1-2 倒易點陣與晶帶定律

倒易點陣與晶帶定律材料研究方法

課程內(nèi)容一一一、背景二二、定義

三、正倒空間之間的關(guān)系四四、倒易矢量的基本性質(zhì)五五、晶帶定律與廣義晶帶定律

六、結(jié)論一、背景X射線衍射單晶體多晶體非晶體織構(gòu)電子衍射

倒易點陣是一個虛擬點陣，是由厄瓦爾德1921年在處理晶體衍射時根據(jù)Gibbs倒易空間的概念建立的，理論基礎(chǔ)：傅立葉變換

正空間中的晶面按一定的規(guī)則轉(zhuǎn)變?yōu)榈箍臻g的一陣點，所有晶面轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗幸?guī)則排列的陣點，組成倒空間的倒易點陣。倒空間的原點出發(fā)至該點為響應(yīng)的倒易矢量，矢量的方向垂直與晶面，矢量的大小為晶面間距的倒數(shù)。二、倒易點陣的定義規(guī)則：3）結(jié)果：正空間中的晶面在倒空間中表現(xiàn)為一個倒易陣點1）正點陣參數(shù)：a、b、c、

、

、

，基矢量為2）倒易點陣參數(shù)：a*、b*、c*、

*、

*、

*，基矢量為ONA(hkl)1/dhklxyzN

（1-29）該矢量即為晶面（hkl）的倒易矢量倒易矢量的構(gòu)建定義：因為矢量方向平行于晶面法矢量矢量大小等于晶面間距的倒數(shù)三、正倒空間之間的關(guān)系（1）同名基矢點積為1，異名基矢點積為0。（2）

垂直于所在面：

垂直于所在面：

垂直于所在面：立方晶系時：三、正倒空間之間的關(guān)系（3）倒空間的倒空間即為正空間（4）正倒空間的單胞體積互為倒數(shù)：（5）正倒空間中角度之間的關(guān)系：

（6）倒易點陣保留了正點陣的全部宏觀對稱性（7）正倒空間矢量的點積為一整數(shù)。（8）正空間的一族平行晶面，對應(yīng)于倒空間中的一個直線點列。證明：設(shè)G為正空間中的一個點群操作為正空間矢量，G-1為G的逆操作，則對任一倒易矢量

因為點群操作是正交變換，操作前后空間中兩點的距離不變，因此兩個矢量的點積在某一點群的操作下應(yīng)保持不變，所以有：這就說明了倒空間中同樣存在著點群對稱性。也為正空間矢量為倒易矢量。同理，也是倒易矢量有(n為整數(shù))四、倒易矢量的基本性質(zhì)證明，倒易量的方向垂直于正點陣中的晶面（hkl）（1）假設(shè)晶面（hkl），該晶面離原點最近，且h、k、l為互質(zhì)的整數(shù)。三軸交點為A、B、C，面截距為：坐標軸單位矢量為：OA,OB,OC對應(yīng)的矢量：則AC、CB、BA矢量分別為：同理（2）倒易矢量的大小等于（hkl）晶間距的倒數(shù),即證明因為由性質(zhì)1可知為晶面（hkl）法向矢量；其單位矢量為同時因該晶面又是距原點最近的晶面，所以，原點到該晶面的距離即為晶面間距由矢量關(guān)系可得晶面間距為該晶面的單位法向矢量與面截距交點矢量的點積：

當晶面不是距離原點最近的晶面，而是平行晶面中的一個，其干涉面指數(shù)為（HKL），H=nh，K=nk，L=nl，此時晶面的三個面截距分別為同可證：

注意：五、晶帶定律與廣義晶帶定律

晶帶定律廣義晶帶定律1）可以判斷空間兩個晶向或兩個晶面是否相互垂直；2）可以判斷某一晶向是否在某一晶面上（或平行于該晶面）；3）若已知晶帶軸，可以判斷哪些晶面屬于該晶帶；4）若已知兩個晶帶面為（h1k1l1)和(h2k2l2)，可由式（1-48）求出晶帶軸；5）已知兩個不平行但相交的晶向，可求出過這兩個晶向的晶面；6）已知一個晶面及其面上的任一晶向，可求出在該面上與該晶向垂直的另一晶向；7）已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出過該晶向且垂直于該晶面的另一晶面。晶帶定律的作用六、小結(jié)1）倒易矢量的端點表示正空間中的晶面；端點坐標由不帶括號的三位數(shù)表示；2）倒易矢量的長度表示正空間中晶面間距的倒數(shù)；3）倒易矢量的方向表示