大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練九-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（9）-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題強化及變式訓(xùn)練（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

2024屆大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（9）

1.如圖，四棱錐尸—48CD的底面是矩形，AB=2,BC=2G.,APBC是等邊三角形,平面必

平面ABCD,O,F分別是BC,尸。的中點，4c與BD交于點、E.

（1）求證：平面尸/O；

（2）平面。跖與直線PD交于點。，求直線。。與平面尸CD所成角。的大小.

變式：如圖，三棱柱46C-Z4G中，。為底面△44G的重心，DeCq,CD:DG=l:2.

（1）求證：OD〃平面4片。；

（2）若J_底面4AG，且三棱柱4BC-481G的各棱長均為6,設(shè)直線力用與平面同與。所成

的角為8,求sin。的值.

2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線y=x+l與拋物線c：/=2px(0>0)相切.

(1)求。的值；

(2)已知點/(七,%),3卜2，)2)在拋物線。上，45分別位于第一象限和第四象限，且

玉々+%％=-4,過45分別作直線x=—l的垂線，垂足分別為4,與，求四邊形44/R面積的最

小值.

變式：已知片(—1,0),工(1,0),動點―足I超|+|Z即=4.

(1)求動點循軌跡曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形/時內(nèi)接于曲線反點/,6分別在行由正半軸和痛由正半軸上，設(shè)直線/G切的斜率分別是

3

左，左2,且左向=].證明：ABHCD.

3.已知各項均不為0的數(shù)列｛??｝的前〃項和為S『且%=1,S"=%"；*].

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)若對于任意〃eN*,2"-22S"成立，求實數(shù)％的取值范圍.

變式：已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",4=-(，且4s3S“-91.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項；

⑵設(shè)數(shù)列｛b?｝滿足34+(n-4)a?=0,記低｝的前〃項和為北,若北￡地對任意?eN*恒成立，求

A的范圍.

4.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次

數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：

一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計

男生人數(shù)1245654330

女生人數(shù)4556432130

合計579111086460

(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛

煉”.請完成以下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育

鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

鍛煉

性別合計

不經(jīng)常經(jīng)常

男生

女生

合計

(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸

多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求

E(X)和。(X)；

(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在

樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為y,求y的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

附：z2=,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+<7)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

變式：某地政府為推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和

服務(wù)方式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進(jìn)康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進(jìn)一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境,

強化服務(wù)意識，全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準(zhǔn)備從以個跟團游團隊和6個私家游團隊中隨機抽取幾個團隊

展開滿意度調(diào)查.若一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率為

91

(1)若一次抽取3個團隊，在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，求這3個團隊全是跟團游團隊的

概率；

(2)若一次抽取4個團隊，設(shè)這4個團隊中私家游團隊的個數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

5.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研

究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)/(%)=-(%>0),/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖像連續(xù)

不斷，從幾何上看，定積分便是由直線x=a,x=A,y=O和曲線歹=!所圍成的區(qū)域(稱為曲

JaXX

邊梯形尸)的面積，根據(jù)微積分基本定理可得拄=lnb-Ina,因為曲邊梯形45。尸的面積

JaX

小于梯形450尸的面積，即S曲邊梯形力咳<S梯形型尸，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：

a-b〉2

Ina-Inb1+1-

(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：,<￡±^；

Ina-］nb2

(2)已知函數(shù)+bx+x1nx,其中a,bwR.

①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)西也，曲線y=/(x)在(占,/(再))和(迎,/(9))處的切線均不重

合；

②當(dāng)b=-l時，若不等式/(村225皿彳-1)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

變式：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(X)在x=0處的階導(dǎo)數(shù)都存

在時，〃x)=〃0)+/+…+'….注：/”(x)表示

/(X)的2階導(dǎo)數(shù)，即為/'(x)的導(dǎo)數(shù)，/(")(切("23)表示/(何的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林

公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin』的值，精確到小數(shù)點后兩位；

2

2

%/62

(2)由該公式可得：cosx=l-—+--——+-■?.當(dāng)xNO時，試比較cosx與1一二的大小，并給

2!4!6!2

出證明；

n11

(3)設(shè)nwN*,證明：V----------------->〃----------.

念(〃+k)tan」一4〃+2

n+k

2024屆大題強化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（9）

1.如圖，四棱錐尸—48CD的底面是矩形，AB=2,BC=2G.,APBC是等邊三角形,平面必

平面ABCD,O,F分別是BC,尸。的中點，4c與BD交于點、E.

（1）求證：AD1平面P/O；

（2）平面。跖與直線尸。交于點Q,求直線。。與平面尸CD所成角。的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）0=45°.

【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明尸。人平面25cD,可得尸再利用向量法證明

AO1BD,然后由線面垂直判定定理可證；

（2）以。為原點，OE,OC,O尸所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解.

【解析】（1）因為APBC為正三角形，。是3c中點，所以尸013C,

又因為平面P8C人平面48CD,平面PBCc平面45CD=8C,0Ou平面必C,

所以尸。人平面48CD,

又ADu平面48cD,所以尸OLBD,

■.■BD-AO=（BC+BAy^BC-BA^=^Bc"-BA2=4-4=0,

.-.BDLAO'：.AOLBD.

又尸O,/。在平面尸ON內(nèi)且相交，故AD1平面尸

（2）?.?瓦。分別為8。,5。的中點，，石。//。。，

又平面POC過。C且不過EO,;.E。//平面尸QC,.

又平面?！辍？诮黄矫媸?。。于。尸，故E。//。尸，進(jìn)而Q7//。。，

因為尸是尸C中點，所以。是尸。的中點.

以。為原點，OE,OC,O尸所在直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,C）,C（0,后,0）,。（2,后,0）,01,^-,^-,

\7

CO=（2,0,0）,PC=（0,^,-A/6）,OQ=I，?，,，

p.

設(shè)平面PCD法向量為方=（x,y,z）,

CDn=Q2x=0

則《一，即1，取y=得萬=（o,百,1）,

PCn=O

貝（Jsin0

TT7T

因為。e0,-所以。二.

變式：如圖，三棱柱4BC-Z4cl中，。為底面△44G的重心，D^CC^CD:DC,=1:2.

（1）求證：OD〃平面4月。；

（2）若74_L底面4AG,且三棱柱ABC-A^C,的各棱長均為6,設(shè)直線ABX與平面43c所成

的角為。，求sin。的值.

【答案】（1）證明見解析（2）叵

14

【分析】（1）連接。。交4用于￡點，連接CE,根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；

（2）建系，求平面48c的法向量，利用空間向量求線面夾角.

【解析】（1）連接G。交44于E點，連接CE.

因為。為底面△4瓦。的重心，則￡。：=1:2,

又因為。eCG，CD:￡）G=1:2,則EO:OC]=（?￡）:￡）￡,可知O￡）〃EC,

因為OD<2平面481cECu平面A^C,

所以。￡（〃平面48c.

（2）取的中點尸，連接￡尸.

因為1底面同與G,且三棱柱ABC-A^Q的各棱長均為6,

可知射線班I，EG，E尸兩兩垂直,

以EB[,EC],EF所在直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則用（3,0,0）,4（—3,0,6）,。（0,36,6,（0,0,0）,

所以布=（6,0,—6）,函=（3,0,0）,￡C=（0,3^6）,

,、n-EB,=3x=0

設(shè)平面481C的法向量為拓=(x,y,z),貝"_.

H-EC=3yj3y+6z=0

令了=一2,可得x=0,z=G，可得萬=（0,-2,月），

I-.I\n-ABl673_V42

所以sin6=|cos萬=：.

1?同皿77x672-14

2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線y=x+l與拋物線c：V=2px（p>0）相切.

（1）求P的值；

（2）已知點4（再,必）,3（彳2，）2）在拋物線C上，45分別位于第一象限和第四象限，且

占超+%%=-4,過45分別作直線》=—1的垂線，垂足分別為4,耳，求四邊形4443面積的最

小值.

【答案】（1）p=2（2）1272

【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立方程結(jié)合A判別式分析求解即可；

（2）設(shè)直線N8的方程為x=@+t,2（石,%）,8（%,%），聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，結(jié)合

玉乙+乂乂=-4求得。=2,進(jìn)而可得四邊形面積為442a2+3/十2）,換元結(jié)合函數(shù)

單調(diào)性分析求解.

【解析】（1）因為直線V=x+1與拋物線C：j?=2px（p>0）相切，

V=X+1\

所以方程組2c有唯一解，所以/+2（1—p）x+l=0有唯一解，

y=2px

所以A=[2（l—01一4=0,且。>0,解得夕=2.

（2）設(shè)直線48的方程為x=ay+t,/（石,必）,3（孫力）,

因為點43在拋物線。上，43分別位于第一象限和第四象限，

x=ay+t.

聯(lián)立方程〈2，消去x得y-4砂一4,=0,

y=4x

R+%=4a

則A=16/+4義務(wù)〉0,可得/

［必％=_今

因為玉/+%先=-4,即(即1+。(砂2+%)+M％=-4,

—

整理得(/+1)y^y2+8(必+%)+戶—4,

即(4+1)(―4%)+辦,4a+〃=—4,解得,=2,

可知直線48的方程為了=即+2,可知必?％=-由<0,A>0,符合題意,

則四邊形AAXBXB的面積為；|+忸蜀).(%—%)=；(再+%+2).E-%)

=^［心1+72)+2.+2}J(K+歹2『-4乂y2g(4/+2/+2).716fl2+16/

=4(2a2+3)-J/+2=4,(2/+3)2(/+2).

令/+2=“22#=(2/+3)2+2),

所以丫=(2/+3)(a2+2)=(2“—I)?”，

因為MC［2,+“)，則(2M—I?〉0,M〉0,且〉=(21/—1)2與7=〃在［2,+8)上單調(diào)遞增,

可知v=(2M—Ipu在［2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)且僅當(dāng)M=2,即。=0時，=18,

所以四邊形448n面積的最小值為12逝.

變式：已知與(-1,0),工(1,0),動點融足|Z&+|Z耳|=4.

(1)求動點菊軌跡曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形/時內(nèi)接于曲線瓦點46分別在甘由正半軸和翅由正半軸上，設(shè)直線/G龍的斜率分別是

左，k2,且左色=^.證明：ABIICD.

22

【答案】(1)二+匕=1(2)證明見解析

43

【分析】(1)利用橢圓的定義即可求出動點Z的軌跡方程；

(2)(i)設(shè)出點G的坐標(biāo)，然后分別設(shè)出直線/C,3。的方程，求出3左2的關(guān)系式，利用已知

3

勺上2=1建立等式關(guān)系，再由/BCD為四邊形即可證明；

(ii)求出45的坐標(biāo)，即可求出直線43的斜率，設(shè)出直線CQ的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用

3

韋達(dá)定理以及斜率公式表示出左1左2,并令該關(guān)系式等于W，化簡求出直線。。的斜率，由此即可證明.

【解析】⑴因為|藥|+|帆|=4＞阮見=2

所以Z點的軌跡是以片，鳥為焦點的橢圓，其長軸長2。=4,焦距為2c=2,

b=-\la*2—c~=-\/3‘

22

所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+匕=1.

43

5

22

'）^y=kx+m—+—=1得（3+4左2）x?+8hnx+477z2—12=0,

43

8km4m2-12

所以西+々=-

3+442'“逮2―3+4（2

-73yy-A/3JJk2XX+km{x+x）+m2~43（kx+m）

所以《色=」^x匹2nX2x2x

-2々I(玉―2卜2xxx2-2X2

/4加2T2、f8km8km

k2+km+m2-yj3k

、3+4匹，3+4左23+4左2f

4m2-12.

---------A——2x

3+4左22?

2左島（左+3）

3m-122+4@k2m-3i+634k3

所以

-

4加2—12—2（3+4左2）824

（16限3+24左2+12?+18卜2+4①z（4左2—3）+36—48k2=0

16A/3^3+24A;2+12^+18=06

廠/2,2'解得k=—組,

4cm（4左2—3）+36—48左2=02

所以AB//CD.

3.已知各項均不為0的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S"，且%=].=%%；+1.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）若對于任意〃eN*,2"?225"成立，求實數(shù)％的取值范圍.

【答案】（1）an=2n-l（2）2e

【分析】（1）根據(jù)題意，得到〃22時，4S,i=a,i%+l,兩式相減得到flu—%_1=4,得到

%,%，，。21，及出，。4，，出"，均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通

項公式；

22

（2）由（1）求得S“=〃2,證得為42々恒成立，設(shè)“=土，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求

〃2〃n2“

解.

【解析】（1）因為數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，且q=1,S“=%"；+1,即4s“=°/用+1,

當(dāng)〃22時，可得4S"_]=%_避“+1,

兩式相減得4%=an（a“+i-），

因為%*0，故%+i-%T=4,

所以°1，/，…,…及。2，。4,…，。2"，…均為公差為4的等差數(shù)列：

當(dāng)〃=1時，由/=]及S]=%"j+1,解得出=3,

所以。2〃-1=1+4（〃-1）=2（2〃—1）—1,%〃=3+4（〃-1）=2（2〃）—1,

所以數(shù)列｛an｝的通項公式為%=2〃-1.

（2）由⑴知%=2〃一1,可得S“=（2f+1）+1=/,

2

因為對于任意“eN*,2""2S“成立，所以221r恒成立，

語八"HUM八_（"+1）2〃2-n2+2〃+1

設(shè)”=57，則〃+廠〃=七各一環(huán)=—聲一，

當(dāng)1一收<“<1+0，即"=1,2時，bn+l-bn>Q,bn<bn+l

當(dāng)〃>1+收,即〃23,〃eN*時，bn+l-bn<Q,bn>bn+l

o9

所以4<Z?2<4>">4>…，故（AJmax=4=7，所以XW—,

max88

9

即實數(shù)4的取值范圍為三,+。

_8

o

變式：已知數(shù)列｛(｝的前〃項和為S,,且4%=3s“-91.

(D求數(shù)列｛%,｝的通項；

⑵設(shè)數(shù)列低｝滿足地+(〃-4)%=0,記｛，｝的前〃項和為(，若北《犯對任意〃eN*恒成立，求

2的范圍.

3

【答案】⑴氏=-3.(?"；(2)-3<Z<l.

927?7

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，4(%+出)=3%—9,4%=—9=--------------------,

4416

當(dāng)〃22時，由4sm=3S〃—9①，得4s“=3Si—9②，①一②得4。例=3?！?/p>

又"=[,;?｛%｝是首項為一3,公比為:的等比數(shù)列，

16%44444

o33

???。，，=-“勺嚴(yán)=-3勺)“；

〃一

43),

⑵由3b,+(〃-4)a,=0,得6“=———an=(?-4)(-),

所以北=一3x>2x||J一鳴+Oxg+...+("-4)(.,

%―0-2x〔m+…+("5).冉+("4>冉，

兩式相減得%=-3x|+)]+日+日+..[t)-(”4>日

所以7；=-4小(1)"+1,由7；W得-4〃?(I)用<2(?-4).(I)"恒成立，

即4(〃一4)+3〃NO恒成立，

〃=4時不等式恒成立；

〃<4時，Z<--=-3--—,得2V1；

〃一4H-4

〃>4時，A>一一=一3—,得丸2—3；

〃一4〃一4

所以-3W%?1.

4.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次

數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：

一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計

男生人數(shù)1245654330

女生人數(shù)4556432130

合計579111086460

（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛

煉”.請完成以下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育

鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

鍛煉

性別合計

不經(jīng)常經(jīng)常

男生

女生

合計

（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸

多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求

E（X）和Q（X）；

（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在

樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為y,求丫的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

2_bc\j7

r=n=a+b+c+d

附：（a+b）（c+d）（a+c）（b+dy

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【答案】（1）填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系

（2）=O（X）=—（3）分布列見解析；期望為2.1

336

【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得力2。3.590>2.706,即可得結(jié)論;

（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率P=由二項分布即可得E（X）和。（X）；

（3）易知y的所有可能取值為0,1,2,3,利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.

【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：

鍛煉

性別合計

不經(jīng)常經(jīng)常

男生72330

女生141630

合計213960

零假設(shè)為〃0：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān);

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得

2

260(7x16—23x14)260x(7x30)140…八

Z-=------------------=--------------------=——x3.590>2.706=x

21x39x30x3021x39x30x3039n]

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，推斷/不成立，

即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1

(2)因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故X近似服從二項分布，

易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率尸=2='.

6012

即可得

故E(X)=20X'=9,D(X)=20x—x—=—

123v7121236

(3)易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，

所以y的所有可能取值為0,1,2,3；

且y服從超幾何分布：

()120'()12040

尸出一—.幺尸僅.3)_2.亙-7

(一卜C；。(-卜％--

-120-40'120一24

故所求分布列為

Y0123

17217

P

120404024

nTW^(r)=0x—+lx—+2x—+3x—=^=2.1

v712040402410

變式：某地政府為推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和

服務(wù)方式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進(jìn)康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進(jìn)一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境,

強化服務(wù)意識，全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準(zhǔn)備從以個跟團游團隊和6個私家游團隊中隨機抽取幾個團隊

展開滿意度調(diào)查.若一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率為”.

91

(1)若一次抽取3個團隊，在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，求這3個團隊全是跟團游團隊的

概率；

(2)若一次抽取4個團隊，設(shè)這4個團隊中私家游團隊的個數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

5.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研

究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)/(x)=L(x>0),f(x)在區(qū)間［%句上的圖像連續(xù)

不斷，從幾何上看，定積分「之便是由直線x=a,x=6,y=0和曲線y=L所圍成的區(qū)域（稱為曲

邊梯形N30尸）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得/Lx=lnb-Ina,因為曲邊梯形尸的面積

小于梯形ABQP的面積，即S曲邊梯形＜S梯，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式:

a-b2

Im-Inb.

ab

（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：,a~b,＜—

Ina-]nb2

（2）已知函數(shù)=+bx+xlnx,其中Q/ER.

①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)士多，曲線y=/（x）在（國,〃西））和（々，/6））處的切線均不重

合；

②當(dāng)b=-l時，若不等式/（可225皿1-1）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②[L+”）.

【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過點作/（x）的切線分別交4P,30于加1，〃；，結(jié)合

S曲邊梯形＞S梯形形吃,，即可得證；

（2）①求得/'（x）=2依+liu+b+l,分別求得在點和卜2，/（々））處的切線方程，假設(shè)

X〉-X.招+X

/1與，2重合，整理得[I結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；

lnx2-1叫2

②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為a21時，一%+油]%一25吊（工一1"0在（0,+00）恒成立，

設(shè)=x2-x+xlnx-2sin（x-l）,求得=2x+lnx-2cos（x-l）,分xe（O,l）和

xe[l,+”），兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

【解析】（1）在曲線了=!取一點二7].

X12a+bJ

過點M作/（%）的切線分別交AP,BQ于必,弧，

因為S曲邊梯形45。尸＞S梯形45M2弧，

可得lnb_lna＞；.(|/M|+忸M1|A8|=g.2.

a+b]na-]nb2

(2)①由函數(shù)/(x)=ax?+bx+xlnx,可得/'(x)=2tzx+lnx+b+l,

不妨設(shè)0"<Z,曲線y=/(x)在(占J(xJ)處的切線方程為

4：>—/(xi)=/'(xi)(x—西)，即y=/'(xi)x+/(xi)—x/(xi)

,,

同理曲線y=/(x)在(Z處的切線方程為人：j=/(x2)x+/(x2)-x2/(x2).

/'(%)=小)

假設(shè)4與，2重合，

/(七)一再/'(再)=/(0)—超/'(%)

lwc2-liu；+2a(x2-Xj)=0

代入化簡可得

a(x2+)=-l(a<0)

兩式消去。，可得2上^=0,整理得々一：二衛(wèi)芋,

x2+xllnx2-InXj2

x,-x,x,+x,

由(1)的結(jié)論知?2「〈一■」，與上式矛盾

liu2-liUj2

即對任意實數(shù)a,b及任意不相等的正數(shù)匹戶2，與4均不重合.

②當(dāng)b=-1時，不等式/(x)22sin(x—1)恒成立，

所以/z(x)=以2-x+xlnx-2sin(x-l”0在(0,+力)恒成立，所以〃(l"0na21,

下證：當(dāng)a21時，/i(x)20恒成立.

因為a21,所以〃-x+xlnx-2sin(x-l)

設(shè)7/(x)=必-x+xlnx-2sin(x-l),印(x)=2x+lnx-2cos(%-1)

(i)當(dāng)xe[l,+oo)時,由2x22,,lnx20,-2cos(x-l)2-2知〃(x)20恒成立，

即笈(x)在[1,+8)為增函數(shù)，所以8(x)>H(l)=0成立；

(ii)當(dāng)xe(0,l)時,設(shè)G(x)=2x+lnx-2cos(x-l),可得G<x)=2+—+2sin(x-l),

由2sin(x—1)N—2,1>0知G'(x)20恒成立,即G(x)=牙(x)在(0,1)為增函數(shù).

所以笈'(x)<笈'(1)=0,即8(x)在(0,1)為減函數(shù)，所以8(x)〉8(l)=0成立，

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是1,+力).

變式：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(x)在x=0處的階導(dǎo)數(shù)都存

在時，〃x)=〃0)+/(0卜+^^/+'[⑼爐+…+,；(°)x"+….注：/"(X)表示

/(X)的2階導(dǎo)數(shù)，即為/'(x)的導(dǎo)數(shù)，，")(村(〃23)表示/(外的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林

公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin1的值，精確到小數(shù)點后兩位；

2

，x4%6%2

(2)由該公式可得：cosx=l—二+--—+■■?.當(dāng)xNO時，試比較cosx與1一二的大小，并給

2!4!6!2

出證明;

11

（3）設(shè)〃e