm兩個部分，則該平行四邊形的周長是22或26cm．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由平行四邊形得出對邊平行，又由角平分線可以得出△ABE為等腰三角形，可以求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE為角平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①當(dāng)BE＝3cm時，CE＝5cm，AB＝3cm，則周長為22cm；②當(dāng)BE＝5cm時，CE＝3cm，AB＝5cm，則周長為26cm．故答案為：22或26．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的判定．注意有兩種情況，要進(jìn)行分類討論．18．（2分）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過程，請補(bǔ)充完整：具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：＝（n+1）；（2）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡：＝2023．【分析】（1）從數(shù)字找規(guī)律，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：＝（n+1），故答案為為：＝（n+1）；（2）＝2023×＝2023×＝2023，故答案為：2023．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共54分，19題10分，20-24題每小題10分，25-26題每題7分）19．（10分）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先化簡再計(jì)算即可求出值；（2）先化簡再計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝2+＝2+＝2；（2）原式＝﹣1+2＝．【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，已知點(diǎn)P、Q是平行四邊形ABCD對角線BD上的兩個點(diǎn)，且BP＝DQ．求證：四邊形APCQ是平行四邊形．【分析】連接AC，交BD于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，由BP＝DQ，得出OP＝OQ，即可得出四邊形APCQ為平行四邊形．【解答】證明：連接AC，交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BP＝DQ，∴OP＝OQ，∴四邊形APCQ為平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，熟記對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．21．（6分）已知，如圖，等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的長．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．【解答】解：設(shè)AB＝AC＝acm，∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，即a2＝（a﹣6）2+82，解得：a＝，即AB＝cm．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此題的關(guān)鍵．22．（6分）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線AP，以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑畫弧，交AP的延長線于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交l于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接BC；③以點(diǎn)B為圓心，BP長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)Q；④作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位線定理）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形．（2）利用三角形的中位線定理證明即可．【解答】解：（1）直線PQ即為所求．（2）證明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位線定理）．故答案為：BA，QC，三角形的中位線定理【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個面積為10的正方形；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形，使三角形的三邊長分別為2，，，并求這個三角形的面積．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖形即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，正方形ABCD即為所求；（2）如圖，△DEF即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．24．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC與BD相交于O，且AC⊥BD，則a，b，c，d之間一定有關(guān)系式：a2+c2＝b2+d2，請說明理由．【分析】由于AC⊥BD，在四個直角三角形中，可分別用兩邊的平方和表示另一邊，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵AC⊥BD，∴a2＝OA2+OB2，b2＝OB2+OC2，c2＝OD2+OC2，d2＝OA2+OD2∴a2+c2＝OA2+OB2+OC2+OD2b2+d2＝OA2+OB2+OC2+OD2∴a2+c2＝b2+d2【點(diǎn)評】熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，能夠運(yùn)用勾股定理求證一些線段相等的問題．25．（7分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF＝CD；（2）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB＝60°，得出∠ACF＝∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED＝CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF＝DC．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，且∠BAD＝∠BAC＝30°，∵△AED是等邊三角形，∴AD＝AE，∠ADE＝60°，∴∠EDB＝90°﹣∠ADE＝9