2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】VIP

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a(chǎn)10÷a2＝a53．（3分）若一個等腰三角形的兩條邊長分別為2和4，則該三角形的周長為（）A．8 B．10 C．12 D．8或104．（3分）五邊形的內(nèi)角和為（）A．720° B．540° C．360° D．180°5．（3分）如圖，△ABD≌△ECB，點E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，則AD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．66．（3分）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D7．（3分）已知a2﹣5＝2a，則代數(shù)式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣88．（3分）已知x2﹣mx+9是某個整式的平方的展開式，則m的值為（）A．3 B．±3 C．6 D．±69．（3分）如圖，△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．105° B．110° C．115° D．120°10．（3分）如圖，銳角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點O，則下列結(jié)論：①∠BOC＝120°；②連接ED，則ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，則∠ABC＝40°．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．③④二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）若（x﹣2）0＝1，則x的取值范圍是．12．（3分）若點A（m，n）與點B（3，2）關(guān)于x軸對稱，則m+n的值為．13．（3分）等腰三角形的一個內(nèi)角50°，則這個三角形的底角是．14．（3分）若關(guān)于x的多項式（x2+2x+4）（x+k）展開后不含有一次項，則實數(shù)k的值為．15．（3分）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，且滿足AD＝DC，作BE⊥AD于點E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，則BE的長為．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點E是線段BC延長線上一點，連接AE，點C在AE的垂直平分線上，若DE＝6，則△ABC的周長是．17．（3分）如圖，B、C、D在一直線上，△ABC和△ADE是等邊三角形，若CE＝15，CD＝6，則AC＝．18．（3分）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別為射線BE、BC上的動點，若BD＝10，則CM+MN的最小值為．三、解答題（共46分，第19、25-26題各7分，第20、22-23題各5分，第21題4分，第24題6分）19．（7分）（1）計算：（﹣x2y）3?（﹣2xy3）2；（2）先化簡，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．20．（5分）已知：如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°．求作：點P，使得點P在AC上，且點P到AB的距離等于PC．作法：①以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交射線BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點F；③作射線BF交AC于點P．則點P即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明證明：連接DF，F(xiàn)E在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（）（填推理的依據(jù)）．∵∠ACB＝90°，點P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于點Q．∵點P在BF上，∴PC＝（）（填推理的依據(jù)）．21．（4分）如圖，將長方形ABCD沿對角線BD翻折，點C落在點E的位置，BE交AD于點F．求證：重疊部分（即△BDF）是等腰三角形．22．（5分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．23．（5分）如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AC＝BF．求證：AE＝EF．24．（6分）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式；（2）解決問題：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．25．（7分）已知：△ABC是等邊三角形，D是直線BC上一動點，連接AD，在線段AD的右側(cè)作射線DP且使∠ADP＝30°，作點A關(guān)于射線DP的對稱點E，連接DE、CE．（1）當(dāng)點D在線段BC上運動時，①依題意將圖1補全；②請用等式表示線段AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)點D在直線BC上運動時，請直接寫出AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．26．（7分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4），給出如下定義：若P為△ABC內(nèi)（不含邊界）一點，且AP與△BCP的一條邊相等，則稱P為△ABC的友愛點．（1）在P1（0，3），P2（﹣1，1），P3（﹣2，1）中，△ABC的友愛點是．（2）如圖2，若P為△ABC內(nèi)一點，且∠PAB＝∠PCB＝15°，求證：P為△ABC的友愛點；（3）直線l為過點M（0，m）且與x軸平行的直線，若直線l上存在△ABC的三個友愛點，直接寫出m的取值范圍是．

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a(chǎn)10÷a2＝a5【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方解決此題．【解答】解：A．根據(jù)冪的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合題意．B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，得a2?a3＝a5，故B不符合題意．C．根據(jù)積的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合題意．D．根據(jù)同底數(shù)冪的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方是解決本題的關(guān)鍵．3．（3分）若一個等腰三角形的兩條邊長分別為2和4，則該三角形的周長為（）A．8 B．10 C．12 D．8或10【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和2，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)腰為4時，周長＝4+4+2＝10；當(dāng)腰長為2時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長只能為4，這個三角形的周長是10．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．4．（3分）五邊形的內(nèi)角和為（）A．720° B．540° C．360° D．180°【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為：（5﹣2）×180°＝540°．故選：B．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的計算公式，理解公式是關(guān)鍵．5．（3分）如圖，△ABD≌△ECB，點E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，則AD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】欲求AD的長度，只需求得BE的長度即可．所以根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等推知AD＝BE，BD＝BC＝11，則AD＝BD﹣DE．【解答】解：∵△ABD≌△ECB，BC＝11，∴AD＝BE，BD＝BC＝11．又∵DE＝6，∴BE＝BD﹣DE＝5．∴AD＝BE＝5．故選：C．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準對應(yīng)邊．6．（3分）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【分析】利用三角形內(nèi)角和定理證明∠B＝∠D，再利用三角形的外角的性質(zhì)判定B，C正確即可．【解答】解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選：D．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．7．（3分）已知a2﹣5＝2a，則代數(shù)式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則、多項式乘多項式的運算法則、合并同類項把原式化簡，整體代入計算，得到答案．【解答】解：原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（3a﹣3）＝a2+3a﹣2a﹣6﹣3a+3＝a2﹣2a﹣3，∵a2﹣5＝2a，∴a2﹣2a＝5，則原式＝5﹣3＝2，故選：A．【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．8．（3分）已知x2﹣mx+9是某個整式的平方的展開式，則m的值為（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32是某個整式的平方的展開式，∴﹣m＝±6，解得：m＝±6．故選：D．【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．105° B．110° C．115° D．120°【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．則有∠B+∠C+2∠DAE＝150°，即180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，再與∠BAC+∠DAE＝150°聯(lián)立解方程組即可．【解答】解：∵△ABC的兩邊AB，AC的垂直平分線分別交BC于D，E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．∵∠BAC+∠DAE＝150°，①∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，即∠BAC﹣2∠DAE＝30°．②由①②組成的方程組，解得∠BAC＝110°．故選：B．【點評】此題考查了線段的垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，解題的關(guān)鍵是得到∠BAC和∠DAE的數(shù)量關(guān)系，難度中等．10．（3分）如圖，銳角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點O，則下列結(jié)論：①∠BOC＝120°；②連接ED，則ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，則∠ABC＝40°．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．③④【分析】由角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，進而判斷①；當(dāng)ED∥BC時，有∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，可推出△ABC是等邊三角形，而此時其不一定為等邊三角形，據(jù)此可判斷②；在BC上取一點F，使BF＝BE，證△EBO≌△FBO，進而推出∠FOC＝∠DOC＝60°，再證△OCF≌△OCD，得出FC＝DC．結(jié)合線段的和差即可判斷③；過點B作BG⊥CE垂足為G，BG交CE的延長線于點G，過點C作CH⊥AB，垂足為H，則∠G＝∠CHA＝90°，用“AAS”分別證△ACH≌△OBG、△BEG≌△CEH，推出EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，設(shè)∠EBG＝∠ECH＝x，則有x+∠EBO＝30°，由全等三角形的對應(yīng)角相等、等腰三角形的性質(zhì)和角的和差列出關(guān)于x的方程，求出x，進而求出∠ABC的度數(shù)，即可判斷④．【解答】解：①∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵BD、CE分別是∠ABC和∠BCA的平分線，∴∠OBC+∠OCB＝×120°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故①正確；②連接ED，∵BD、CE分別是∠ABC和∠BCA的平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACE＝∠ECB，當(dāng)ED∥BC時，∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，∴ED＝EB＝DC．∵ED∥BC，∴．∴AE＝AD．∴AB＝AC．∴△ABC是等邊三角形，而此時其不一定為等邊三角形，故ED∥BC不成立．故②錯誤．③在BC上取一點F，使BF＝BE，如圖1所示．在△EBO和△FBO中，，∴△EBO≌△FBO（SAS）．∴∠EOB＝∠FOB＝180°﹣∠BOC＝60°．∴∠FOC＝∠BOC﹣∠FOB＝∠DOC＝60°．在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA）．∴FC＝DC．又BE＝BF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD．∴③正確．如圖2，過點B作BG⊥CE垂足為G，BG交CE的延長線于點G，過點C作CH⊥AB，垂足為H，則∠G＝∠CHA＝90°，∵∴∠EOB＝60°（已證），∴∠CAH＝∠BOG＝60°，∴∠ACH＝30°，在△ACH和△OBG中，，∴△ACH≌△OBG（AAS），∴BG＝CH，∠OBG＝∠ACH＝30°，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（AAS），∴EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，即∠EBG+∠EBO＝30°∴∠EBC＝∠ECB＝∠ACB，設(shè)∠EBG＝∠ECH＝x，則有x+∠EBO＝30°，∵∠EBO＝∠EBC，∴x+∠EBC＝30°，即∠EBC＝60°﹣2x，∵∠ECB＝∠ACE＝∠ECH+∠ACH＝x+30°，∴60°﹣2x＝x+30°，∴x＝10°，∴∠EBC＝60°﹣2x＝40°，即∠ABC＝40°．∴④正確．∴正確的結(jié)論是①③④．故選：C．【點評】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建全等三角形，屬于中考?？碱}型．二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）若（x﹣2）0＝1，則x的取值范圍是x≠2．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義直接解答即可．【解答】解：∵（x﹣2）0＝1，∴x﹣2≠0，∴x≠2．故答案為：x≠2．【點評】本題主要考查零指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）．12．（3分）若點A（m，n）與點B（3，2）關(guān)于x軸對稱，則m+n的值為1．【分析】根據(jù)點A（m，n）與點B（3，2）關(guān)于x軸對稱，可知m＝3，n＝﹣2，代入m+n直接求值即可得到答案．【解答】解：∵點A（m，n）與點B（3，2）關(guān)于x軸對稱，∴A（3，﹣2），∴m+n＝3﹣2＝1，故答案為：1．【點評】本題考查代數(shù)式求值，涉及平面直角坐標(biāo)系中點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，掌握點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．13．（3分）等腰三角形的一個內(nèi)角50°，則這個三角形的底角是50°或65°．【分析】等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角是50°，則這個角可能是底角也可能是頂角．要分兩種情況討論．【解答】解：當(dāng)50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°．故答案為：50°或65°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；全面思考，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．14．（3分）若關(guān)于x的多項式（x2+2x+4）（x+k）展開后不含有一次項，則實數(shù)k的值為﹣2．【分析】利用多項式乘多項式的法則進行運算，再結(jié)合條件進行求解即可．【解答】解：（x2+2x+4）（x+k）＝x3+2x2+4x+kx2+2kx+4k＝x3+（2+k）x2+（4+2k）x+4k，∵展開后不含有一次項，∴4+2k＝0，解得：k＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．15．（3分）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，且滿足AD＝DC，作BE⊥AD于點E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，則BE的長為4．【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠DAC＝40°，根據(jù)角的差可得∠BAE＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE的長．【解答】解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝40°，∵∠BAC＝70°，∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝×8＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝40°．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點E是線段BC延長線上一點，連接AE，點C在AE的垂直平分線上，若DE＝6，則△ABC的周長是12．【分析】由AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD＝CD，又由點C在AE的垂直平分線上，可得AC＝CE，繼而可得AB＝CE，則可得△ABC的周長為2DE．【解答】解：∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC＝CE，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE，∵DE＝6，∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×6＝12，即△ABC的周長等于12．故答案為：12．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，B、C、D在一直線上，△ABC和△ADE是等邊三角形，若CE＝15，CD＝6，則AC＝9．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC即可．【解答】解：∵△ABC、△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝9，故答案為：9．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是推出△BAD≌△CAE．18．（3分）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別為射線BE、BC上的動點，若BD＝10，則CM+MN的最小值為5．【分析】過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，可得CM+MN的最小值為CF．延長BA，CF兩線交于點G，證明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到GF＝CF＝CG＝BD，進而可求出CM+MN的最小值．【解答】解：過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，可得CM+MN的最小值為CF，延長BA，CF兩線交于點G，∵∠A＝∠DFC＝90°，∠ADB＝∠FDC∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴BD＝CG；在△GBF和△CBF中，，∴△GBF≌△CBF（ASA），∴GF＝CF＝CG＝BD；∵BD＝10，∴CF＝5，∴CM+MN的最小值為5，故答案為：5．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共46分，第19、25-26題各7分，第20、22-23題各5分，第21題4分，第24題6分）19．（7分）（1）計算：（﹣x2y）3?（﹣2xy3）2；（2）先化簡，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．【分析】（1）根據(jù)積的乘方法則、單項式乘單項式的運算法則計算；（2）根據(jù)單項式乘多項式的運算法則、合并同類項把原式化簡，把x的值代入計算，得到答案．【解答】解：（1）原式＝﹣x6y3?4x2y6＝﹣4x8y9；（2）原式＝3a3﹣6a2+3a﹣（2a3﹣6a2）＝3a3﹣6a2+3a﹣2a3+6a2＝a3+3a，當(dāng)a＝2時，原式＝23+3×2＝8+6＝14．【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（5分）已知：如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°．求作：點P，使得點P在AC上，且點P到AB的距離等于PC．作法：①以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交射線BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點F；③作射線BF交AC于點P．則點P即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明證明：連接DF，F(xiàn)E在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的對應(yīng)角相等）（填推理的依據(jù)）．∵∠ACB＝90°，點P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于點Q．∵點P在BF上，∴PC＝PQ（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）先證明△BDF≌△BEF得到∠ABF＝∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點P到AB的距離等于PC．【解答】解：（1）如圖，點P為所作；（2）完成下面證明證明：連接DF，F(xiàn)E在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的對應(yīng)角相等），∵∠ACB＝90°，點P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于點Q．∵點P在BF上，∴PC＝PQ（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）．故答案為全等三角形的對應(yīng)角相等；角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．21．（4分）如圖，將長方形ABCD沿對角線BD翻折，點C落在點E的位置，BE交AD于點F．求證：重疊部分（即△BDF）是等腰三角形．【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出∠ADB＝∠EBD，得出BF＝DF即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD，由折疊的性質(zhì)得：∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF，∴△BDF是等腰三角形．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證出∠ADB＝∠EBD是解決問題的關(guān)鍵．22．（5分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．【分析】要證明線段相等，只要過點A作BC的垂線，利用三線合一得到P為DE及BC的中點，線段相減即可得證．【解答】證明：如圖，過點A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時，兩次用到三線合一的性質(zhì)，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關(guān)鍵．23．（5分）如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AC＝BF．求證：AE＝EF．【分析】延長AD到點G，使GD＝AD，連接GB，可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△GBD≌△ACD，得GB＝AC，∠G＝∠CAF，由AC＝BF，得GB＝BF，進而可得AE＝EF．【解答】證明：延長AD到點G，使GD＝AD，連接GB，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△GBD和△ACD中，，∴△GBD≌△ACD（SAS），∴GB＝AC，∠G＝∠CAF，∵AC＝BF．∴GB＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EFA，∴∠CAF＝∠EFA，∴AE＝EF．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（6分）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式；（2）解決問題：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．【分析】（1）由圖形可知應(yīng)該是完全平方公式；（2）由完全平方公式即可求解；（3）由完全平方公式求出（8﹣x）和（x﹣2）的乘積即可．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝19；（3）∵（8﹣x）+（x﹣2）＝6，∴[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝36，∴（8﹣x）2+（x﹣2）2+2（8﹣x）（x﹣2）＝36，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，∴長方形的面積是8．【點評】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握并熟練應(yīng)用此公式．25．（7分）已知：△ABC是等邊三角形，D是直線BC上一動點，連接AD，在線段AD的右側(cè)作射線DP且使∠ADP＝30°，作點A關(guān)于射線DP的對稱點E，連接DE、CE．（1）當(dāng)點D在線段BC上運動時，①依題意將圖1補全；②請用等式表示線段AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)點D在直線BC上運動時，請直接寫出AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形；②先判斷出△ADE為等邊三角形，進而判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結(jié)論；（2）分點D在線段BC上，在CB的延長線上，在BC的延長線上，同（1）①的方法即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①補全圖形如圖1所示：②AB＝CE+CD，理由：∵點A關(guān)于射線DP的對稱點為E，∴DP垂直平分AE，∴AD＝DE．又∵∠ADP＝30°，∴∠ADE＝2∠ADP＝60°；∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD．（2）①當(dāng)點D在線段BC上時，AB＝CE+CD，理由：如圖1，在（1）②的過程；②當(dāng)點D在CB的延長線上時，AB＝CD﹣CE，如圖2，理由：由（1）①得，△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE；③當(dāng)點D在BC的延長線上時，AB＝CE﹣CD，理由：如圖3，由（1）①得，△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；即：AB＝CE+CD，AB＝CD﹣CE，AB＝CE﹣CD．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分三種情況畫圖圖形是解